שינויים

שיטת ההצבה היא שיטת החלפת משתנים לצורך אינטגרציה, לפי כלל -השרשרת לגזירה.

<math>[\frac{d}{dx}f\big(g(x)\big)]'=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)</math>

לכן, '''נוסחאת נוסחת ההצבה''' הינההנה:

::<math>\int{f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=F\Bigbig(g(x)\Bigbig)+C</math>

 כאשר <math>F'=f</math>.

<math>\int{f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}</math>

ולכן <math>\displaystyle\int{f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=\int{f(t)dt}=F(t)+C=F\big(g(x)\big)+C</math>

הסימון הזה נוח יותר לפתרון תרגילים מאשר הסימון הראשון שנובע ישירות מכלל השרשרת===אלגוריתם לביצוע הצבה===נתאר כעת את השלבים בביצוע הצבה, במקרים שונים. *בוחרים הצבה <math>t=g(x)</math> או <math>x=h(t)</math> . *גוזרים את שני הצדדים וכופלים ב- <math>dx,dt</math> . :<math>dt=g'(x)dx</math> או <math>dx=h'(t)dt</math> . *במקרה הראשון, אם הביטוי <math>g'(x)dx</math> אינו מופיע באינטגרל, והפונקציה <math>g</math> הפיכה, נחליף להצבה <math>x=g^{-1}(t)</math> *כמו כן, אם לאחר ההצבה נותרו מופעים של המשתנה <math>x</math> , נוכל להשלים את ההצבה רק אם <math>g</math> הפיכה ע"י <math>x=g^{-1}(t)</math>

א.)

<math>\int{tan(x)dx}=-\int{sin\frac{1}{cosx}(-sinbig(\sqrt x)\big)dx}</math>

נסמן ננסה להציב <math>f(x)t=\frac{1}{sqrt x},g(x)=cosx</math>.

לכן נגזור ונקבל <math>F(x)=ln|x|,g'(x)dt=-sin(\frac{dx}{2\sqrt x)}</math> וסה"כ האינטגרל הוא מהצורה:

::אבל הביטוי <math>-\intfrac{f'(g(x))g'(x)dx}=-F(g({2\sqrt x))+C=-ln|cosx|+C}</math>אינו מופיע באינטגרל!

:<math>\int{\frac{1}{sin\big(\sqrt{a^2-x^2}}}\big)dx=\int{2t\frac{1}{|a|\sqrt{1-sin(\frac{x}{|a|}t)^2}}}dt</math>

<math>\int{\tan(x)dx}=-\int{\frac1{\cos(x)}\cdot\big(-\sin(x)\big)dx}</math> נסמן <math>f(x)=\frac1{x}\ ,\ g(x)=\cos(x)</math> לכן <math>F(x)=\ln(|x|)\ ,\ g'(x)=-\sin(x)</math> וסה"כ האינטגרל הוא מהצורה: :<math>dt-\int{f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=-F\big(g(x)\big)+C=-\ln\big(|\cos(x)|\big)+C</math>  ג) <math>\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int\frac{dx}{|a|\sqrt{1-\left(\frac{x}{|a|}\right)^2}}</math> נציב  :<math>t=\frac{x}{|a|}dx</math>

::<math>|a|dt=dx</math>

 <math>\int{\frac{1dx}{|a|\sqrt{1-\left(\frac{x}{|a|}\right)^2}}}=\frac{1}{|a|}\int{\frac{|a|dt}{\sqrt{1-t^2}}}dt=\arcsin(t)+C=\arcsin\left(\frac{x}{|a|}\right)+C</math>

 '''הצבות אוניברסאליות''' הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסויימת מסוימת לצורה של [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|פונקציה רציונאלית]] אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיוון שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעיתים לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעייההבעיה.