=תחרות חנוכהזו, במסגרת הקורס אלגברה לינארית 2 תשע"ב: שאלות ממבחנים, היא על כתיבת פתרונות לשאלות ממבחנים בנושא צורת ג'ורדן. '''דירוג סופי - היכל התהילה:''' הכלל לפיו דירגתי הוא חצי נקודה על פתרון שתוקן, עם וחצי נקודה על תיקון פתרון.מי שחושב שיש טעות שמשנה את הדירוג, מתבקש להודיע לי באימייל. [[משתמש:Tsaban|בועז צבאן]] 1. עמנואל סגל (11) 2. אלעד איטח (7.5) ונפתלי וקסמן (6.5) 3. נעם ליפשיץ (3.5) - לנעם מגיעה תודה מיוחדת על עזרה בבדיקת הפתרונות. 4. אוהד קליין (2), נטע צדוק (2), אופיר שפיגלמן (1.5) 5. נוי מאור (1) כל הכבוד לכל הזוכים בתחרות! אפשר להמשיך להוסיף פתרונות=ולתקן או לשפר פתרונות, שלא על מנת לקבל פרס אלא לטובת הדורות הבאים...
==הנחיות==
0. '''קרא''' בעיון את [[מדיה:JordanAll.pdf|'''החוברת על משפט ג'ורדן''']], כולל התירגול בסוף.פתרונות שיהיו מסובכים יותר מהשיטה הפשוטה שנלמדת בחוברת, לא יתקבלו. 1. '''חפש מבחנים ''' באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן.
למשל, יש בחינות [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן].
2. אם המבחן שמצאת אינו [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן],
'''שלח ''' לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.
3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש '''שימוש בכלים של צורת ג'ורדן''', אשר '''טרם נכתבה להלן'''.כתוב את השאלה במתויקילהלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון,
לפי הדוגמאות להלן.
אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.
(תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)
'''שיתוף פעולה''': תלמידים המעוניינים לשתף פעולה ולהעלות פתרון יחד (למשל, אם אחד יודע רק לקרוא והשני רק לכתוב) יכולים לעשות זאת, אך אז הניקוד על השאלה (נקודה אחת) יתחלק ביניהם בשווה. עדיין, זה עשוי להשתלם להם, אם יחד הם יפתרו יותר מאשר הסכום של מספר הפתרונות שכל אחד יכול להעלות לבד. וגם זה עשוי להיות יותר כיף. '''שבת מנוחה:''' כדי לא לצאת מפרופורציות, וכדי שהתחרות תהיה הוגנת כלפי כל התלמידים, שאלות שיעלו בשבת (מזמן הדלקת הנרות ביום שישי ועד מוצאי שבת) לא יזכו בניקוד. 5. יש להעלות את הפיתרון בתוך הויקי (להלן דוגמא איך מעלים פתרון בויקי), ולא על ידי צירוף קובץ עם הפתרון.צירוף קובץ עם הפתרון אפשרי רק כדי לשמור את השאלה לעצמכם, אבל לא יזכה בנקודה כל עודלא העליתם את הפתרון בויקי.לעזרה ראה: [[עזרה:תפריט_ראשי|איך כותבים בויקי]]. 6. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את
הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש
בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי.'''נכון לרגע כתיבת משפט זה, יש שגיאות בחלק מהפתרונות (הזדמנות לזריזים).'''
67. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה.
בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו ל'''כבוד''' רב!
* לנוחיותכם, להלן '''תבנית להעלאת שאלה'''. השלבים:
א. פיתחו תבנית זו על ידי הקלקה על "עריכה".
ב. העתיקו את תוכנה למקום שבו אתם מכניסים את השאלה החדשה שלכם, ושנו את הנתונים בהתאם.
ג. לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.
ד. הקישור לפיתרון יופיע בצבע אדום. הקליקו עליו וייפתח דף התשובה לשאלה. שם, רישמו את תשובתכם ושימרו (לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.).
זה הכל.
===תש?"?, מועד א/ב', שאלה ? (מרצה+מרצה)===
להכניס כאן את השאלה.
[[פתרון לינארית 2, אונ' ???, תש??, מועד ?, שאלה ?|פתרון (שם הפותר)]]
==אוניברסיטת בר-אילן==
===???, מועד א', שאלה 5 (עדין)- אלעד איטח===
א. הגדר ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של ערך עצמי.
ב. מצא צורת ג'ורדן של <math>A=\begin{pmatrix}
2&2 &-1 \\
0 &-1 &2 \\
0 &-6 &6
\end{pmatrix}</math>
[[פתרון 6 (אלעד איטח)]]
קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/015.pdf (השנה לא ברורה).
===תש"ס, מועד א', שאלה 11 רב-ברירה (עדין+ארד+פייגלשטוק) - אלעד איטח===
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
2 &1 &0&0 \\
0 &2 &0 &0 \\
0 &0 &2 &0 \\
0 &0 &0 &5
\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{4X4}
</math>
<math>V_{\lambda }\subseteq \mathbb{R}^{4}</math> יסמן את מרחב הווקטורים העצמיים
המתאימים לע"ע <math>\lambda</math>. אזי:
א. <math>dim(V_{2})+dim(V_{5})=3</math>
ב. אף אחת מהתשובות האחרות אינה נכונה.
ג. <math>dim(V_{2})=3</math>
ד. <math>V_{2}\oplus V_{5}=\mathbb{R}^{4}</math>
[[פתרון 5 (אלעד איטח)]]
קישור למקור:http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin2a60.pdf
===תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (פרופ' מינה טייכר) - אלעד איטח,נעם ליפשיץ===
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
1 &1 &1 \\
0 &1 &1 \\
0 &0 &2
\end{pmatrix}
</math>
א. מצא את הפולינום האופייני של A.
ב. מצא את הפולינום המינימאלי של A.
ג. מצא את הערכים העצמיים של A.
ד. מצא ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של כל ע"ע(בעזרת ב').
ה. מצא צורת ג'ורדן של A (באמצעות א' ו-ב').
[[פתרון 4 (אלעד איטח)|פתרון (אלעד איטח,נעם ליפשיץ)]]
קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/079.pdf
===תשע"א, מועד א', שאלה 4 (צבאן+קוניאבסקי) - אופיר שפיגלמן,נעם ליפשיץ===
נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות <math>A</math> ו <math>B</math> דומות.
[[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4|פתרון (אופיר שפיגלמן,נעם ליפשיץ)]]
* עד כאן בדקתי ותיקנתי, פחות או יותר. [[משתמש:Tsaban|בועז צבאן]] 01:10, 9 בינואר 2012 (IST)
===תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (טייכר) - עמנואל סגל===
מצא צורת ג'ורדן ל- <math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>.
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"א, מועד ב, שאלה 4 |פתרון (עמנואל סגל)]]
===תשנ"ט, מועד א', שאלה 5 (עדין) - עמנואל סגל===
יהי <math>T</math> אופרטור לינארי שהפ"א שלו הוא <math>p_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2)</math>.
א. מצא את מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>.
ב. אם ידוע גם שהפולינום המינימלי של <math>T</math> הוא <math>m_A(x)=x(x-1)^{2}(x-2)</math>, מהו
מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>?
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מועד א, שאלה 5|פתרון (עמנואל סגל)]]
===תשס"ב, מועד ב', שאלת רב-ברירה מספר 2 (צבאן) - עמנואל סגל===
תהי <math>A\in\mathbb{C}^{8\times 8}</math> שהפ"א שלה הוא <math>(t-1)^{4}(t-2)^{4}</math> והפ"מ שלה הוא <math>(t-1)^{2}(t-2)</math>. נתון שהר"ג של הע"ע 1 הוא 2. מצא את צורת ג'ורדן של A.
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד ב, שאלה 2|פתרון (עמנואל סגל)]]
===תשס"ב, מועד א', שאלה 6 (צבאן) - עמנואל סגל===
נתבונן במטריצה
<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0&1 &0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}</math>
מצא את צורת ג'ורדן של המטריצה A.
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד א, שאלה 6|פתרון (עמנואל סגל)]]
===תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8 (עדין) - נפתלי וקסמן===
יהי <math>T</math> אופרטור לינארי עם פולינום אופייני <math>f_{T}(x)=x^{2}(x+1)^{4}(x-2)</math>
מצא את מס' צורות הג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>.
אם נתון כי <math>m_{T}(x)=x(x+1)^{2}(x-2)</math> אז מצא את מס' הצורות האפשריות.
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8|פתרון (נפתלי וקסמן)]]
===תש"ע, מועד ב', שאלה 1 (צבאן+קוניאבסקי) - נפתלי וקסמן, נעם ליפשיץ===
הוכח כי המטריצות הממשיות הבאות דומות: <math>A=\begin{pmatrix}
1 &1 &1 \\
1 &1 &1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
3 &0 & 0\\
0 & 0 &0 \\
0&0 & 0
\end{pmatrix}</math>
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תש"ע, מועד ב', שאלה 1|פתרון (נפתלי)]]
פתרון יותר יפה
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תש"ע, מועד ב', שאלה 1'|פתרון (נעם)]]
===תשע"א, מועד ב', שאלה 3 (צבאן+קוניאבסקי) - נפתלי וקסמן===
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
0 &0 &1 &0 \\
0 & 0 &0 & 1\\
1& 0 &0 &-2 \\
0& 1 & 2 &0
\end{pmatrix}</math> קבע האם קיימת לA צורת ג'ורדן, ואם כן מצא אותה ואת המטריצה המג'רדנת.
א. מעל <math>\mathbb{R}</math> ב. מעל <math>\mathbb{C}</math>
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשע"א, מועד ב', שאלה 3|פתרון (נפתלי וקסמן)]]
השלם את ההוכחה
==האוניברסיטה העברית==
===תשס"ג, מועד ב', שאלה 3 רב-ברירה (לובוצקי, דה-שליט) - אלעד איטח===
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
3 &1 &0 \\
0 &2 &0 \\
0 &0 &2
\end{pmatrix}
</math> אזי:
א. A מטריצה בצורת ג'ורדן.
ב. A לכסינה.
ג. הפולינום האופייני והמינימלי של A שווים.
ד. 3 איננו שורש של הפולינום המינימלי של A.
[[פתרון 8 (אלעד איטח)]]
קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_2_1.pdf
===תשס"ב, מועד א', שאלה 4(דה-שליט,שלום,שלו) - אלעד איטח===
תהי <math>T:\mathbb{C}^{4}\rightarrow \mathbb{C}^{4}</math> מיוצגת בבסיס הסטנדרטי ע"י:
<math>A=\begin{pmatrix}
4 &1 &0 &0 \\
0 &4 &0 &0 \\
0 &0 &4 &0 \\
0 &0 &0 &1
\end{pmatrix}
</math>
א. מהם הע"ע של T?
ב. מהם מימדי המרחבים העצמיים המתאימים?
[[פתרון 7 (אלעד איטח)]]
קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_1_1.pdf
===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 בשאלות הרב-ברירה (דה-שליט+לובוצקי) - אלעד איטח===
תהי <math>T</math> ט"ל נילפוטנטית במרחב 4 מימדי.
<math>Ker(T^{2})\neq Ker(T^{3})</math> מי מהטענות הבאות נכונה?
1. <math>T^{3}=0</math>
2. בצורת ג'ורדן של T יש רק בלוק אחד.
3. בצורת ג'ורדן של T יש בלוק מסדר>=3.
4.<math>T^{3}\neq 0</math>
קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf
[[פתרון 3 (אלעד איטח)]]
===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 (דה-שליט+לובוצקי) - אלעד איטח===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה הממשית <math>A=\begin{pmatrix}
5 & 2 & 1\\
0 & 5 & -2\\
0 & 0 & 5
\end{pmatrix}</math>
קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf
[[פתרון 2(אלעד איטח)]]
=== תשס"ב, מועד ב', שאלה 4 (דה-שליט+ענר) -אלעד איטח===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
0& 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
מעל שדה המרוכבים
קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_2_1.pdf
[[פתרון (אלעד איטח)]]
===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)- נפתלי וקסמן===
נתונות המטריצות
האם הן דומות? הוכח את טענתך.
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (אבישי זגורינפתלי וקסמן)]]
תפרט את החישובים ===תשס"ט, מועד א', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק) - אוהד קליין=== נתונה המטר': <math>A=\begin{pmatrix}5 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 3 & 0\\ 4 & 5 & 6 & 3\end{pmatrix}</math> א) מצא את צורת ג'ורדן של A ב) מצא P הפיכה כך ש <math>P^{-1}AP</math> היא צורת זורדן של A. מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2009_2_1_1.pdf] [[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד א, שאלה 4|פתרון (אוהד קליין)]] ===תשס"ה, מועד ב', שאלה 11 (מוזס+סלע) - אופיר שפיגלמן=== '''שאלה:''' תהי <math>A\in \mathbb{C}^{n \times n}</math>. הוכיחו כי <math>A\sim A^{t}</math>. [[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 11|פתרון (אופיר שפיגלמן)]] ===תשס"ד, מועד ב, שאלה 11 (איזנברג+סלע) - אוהד קליין=== השאלה: תהי <math>A \in M_n(C)</math> המטר' הבאה: <math>A=\begin{pmatrix}0 & 0 & ... & 0 & 1\\ 1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & 1 & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & 1 & 0\end{pmatrix}</math>. מצא את צורת הג'ורדן שלה. מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2004_2_2_1.pdf] [http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%AA%D7%A9%D7%A1%D7%93,%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91,_%D7%9E%D7%95%D7%A2%D7%93_%D7%91,_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%94_11 פתרון (אוהד קליין)] ===תשס"ה, מועד ב', שאלה 10 (מוזס+סלע) - עמנואל סגל=== מצא צורת ג'ורדן ל-<math>A=\begin{pmatrix} 2&1 & 0 & 0\\ 0& 2 & 1 &0 \\ 0 & 0& 2 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{4x4}</math> [[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 10|פתרון (עמנואל סגל)]] ===תשס"ח, מועד ב', שאלה 5 (ענר+ברגר) - נפתלי,עמנואל,בועז=== אלו מבין המטריצות הבאות דומות? <math>A=\begin{pmatrix}2 &8 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}2 &0 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}2 &4 \\ 4 &2 \end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix}6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}</math> [[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי,עמנואל,בועז)]] ===תשס"ט, מועד א', שאלה 10 (ורשבסקי+רומיק) - נפתלי וקסמן=== כל שתי מטריצות <math>A,B\epsilon M_{n}C</math> שמקיימות <math>f_{A}(t)=f_{B}(t)=(t-1)^{3}(t-2)^{2}(t-3)</math> <math>m_{A}(t)=m_{B}(t)=(t-1)^{2}(t-2)(t-3)</math> הן דומות. [[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ט, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי וקסמן)]] ===תשס"ה, מועד א', שאלה 10 (מוזס+סלע) - נפתלי וקסמן=== מצאו את צורת הג'ורדן של המטריצה <math>A=\begin{pmatrix}1 &0 & 0 &0 \\ 4 & 2 &0 & 0\\ 7 & 5 & 3 & 0\\ 9 &8 & 6 & 2\end{pmatrix}</math> [[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי וקסמן)]] ===תשס"א, מועד ב', שאלה 7 (לובוצקי+ריפס+שלום) & תשס"ט, מועד א', שאלה 8 (ורשבסקי+רומיק) - עמנואל סגל=== תהיינה <math>A,B\in M_n(F)</math>, ונניח של-<math>A</math> יש <math>n</math> ע"ע שונים ב-<math>F</math>. הוכח/הפרך: אם ל<math>A,B</math> אותו פ"א אז הן דומות. [[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"א, מועד ב, שאלה 7|פתרון (עמנואל סגל)]] לא צריך את משפט ג'ורדן בשביל להוכיח את זה וזה הוכחה מעגלית ===תשס"ב, מועד ב', שאלה 3 (לובוצקי+ריפס+שלום) - עמנואל סגל=== תהיינה <math>A=\begin{pmatrix}0 & 1 &0 & 0\\ 0& 0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0&1 \\ 0& 0 &0 &0 \\\end{pmatrix}</math>, <math>B=\begin{pmatrix}0 & 1 &0 & 0\\ 0& 0 &1 &0 \\ 0 & 0 & 0&0 \\ 0& 0 &0 &0 \\\end{pmatrix}</math> ענו נכון/לא נכון: א)<math>A</math> דומה ל <math>B</math> ב)<math>dimkerA=dimkerB</math>. [[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ב, מועד ב, שאלה 3|פתרון (עמנואל סגל)]] ===תשס"ג, מועד ב', שאלה 1 בחלק III (לובוצקי+דה-שליט) - עמנואל סגל=== מצא את המספר המקסימלי של מטריצות נילפוטנטיות מסדר 3 שאף שתיים מהן אינן דומות. (הערה: לדעתי יש אי-דיוק קל בניסוח השאלה, כי יש לומר שהשתיים אינן זהות, אבל זה חסר חשיבות.) [[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ג, מועד ב, שאלה 1 בחלק III|פתרון (עמנואל סגל)]] ===תשס"ד, מועד א', שאלה 11 (סלע+איזנברג) - עמנואל סגל=== מצא את צורת ג'ורדן של <math>\begin{pmatrix}5 & 0 & 0 &0 \\ 1& 4 & 0 & 0\\ 2& 3& 3 &0 \\ 4 & 5 &6 & 3\end{pmatrix}</math>. [[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ד, מועד א, שאלה 11 |פתרון (עמנואל סגל)]] ===תשס"ה, מועד א', שאלה 9 (מוזס+סלע) - עמנואל סגל=== תהי <math>A \in \mathbb{C} ^{n \times n}</math>. הוכיחו כי צורת ג'ורדן של <math>A</math> היא יחידה כדי שינוי סדר הבלוקים. [[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 9 |פתרון (עמנואל סגל)]] ==אוניברסיטת ברמדינת קנט (ארה"ב)== בסעיף זה יובאו פתרונות של שאלות מתוך [http://www.math.kent.edu/~white/qual/list/linalg.pdf בחינות הסיום באלגברה של אוניברסיטת קנט] ===יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 22 (וייט) -אילןנטע צדוק=== תהי מטריצה <math>A</math> בעלת הפולינום האופייני: <math>P_A(x)=(x-3)^5</math> והפולינום המינימלי: <math>M_A(x)=(x-3)^3</math>. א. מנה את כל צורות הג'ורדן האפשריות למטריצה זו. ב. קבע מהי צורת הג'ורדן של המטריצה: <math>A = \begin{bmatrix}3 & -1 & 2 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 0 & -2 & 0\\ 1 & 0& 3& -1& 0\\ 0 & -1& 2& 3& 0\\ 0 & 2& -3& 0& 3\end{bmatrix}</math> לה אותו פולינום אופייני ואותו פולינום מינימלי המוזכרים בסעיף א'. [[פתרון לינארית 2, אונ' קנט, 2010, יוני, שאלה 22|פתרון (נטע צדוק)]] ===יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 21 (וייט) - נטע צדוק=== מצא את כל צורות ג'ורדן האפשריות לסעיפים הבאים. הסבר את תשובתיך! א. אופרטור לינארי <math>T</math> שהפולינום האופייני שלו הוא: <math>P_T(x)=(x-2)^4(x-3)^2</math> והפולינום המינימלי שלו הוא: <math>M_T(x)=(x-2)^2(x-3)^2</math> ב. אופרטור לינארי <math>T</math> שהפולינום האופייני שלו הוא: <math>P_T(x)=(x-4)^5</math> ונתון גם ש: <math>dim(ker(T-4I))=3</math> [[פתרון לינארית 2, אונ' קנט, יוני 2010, שאלה 21|פתרון (נטע צדוק)]] ===יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 4 (וייט) - נעם ליפשיץ===הראה שלכל מטריצה הפיכה A יש שורש ריבועי כלומר מטריצה B כך ש <math>B^{2}=A</math> [[שורש של מטריצה הפיכה| (פתרון: נעם ליפשיץ)]] ===יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 13 (וייט) - נעם ליפשיץ===נניח A וB מטריצות מרוכבות ונניח שיש להם אותם וקטורים עצמיים. הראה שאם הפולינום המינימלי של A הוא <math>(x+1)^{2}</math> והפולינום האופייני של B הוא <math>x^{5}</math> אז <math>B^{3}=0</math> [[פתרון לינארית 2, אונ' קנט, יוני 2010, שאלה 13|פתרון (נעם ליפשיץ)]] ===יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 25 (וייט) - נוי מאור=== תהיינה A=<math>\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}</math> B=<math>\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}</math> C=<math>\begin{pmatrix}2 & -1 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 3 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}</math> א. מצא את הפולינום האופייני של המטריצות ב. מצא את הפולינום המינימלי של המטריצות ג. מצא את הערכים העצמיים של המטריצות ד. מצא את המימדים של כל המרחבים העצמיים של המטריצות ה. מצא את צורת הג'ורדן של המטריצות
==אוניברסיטת ת"א==[[פתרון לינארית 2, אונ' קנט, 2010, יוני, שאלה 25|פתרון (נוי מאור)]]