שינויים
/* הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים */
שימו לב שעל מנת להפריך טענת '''לכל''' יש לספק דוגמא נגדית, ועל מנת להפריך טענת '''קיים''' יש להוכיח שכל האיברים הכלליים אינם מקיימים את הטענה.
'''דוגמא'''
תהי קבוצה B. הוכיחו כי קיימת קבוצה A כך ש <math>A\cap B = B</math>
כיוון שאין סוף חסם למספרים הטבעיים, ניתן לבחור מספר n כלשהו הגדול מ<math>\frac{1}{x}</math>.
'''דוגמא'''
הצרינו את הגדרת גבול הסדרה:
לכל מרחק אפיסלון, קיים מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה כל איברי הסדרה קרובים לגבול עד כדי אפסילון.
*הוכיחו כי אין גבול לסדרה <math>a_n=(-1)^n</math>
==הוכחת הכלה ושיוויון בין קבוצות==
ראשית, שימו לב שהקבוצות בתרגילים כאלו יכולות להופיע באופן עקיף ולא ישיר. למשל, במשוואה <math>A\cup (B\backslash C) = P(D)</math> מופיעות שתי קבוצות המיוצגות על ידי ארבע הקבוצות A,B,C,D.
===הוכחת הכלה===
הכלה בין קבוצות היא מקרה פרטי של טענת לכל, כיוון ש'''ההגדרה''' של <math>A\subseteq B</math> הינה <math>\forall a\in A:a\in B</math>
מבנה ההוכחה
*יהי'''*''' איבר בקבוצה המוכלת.
*צ"ל כי האיבר שייך לקבוצה המכילה.
'''דוגמא*שימו לב'''הצרינו את הגדרת גבול הסדרה:, אם למשל מדובר בקבוצה של קבוצות נאמר "תהי קבוצה שייכת לקבוצה המוכלת" ונסמן אותה באות המתאימה לקבוצה (לדוגמא תהי <math>A\in P(B)</math>).
אמנם השמות והסימונים לא משנים את המהות, אך הם מהותיים להבנה אנושית ולהצלחה בפתרון תרגילים.
===דוגמא===
הוכיחו כי <math>A\subseteq A \cup B</math>. '''הוכחה''': יהי <math>a\in A</math>. אזי <math>a\in A \or a\in B</math>. ולכן לפי ההגדרה <math>a\in A \cup B</math> ולכן <math>A\subseteq A \cup B</math>. ===הוכחת שיוויון בין קבוצות===
על מנת להוכיח שיוון בין שתי קבוצות אנו יכולים לפעול בשתי דרכים נפוצות.
שיטה II: '''הכלה דו כיוונית'''. להוכיח שהקבוצה הימנית מוכלת בשמאלית וגם הקבוצה השמאלית מוכלת בימנית.
==הוכחת שקילות לוגית - אם ורק אם==
כפי שראינו בעבר, על מנת להוכיח כי טענה א' מתקיימת אם ורק אם טענה ב' מתקיימת מספיק להוכיח כי טענה א' גוררת את טענה ב' וגם טענה ב' גוררת את טענה א'.
את הטענות בכל כיוון ניתן להוכיח בכל דרך שנרצה (כולל אפילו הוכחת אם"ם, במידת הצורך).
'''דוגמא''' תהינה קבוצות A,B,C. הוכיחו כי <math>A\backslash (B\cup C) = A</math> אם"ם <math>A\cap B = \phi</math> וגם <math>A\cap C = \phi</math>
'''הוכחת אם"ם'''.
<math>\Rightarrow</math> '''בכיוון ראשון''' נניח ונתון כי <math>A\cap B = \phi</math> וגם <math>A\cap C = \phi</math>.
לכן <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C) = \phi \cup \phi = \phi</math>.
לכן, לכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>a\notin B\cup C</math> ולכן <math>a\in A\backslash (B\cup C)</math>
במשפט לעיל הוכחנו כי <math>A\subseteq A\backslash (B\cup C)</math>
קל להראות את ההכלה בכיוון ההפוך <math> A\backslash (B\cup C) \subseteq A</math> וביחד קיבלנו את מה שצריך להוכיח:
<math>A\backslash (B\cup C) = A</math> (לפי הכלה דו כיוונית)
<math>\Leftarrow</math> '''בכיוון השני'''
נתון: <math>A\backslash (B\cup C) = A</math>
צ"ל: <math>A\cap B = \phi</math> וגם <math>A\cap C = \phi</math>
'''נניח בשלילה''' את השלילה של מה שצריך להוכיח.
כלומר, נניח כי <math>A\cap B \neq \phi</math> '''או''' <math>A\cap C \neq \phi</math>
לכן קיים <math>x\in A\cap B</math> או קיים <math>x\in A\cap C</math>.
בשני המקרים נובע כי <math>x\in A</math> וגם <math>x\in B\cup C</math>
ולכן <math>x\notin A\backslash (B\cup C)</math> וגם <math>x\in A</math>
'''בסתירה''' לכך ש <math>A\backslash (B\cup C)=A</math>.
==חלוקה למקרים==
'''דוגמא''' הוכיחו כי לכל n טבעי ולכל x אי שלילי מתקיים <math>\frac{x}{1+n^4x^2}\leq \frac{1}{n^2}</math>
'''הוכחה''':
יהי n טבעי ויהי <math>x\geq 0</math>.
אם <math>x\leq \frac{1}{n^2}</math> מתקיים
<math>\frac{x}{1+n^4x^2}\leq \frac{x}{1} = x \leq \frac{1}{n^2}</math>
אם <math>x>\frac{1}{n^2}</math> אזי
<math>\frac{x}{1+n^4x^2}\leq \frac{x}{n^4x^2} = \frac{1}{n^4x} \leq \frac{1}{n^4 \frac{1}{n^2}}=\frac{1}{n^2}</math>
לכן סה"כ לכל x אי שלילי ולכל n טבעי מתקיים <math>\frac{x}{1+n^4x^2}\leq \frac{1}{n^2}</math> כפי שרצינו.
