שינויים
/* הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים */
'''דוגמא'''
תהי קבוצה B. הוכיחו כי קיימת קבוצה A שאינה ריקה כך ש <math>A\cap B = B</math>
כיוון שאין סוף חסם למספרים הטבעיים, ניתן לבחור מספר n כלשהו הגדול מ<math>\frac{1}{x}</math>.
'''בסתירה''' לכך ש <math>A\backslash (B\cup C)=A</math>.
==חלוקה למקרים==
'''דוגמא''' הוכיחו כי לכל n טבעי ולכל x אי שלילי מתקיים <math>\frac{x}{1+n^4x^2}\leq \frac{1}{n^2}</math>
'''הוכחה''':
יהי n טבעי ויהי <math>x\geq 0</math>.
אם <math>x\leq \frac{1}{n^2}</math> מתקיים
<math>\frac{x}{1+n^4x^2}\leq \frac{x}{1} = x \leq \frac{1}{n^2}</math>
אם <math>x>\frac{1}{n^2}</math> אזי
<math>\frac{x}{1+n^4x^2}\leq \frac{x}{n^4x^2} = \frac{1}{n^4x} \leq \frac{1}{n^4 \frac{1}{n^2}}=\frac{1}{n^2}</math>
לכן סה"כ לכל x אי שלילי ולכל n טבעי מתקיים <math>\frac{x}{1+n^4x^2}\leq \frac{1}{n^2}</math> כפי שרצינו.
