שינויים
/* הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים */
'''דוגמא'''
תהי קבוצה B. הוכיחו כי קיימת קבוצה A שאינה ריקה כך ש <math>A\cap B = B</math>
כיוון שאין סוף חסם למספרים הטבעיים, ניתן לבחור מספר n כלשהו הגדול מ<math>\frac{1}{x}</math>.
שיטה II: '''הכלה דו כיוונית'''. להוכיח שהקבוצה הימנית מוכלת בשמאלית וגם הקבוצה השמאלית מוכלת בימנית.
==הוכחת שקילות לוגית - אם ורק אם==
כפי שראינו בעבר, על מנת להוכיח כי טענה א' מתקיימת אם ורק אם טענה ב' מתקיימת מספיק להוכיח כי טענה א' גוררת את טענה ב' וגם טענה ב' גוררת את טענה א'.
את הטענות בכל כיוון ניתן להוכיח בכל דרך שנרצה (כולל אפילו הוכחת אם"ם, במידת הצורך).
'''דוגמא''' תהינה קבוצות A,B,C. הוכיחו כי <math>A\backslash (B\cup C) = A</math> אם"ם <math>A\cap B = \phi</math> וגם <math>A\cap C = \phi</math>
'''הוכחת אם"ם'''.
<math>\Rightarrow</math> '''בכיוון ראשון''' נניח ונתון כי <math>A\cap B = \phi</math> וגם <math>A\cap C = \phi</math>.
לכן <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C) = \phi \cup \phi = \phi</math>.
לכן, לכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>a\notin B\cup C</math> ולכן <math>a\in A\backslash (B\cup C)</math>
במשפט לעיל הוכחנו כי <math>A\subseteq A\backslash (B\cup C)</math>
קל להראות את ההכלה בכיוון ההפוך <math> A\backslash (B\cup C) \subseteq A</math> וביחד קיבלנו את מה שצריך להוכיח:
<math>A\backslash (B\cup C) = A</math> (לפי הכלה דו כיוונית)
<math>\Leftarrow</math> '''בכיוון השני'''
נתון: <math>A\backslash (B\cup C) = A</math>
צ"ל: <math>A\cap B = \phi</math> וגם <math>A\cap C = \phi</math>
'''נניח בשלילה''' את השלילה של מה שצריך להוכיח.
כלומר, נניח כי <math>A\cap B \neq \phi</math> '''או''' <math>A\cap C \neq \phi</math>
לכן קיים <math>x\in A\cap B</math> או קיים <math>x\in A\cap C</math>.
בשני המקרים נובע כי <math>x\in A</math> וגם <math>x\in B\cup C</math>
ולכן <math>x\notin A\backslash (B\cup C)</math> וגם <math>x\in A</math>
'''בסתירה''' לכך ש <math>A\backslash (B\cup C)=A</math>.
==חלוקה למקרים==
'''דוגמא''' הוכיחו כי לכל n טבעי ולכל x אי שלילי מתקיים <math>\frac{x}{1+n^4x^2}\leq \frac{1}{n^2}</math>
'''הוכחה''':
יהי n טבעי ויהי <math>x\geq 0</math>.
אם <math>x\leq \frac{1}{n^2}</math> מתקיים
<math>\frac{x}{1+n^4x^2}\leq \frac{x}{1} = x \leq \frac{1}{n^2}</math>
אם <math>x>\frac{1}{n^2}</math> אזי
<math>\frac{x}{1+n^4x^2}\leq \frac{x}{n^4x^2} = \frac{1}{n^4x} \leq \frac{1}{n^4 \frac{1}{n^2}}=\frac{1}{n^2}</math>
לכן סה"כ לכל x אי שלילי ולכל n טבעי מתקיים <math>\frac{x}{1+n^4x^2}\leq \frac{1}{n^2}</math> כפי שרצינו.
