הבדלים בין גרסאות בדף "שיטת ההצבה"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ
 
שורה 17: שורה 17:
 
נסמן <math>g(x)=t</math>
 
נסמן <math>g(x)=t</math>
  
−
ולכן <math>g'(x)\cdot dx=dt</math>
+
ולכן <math>g'(x)dx=dt</math>
  
−
ולכן <math>\displaystyle\int{f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=\int{f(t)dt}=F(t)+C=F\big(g(x)\big)+C</math>
+
ולכן <math>\displaystyle\int f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx=\int f(t)dt=F(t)+C=F\big(g(x)\big)+C</math>
  
 
הסימון הזה נוח יותר לפתרון תרגילים מאשר הסימון הראשון שנובע ישירות מכלל-השרשרת.
 
הסימון הזה נוח יותר לפתרון תרגילים מאשר הסימון הראשון שנובע ישירות מכלל-השרשרת.
שורה 30: שורה 30:
 
*גוזרים את שני הצדדים וכופלים ב- <math>dx,dt</math> .
 
*גוזרים את שני הצדדים וכופלים ב- <math>dx,dt</math> .
  
−
:<math>dt=g'(x)dx</math> או <math>dx=h'(t)\cdot dt</math> .
+
:<math>dt=g'(x)dx</math> או <math>dx=h'(t)dt</math> .
  
 
*במקרה הראשון, אם הביטוי <math>g'(x)dx</math> אינו מופיע באינטגרל, והפונקציה <math>g</math> הפיכה, נחליף להצבה <math>x=g^{-1}(t)</math>
 
*במקרה הראשון, אם הביטוי <math>g'(x)dx</math> אינו מופיע באינטגרל, והפונקציה <math>g</math> הפיכה, נחליף להצבה <math>x=g^{-1}(t)</math>
  
−
*כמו כן, אם לאחר ההצבה נותרו מופעים של המשתנה x, נוכל להשלים את ההצבה רק אם g הפיכה ע"י <math>x=g^{-1}(t)</math>
+
*כמו כן, אם לאחר ההצבה נותרו מופעים של המשתנה <math>x</math> , נוכל להשלים את ההצבה רק אם <math>g</math> הפיכה ע"י <math>x=g^{-1}(t)</math>
  
 
===דוגמאות===
 
===דוגמאות===
 
א)
 
א)
  
−
<math>\int{\sin(\sqrt{x})dx}</math>
+
<math>\int\sin\big(\sqrt x\big)dx</math>
  
−
ננסה להציב <math>t=\sqrt{x}</math> .
+
ננסה להציב <math>t=\sqrt x</math> .
  
−
נגזור ונקבל <math>dt=\frac1{2\sqrt{x}}dx</math>
+
נגזור ונקבל <math>dt=\frac{dx}{2\sqrt x}</math>
  
−
אבל הביטוי <math>\frac1{2\sqrt{x}}dx</math> אינו מופיע באינטגרל!
+
אבל הביטוי <math>\frac{dx}{2\sqrt x}</math> אינו מופיע באינטגרל!
  
−
לכן נבצע את ההצבה ההפוכה (שמובילה לתוצאה זהה ביתר קלות) <math>x=t^2</math>.
+
לכן נבצע את ההצבה ההפוכה (שמובילה לתוצאה זהה ביתר קלות) <math>x=t^2</math> .
  
−
נגזור ונקבל <math>dx=2t\cdot dt</math>
+
נגזור ונקבל <math>dx=2t\,dt</math>
  
 
לכן  
 
לכן  
  
−
:<math>\int{\sin(\sqrt{x})dx}=\int{\sin(t)2t\ dt}</math>
+
:<math>\int\sin\big(\sqrt x\big)dx=\int 2t\sin(t)dt</math>
  
 
ואת ההמשך ניתן לפתור ע"י אינטגרציה בחלקים.
 
ואת ההמשך ניתן לפתור ע"י אינטגרציה בחלקים.
שורה 64: שורה 64:
 
נסמן <math>f(x)=\frac1{x}\ ,\ g(x)=\cos(x)</math>
 
נסמן <math>f(x)=\frac1{x}\ ,\ g(x)=\cos(x)</math>
  
−
לכן <math>F(x)=\ln(|x|),g'(x)=-\sin(x)</math> וסה"כ האינטגרל הוא מהצורה:
+
לכן <math>F(x)=\ln(|x|)\ ,\ g'(x)=-\sin(x)</math> וסה"כ האינטגרל הוא מהצורה:
  
 
:<math>-\int{f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=-F\big(g(x)\big)+C=-\ln\big(|\cos(x)|\big)+C</math>
 
:<math>-\int{f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=-F\big(g(x)\big)+C=-\ln\big(|\cos(x)|\big)+C</math>
שורה 71: שורה 71:
 
ג)
 
ג)
  
−
<math>\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}}=\int{\frac1{|a|\sqrt{1-\left(\tfrac{x}{|a|}\right)^2}}}</math>
+
<math>\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int\frac{dx}{|a|\sqrt{1-\left(\frac{x}{|a|}\right)^2}}</math>
  
 
נציב  
 
נציב  
  
 
:<math>t=\frac{x}{|a|}</math>
 
:<math>t=\frac{x}{|a|}</math>
−
 
−
לכן
 
−
 
−
:<math>dt=\frac1{|a|}dx</math>
 
  
 
לכן
 
לכן
שורה 87: שורה 83:
 
ולכן
 
ולכן
  
−
<math>\int{\frac1{|a|\sqrt{1-\left(\frac{x}{|a|}\right)^2}}}=\frac1{|a|}\int{\frac{|a|dt}{\sqrt{1-t^2}}}=\arcsin(t)+C=\arcsin\left(\frac{x}{|a|}\right)+C</math>
+
<math>\int\frac{dx}{|a|\sqrt{1-\left(\frac{x}{|a|}\right)^2}}=\frac{1}{|a|}\int\frac{|a|}{\sqrt{1-t^2}}dt=\arcsin(t)+C=\arcsin\left(\frac{x}{|a|}\right)+C</math>
  
 
==הצבות אוניברסאליות==
 
==הצבות אוניברסאליות==

גרסה אחרונה מ־11:20, 3 בנובמבר 2016

שיטת ההצבה

שיטת ההצבה היא שיטת החלפת משתנים לצורך אינטגרציה, לפי כלל-השרשרת לגזירה.

\frac{d}{dx}f\big(g(x)\big)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)

לכן, נוסחת ההצבה הנה:

\int{f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=F\big(g(x)\big)+C

כאשר F'=f .

סימון נוח יותר לאותה הנוסחא:

\int{f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}

נסמן g(x)=t

ולכן g'(x)dx=dt

ולכן \displaystyle\int f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx=\int f(t)dt=F(t)+C=F\big(g(x)\big)+C

הסימון הזה נוח יותר לפתרון תרגילים מאשר הסימון הראשון שנובע ישירות מכלל-השרשרת.

אלגוריתם לביצוע הצבה

נתאר כעת את השלבים בביצוע הצבה, במקרים שונים.

  • בוחרים הצבה t=g(x) או x=h(t) .
  • גוזרים את שני הצדדים וכופלים ב- dx,dt .
dt=g'(x)dx או dx=h'(t)dt .
  • במקרה הראשון, אם הביטוי g'(x)dx אינו מופיע באינטגרל, והפונקציה g הפיכה, נחליף להצבה x=g^{-1}(t)
  • כמו כן, אם לאחר ההצבה נותרו מופעים של המשתנה x , נוכל להשלים את ההצבה רק אם g הפיכה ע"י x=g^{-1}(t)

דוגמאות

א)

\int\sin\big(\sqrt x\big)dx

ננסה להציב t=\sqrt x .

נגזור ונקבל dt=\frac{dx}{2\sqrt x}

אבל הביטוי \frac{dx}{2\sqrt x} אינו מופיע באינטגרל!

לכן נבצע את ההצבה ההפוכה (שמובילה לתוצאה זהה ביתר קלות) x=t^2 .

נגזור ונקבל dx=2t\,dt

לכן

\int\sin\big(\sqrt x\big)dx=\int 2t\sin(t)dt

ואת ההמשך ניתן לפתור ע"י אינטגרציה בחלקים.


ב)

\int{\tan(x)dx}=-\int{\frac1{\cos(x)}\cdot\big(-\sin(x)\big)dx}

נסמן f(x)=\frac1{x}\ ,\ g(x)=\cos(x)

לכן F(x)=\ln(|x|)\ ,\ g'(x)=-\sin(x) וסה"כ האינטגרל הוא מהצורה:

-\int{f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=-F\big(g(x)\big)+C=-\ln\big(|\cos(x)|\big)+C


ג)

\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int\frac{dx}{|a|\sqrt{1-\left(\frac{x}{|a|}\right)^2}}

נציב

t=\frac{x}{|a|}

לכן

|a|dt=dx

ולכן

\int\frac{dx}{|a|\sqrt{1-\left(\frac{x}{|a|}\right)^2}}=\frac{1}{|a|}\int\frac{|a|}{\sqrt{1-t^2}}dt=\arcsin(t)+C=\arcsin\left(\frac{x}{|a|}\right)+C

הצבות אוניברסאליות

הצבות אוניברסאליות הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של פונקציה רציונאלית אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה.

הצבות אוניברסאליות ידועות ניתן למצוא בקובץ הבא: (עד אשר מישהו יקליד אותו אל תוך הויקי...)

דוגמאות

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=שיטת_ההצבה&oldid=68093