שינויים

שיטת ההצבה היא שיטת החלפת משתנים לצורך אינטגרציה, לפי כלל -השרשרת לגזירה.

<math>[\frac{d}{dx}f\big(g(x)\big)]'=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)</math>

לכן, '''נוסחאת נוסחת ההצבה''' הינההנה:

::<math>\int{f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=F\Bigbig(g(x)\Bigbig)+C</math>

 כאשר <math>F'=f</math>.

<math>\int{f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}</math>

ולכן <math>\displaystyle\int{f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=\int{f(t)dt}=F(t)+C=F\big(g(x)\big)+C</math>

 הסימון הזה נוח יותר לפתרון תרגילים מאשר הסימון הראשון שנובע ישירות מכלל -השרשרת.

*בוחרים הצבה <math>t=g(x)</math> או <math>x=h(t)</math>.

*גוזרים את שני הצדדים וכופלים ב- <math>dx,dt</math>.

::<math>dt=g'(x)dx</math> או <math>dx=h'(t)dt</math>.

*במקרה הראשון, אם הביטוי <math>g'(x)dx</math> אינו מופיע באינטגרל, והפונקציה <math>g </math> הפיכה, נחליף להצבה <math>x=g^{-1}(t)</math>

*כמו כן, אם לאחר ההצבה נותרו מופעים של המשתנה <math>x</math> , נוכל להשלים את ההצבה רק אם <math>g </math> הפיכה ע"י <math>x=g^{-1}(t)</math>

ננסה להציב <math>t=\int\sin\big(\sqrt{x}\big)dx</math>.

נגזור ונקבל ננסה להציב <math>dtt=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx</math>.

אבל הביטוי נגזור ונקבל <math>dt=\frac{1dx}{2\sqrt{x}}dx</math> אינו מופיע באינטגרל!

לכן נבצע את ההצבה ההפוכה (שמובילה לתוצאה זהה ביתר קלות) אבל הביטוי <math>x=t^\frac{dx}{2\sqrt x}</math>.אינו מופיע באינטגרל!

לכן נבצע את ההצבה ההפוכה (שמובילה לתוצאה זהה ביתר קלות) <math>x=t^2</math> . נגזור ונקבל <math>dx=2tdt2t\,dt</math>

::<math>\int{\sin\big(\sqrt{x}\big)dx}=\int{2t\sin(t)2tdt}dt</math>

ב.)

<math>\int{\tan(x)dx}=-\int{\fracfrac1{1}{cosx\cos(x)}\cdot\big(-\sin(x)\big)dx}</math>

נסמן <math>f(x)=\frac{1}frac1{x}\ ,\ g(x)=cosx\cos(x)</math>

לכן <math>F(x)=\ln(|x|)\ ,\ g'(x)=-\sin(x)</math> וסה"כ האינטגרל הוא מהצורה:

::<math>-\int{f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=-F\big(g(x)\big)+C=-\ln\big(|cosx\cos(x)|\big)+C</math>

ג. <math>\int{\frac{1dx}{\sqrt{a^2-x^2}}}=\int{\frac{1dx}{|a|\sqrt{1-\left(\frac{x}{|a|}\right)^2}}}</math>

::<math>t=\frac{x}{|a|}</math>

::<math>dt=\frac{1}{|a|}dx</math> לכן ::<math>|a|dt=dx</math>

 <math>\int{\frac{1dx}{|a|\sqrt{1-\left(\frac{x}{|a|}\right)^2}}}=\frac{1}{|a|}\int{\frac{|a|dt}{\sqrt{1-t^2}}}dt=\arcsin(t)+C=\arcsin\left(\frac{x}{|a|}\right)+C</math>

 '''הצבות אוניברסאליות''' הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסויימת מסוימת לצורה של [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|פונקציה רציונאלית]] אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיוון שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעיתים לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעייההבעיה.