תחרות זו, במסגרת הקורס אלגברה לינארית 2 תשע"ב, היא על כתיבת פתרונות לשאלות ממבחנים בנושא צורת ג'ורדן.
'''דירוג בינייםסופי - היכל התהילה:'''
1הכלל לפיו דירגתי הוא חצי נקודה על פתרון שתוקן, וחצי נקודה על תיקון פתרון. נפתלימי שחושב שיש טעות שמשנה את הדירוג, עמנואל סגל (5 פתרונות)מתבקש להודיע לי באימייל.[[משתמש:Tsaban|בועז צבאן]]
21. אלעד איטח עמנואל סגל (3 פתרונות11).
32. אוהד קליין, אופיר שפיגלמן אלעד איטח (2 פתרונות7.5)ונפתלי וקסמן (6.5)
43. אתה נעם ליפשיץ (אם אינך אחד מהנ"ל3.5)- לנעם מגיעה תודה מיוחדת על עזרה בבדיקת הפתרונות.
יאללה לעבודה4. אוהד קליין (2), נטע צדוק (2), אופיר שפיגלמן (1.5) 5. נוי מאור (1) כל הכבוד לכל הזוכים בתחרות!אפשר להמשיך להוסיף פתרונות ולתקן או לשפר פתרונות, שלא על מנת לקבל פרס אלא לטובת הדורות הבאים...
הערה: הדירוג זמני. לאחר חנוכה, נבדוק את הפתרונות, נתקן מה שדרוש תיקון (ובכך נשמיט את הקרדיט על הפתרון מפותרו), ונספור מחדש.
==הנחיות==
==אוניברסיטת בר-אילן==
===תשע"א???, מועד א', שאלה 4 5 (צבאן+קוניאבסקיעדין)- אלעד איטח===א. הגדר ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של ערך עצמי.ב. מצא צורת ג'ורדן של <math>A=\begin{pmatrix}2&2 &-1 \\ 0 &-1 &2 \\ 0 &-6 &6 \end{pmatrix}</math>
נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.[[פתרון 6 (אלעד איטח)]]
[[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4|פתרון קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/015.pdf (אופיר שפיגלמןהשנה לא ברורה)]].
הקרדיט שמור בינתיים===תש"ס, אך הפתרון טעון שיפור: אין צורך לעבור למקרה הנילפוטנטי. ראו בחוברת על משפט גמועד א'ורדן., שאלה 11 רב-ברירה (עדין+ארד+פייגלשטוק) - אלעד איטח===תהי <math>A=\begin{pmatrix}2 &1 &0&0 \\ 0 &2 &0 &0 \\ 0 &0 &2 &0 \\ 0 &0 &0 &5 \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{4X4}ב.צ.</math>
<math>V_{\lambda }\subseteq \mathbb{R}^{4}</math> יסמן את מרחב הווקטורים העצמייםהמתאימים לע"ע <math>\lambda</math>. אזי: א. <math>dim(V_{2})+dim(V_{5})=3</math> ב. אף אחת מהתשובות האחרות אינה נכונה. ג. <math>dim(V_{2})=3</math> ד. <math>V_{2}\oplus V_{5}=\mathbb{R}^{4}</math> [[פתרון 5 (אלעד איטח)]] קישור למקור:http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin2a60.pdf ===תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (פרופ' מינה טייכר) - אלעד איטח,נעם ליפשיץ===תהי <math>A=\begin{pmatrix}1 &1 &1 \\ 0 &1 &1 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix}</math> א. מצא את הפולינום האופייני של A.ב. מצא את הפולינום המינימאלי של A.ג. מצא את הערכים העצמיים של A.ד. מצא ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של כל ע"ע(בעזרת ב').ה. מצא צורת ג'ורדן של A (באמצעות א' ו-ב'). [[פתרון 4 (אלעד איטח)|פתרון (אלעד איטח,נעם ליפשיץ)]] קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/079.pdf ===תשע"א, מועד א', שאלה 4 (צבאן+קוניאבסקי) - אופיר שפיגלמן,נעם ליפשיץ=== נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות <math>A</math> ו <math>B</math> דומות. [[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4|פתרון (אופיר שפיגלמן,נעם ליפשיץ)]] * עד כאן בדקתי ותיקנתי, פחות או יותר. [[משתמש:Tsaban|בועז צבאן]] 01:10, 9 בינואר 2012 (IST) ===תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (טייכר)- עמנואל סגל===
מצא צורת ג'ורדן ל- <math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"א, מועד ב, שאלה 4 |פתרון (עמנואל סגל)]]
הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: "קל לראות ש" או "על ידי חישוב ישיר רואים" אינם קבילים.(גם לא במבחן.) הוסיפו את החישוב! ב.צ. ===תשנ"ט, מועד א', שאלה 5 (עדין)- עמנואל סגל===
יהי <math>T</math> אופרטור לינארי שהפ"א שלו הוא <math>p_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2)</math>.
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מועד א, שאלה 5|פתרון (עמנואל סגל)]]
הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: יש טענות בלי הסברים. ב.צ. ===תשס"ב, מועד ב', שאלת רב-ברירה מספר 2 (צבאן)- עמנואל סגל===
תהי <math>A\in\mathbb{C}^{8\times 8}</math> שהפ"א שלה הוא <math>(t-1)^{4}(t-2)^{4}</math> והפ"מ שלה הוא <math>(t-1)^{2}(t-2)</math>. נתון שהר"ג של הע"ע 1 הוא 2. מצא את צורת ג'ורדן של A.
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד ב, שאלה 2|פתרון (עמנואל סגל)]]
===תשס"ב, מועד א', שאלה 6 (צבאן)- עמנואל סגל===
נתבונן במטריצה
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד א, שאלה 6|פתרון (עמנואל סגל)]]
למה תיקנת לשגיאה? לפי כללי התעתיק יש לכתוב ז'ורדן... (http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9B%D7%9C%D7%9C%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%AA%D7%A2%D7%AA%D7%99%D7%A7_%D7%9E%D7%A6%D7%A8%D7%A4%D7%AA%D7%99%D7%AA) ===תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8 (עדין)- נפתלי וקסמן===
יהי <math>T</math> אופרטור לינארי עם פולינום אופייני <math>f_{T}(x)=x^{2}(x+1)^{4}(x-2)</math>
אם נתון כי <math>m_{T}(x)=x(x+1)^{2}(x-2)</math> אז מצא את מס' הצורות האפשריות.
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8|פתרון (נפתליוקסמן)]]
===תש"ע, מועד ב', שאלה 1 (צבאן+קוניאבסקי)- נפתלי וקסמן, נעם ליפשיץ===
הוכח כי המטריצות הממשיות הבאות דומות: <math>A=\begin{pmatrix}
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תש"ע, מועד ב', שאלה 1|פתרון (נפתלי)]]
פתרון יותר יפה[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תש"ע, מועד ב', שאלה 1'|פתרון (נעם)]] ===תשע"א, מועד ב', שאלה 3 (צבאן+קוניאבסקי)- נפתלי וקסמן===
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
א. מעל <math>\mathbb{R}</math> ב. מעל <math>\mathbb{C}</math>
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשע"א, מועד ב', שאלה 3|פתרון (נפתליוקסמן)]] השלם את ההוכחה
==האוניברסיטה העברית==
===תשס"ג, מועד ב', שאלה 3 רב-ברירה (לובוצקי, דה-שליט) - אלעד איטח===תהי <math>A=\begin{pmatrix}3 &1 &0 \\ 0 &2 &0 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix}</math> אזי: א. A מטריצה בצורת ג'ורדן. ב. A לכסינה. ג. הפולינום האופייני והמינימלי של A שווים. ד. 3 איננו שורש של הפולינום המינימלי של A. [[פתרון 8 (אלעד איטח)]] קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_2_1.pdf ===תשס"ב, מועד א', שאלה 4(דה-שליט,שלום,שלו) - אלעד איטח=== תהי <math>T:\mathbb{C}^{4}\rightarrow \mathbb{C}^{4}</math> מיוצגת בבסיס הסטנדרטי ע"י:<math>A=\begin{pmatrix}4 &1 &0 &0 \\ 0 &4 &0 &0 \\ 0 &0 &4 &0 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}</math> א. מהם הע"ע של T? ב. מהם מימדי המרחבים העצמיים המתאימים? [[פתרון 7 (אלעד איטח)]] קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_1_1.pdf ===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 בשאלות הרב-ברירה (דה-שליט+לובוצקי)- אלעד איטח===
תהי <math>T</math> ט"ל נילפוטנטית במרחב 4 מימדי.
<math>Ker(T^{2})\neq Ker(T^{3})</math> מי מהטענות הבאות נכונה?
[[פתרון 3 (אלעד איטח)]]
===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 (דה-שליט+לובוצקי)- אלעד איטח===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה הממשית <math>A=\begin{pmatrix}
5 & 2 & 1\\
[[פתרון 2(אלעד איטח)]]
=== תשס"ב, מועד ב', שאלה 4 (דה-שליט+ענר) -אלעד איטח===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה
<math>\begin{pmatrix}
[[פתרון (אלעד איטח)]]
===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)- נפתלי וקסמן===
נתונות המטריצות
האם הן דומות? הוכח את טענתך.
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (נפתליוקסמן)]]
תפרט את החישובים ===תשס"ט, מועד א', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)- אוהד קליין===
נתונה המטר': <math>A=\begin{pmatrix}
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד א, שאלה 4|פתרון (אוהד קליין)]]
===תשס"ה, מועד ב', שאלה 11 (מוזס+סלע)- אופיר שפיגלמן===
'''שאלה:''' תהי <math>A\in \mathbb{C}^{n \times n}</math>. הוכיחו כי <math>A\sim A^{t}</math>.
[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 11|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]
===תשס"ד, מועד ב, שאלה 11 (איזנברג+סלע)- אוהד קליין===
השאלה:
[http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%AA%D7%A9%D7%A1%D7%93,%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91,_%D7%9E%D7%95%D7%A2%D7%93_%D7%91,_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%94_11 פתרון (אוהד קליין)]
===תשס"ה, מועד ב', שאלה 10 (מוזס+סלע)- עמנואל סגל===
מצא צורת ג'ורדן ל-<math>A=\begin{pmatrix}
[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 10|פתרון (עמנואל סגל)]]
===תשס"ח, מועד ב', שאלה 5 (ענר+ברגר)- נפתלי,עמנואל,בועז===
אלו מבין המטריצות הבאות דומות?
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי,עמנואל,בועז)]]
עמנואל מצא שגיאות בפתרון, ואני מצאתי שגיאה נוספת (ותיקנתי). לכן, אין זוכים בקרדיטעל שאלה זו. טרם בדקתי את השאלות האחרות. מהרו לתקן לפני שאבדוק :) ב.צ. ===תשס"ט, מועד א', שאלה 10 (ורשבסקי+רומיק)- נפתלי וקסמן===
כל שתי מטריצות <math>A,B\epsilon M_{n}C</math> שמקיימות
<math>m_{A}(t)=m_{B}(t)=(t-1)^{2}(t-2)(t-3)</math>
הן דומות.
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ט, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי וקסמן)]]
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, ===תשס"טה, מועד א', שאלה 10|פתרון (מוזס+סלע) - נפתלי)]]וקסמן===
מצאו את צורת הג'ורדן של המטריצה <math>A===תשס"ו, מועד ב', שאלה \begin{pmatrix}1 &0 & 0 &0 \\ 4 & 2 &0 & 0\\ 7 & 5 (ברגר+פרידגוט)===& 3 & 0\\ 9 &8 & 6 & 2\end{pmatrix}</math>
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי וקסמן)]]
===תשס"א, מועד ב', שאלה 7 (לובוצקי+ריפס+שלום) & תשס"ט, מועד א', שאלה 8 (ורשבסקי+רומיק) - עמנואל סגל===
תהיינה <math>A,B\in M_n(F)</math>, ונניח של-<math>A</math> יש <math>n</math> ע"ע שונים ב-<math>F</math>. הוכח/הפרך: אם ל<math>A,B</math> אותו פ"א אז הן דומות.
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"א, מועד ב, שאלה 7|פתרון (עמנואל סגל)]]
לא צריך את משפט ג'ורדן בשביל להוכיח את זה וזה הוכחה מעגלית
===תשס"ב, מועד ב', שאלה 3 (לובוצקי+ריפס+שלום) - עמנואל סגל===
תהיינה
<math>A=\begin{pmatrix}
0 & 1 &0 & 0\\ 0& 0 &0 &0 \\ 1 0 & 0 &2 0& 1 \\ 0 & 0 &0 &0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>B=\begin{pmatrix}0 & 1 &0 & 0\\ 0& 0 &1 &0 \\ 0 &0 & 0&0 \\ 0& 10 &0 &0 \\
\end{pmatrix}</math>
מצאו את הפולינום האופייני והמינימלי של A. אם A לכסינה לכסנו אותה, ואם לא הוכיחו שאינה לכסינה.
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ו, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי)]]ענו נכון/לא נכון:
===תשס"ה, מועד א', שאלה 10 (מוזס+סלע)===<math>A</math> דומה ל <math>B</math>
מצאו את צורת הג'ורדן של המטריצה ב)<math>AdimkerA=\begin{pmatrix}1 &0 & 0 &0 \\ 4 & 2 &0 & 0\\ 7 & 5 & 3 & 0\\ 9 &8 & 6 & 2\end{pmatrix}dimkerB</math>.
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"הב, מועד אב, שאלה 103|פתרון (נפתליעמנואל סגל)]]
===תשס"זג, מועד ב', שאלה 4 1 בחלק III (לובוצקי+ברגרדה-שליט)- עמנואל סגל===האם מצא את המספר המקסימלי של מטריצות נילפוטנטיות מסדר 3 שאף שתיים מהן אינן דומות. (הערה: לדעתי יש אי-דיוק קל בניסוח השאלה, כי יש לומר שהשתיים אינן זהות, אבל זה חסר חשיבות.) [[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ג, מועד ב, שאלה 1 בחלק III|פתרון (עמנואל סגל)]] ===תשס"ד, מועד א', שאלה 11 (סלע+איזנברג) - עמנואל סגל=== מצא את צורת ג'ורדן של <math>\begin{pmatrix}1 5 &2 0 &3 0 &0 \\ 0 1& 4 &5 \\ 0 & 0 & 6\end{pmatrix}</math>, <math>\begin{pmatrix}6 &5 2&3 \\ 0 & 4 3 &2 0 \\ 0 4 & 0 5 & 16 & 3
\end{pmatrix}
</math>דומות מעל <math>\mathbb{Z}_{11}</math> ?.
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ז, מועד ב, שאלה 4|פתרון (עמנואל סגל)]]
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ד, מועד א, שאלה 11 |פתרון (עמנואל סגל)]]
===תשס"א, מועד ב', שאלה 7 (לובוצקי+ריפס+שלום)===
תהיינה <math>A===תשס"ה,B\in M_nמועד א', שאלה 9 (Fמוזס+סלע)</math>, ונניח של-<math>A</math> יש <math>n</math> ע"ע שונים ב-<math>F</math>. הוכח/הפרך: אם ל<math>A,B</math> אותו פ"א אז הן דומות.עמנואל סגל===
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"א, מועד ב, שאלה 7|פתרון (עמנואל סגל)]]תהי <math>A \in \mathbb{C} ^{n \times n}</math>.
הוכיחו כי צורת ג'ורדן של <math>A</math> היא יחידה כדי שינוי סדר הבלוקים.
===[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"בה, מועד ב'א, שאלה 3 9 |פתרון (לובוצקי+ריפס+שלוםעמנואל סגל)===]]
==אוניברסיטת מדינת קנט (ארה"ב)==
בסעיף זה יובאו פתרונות של שאלות מתוך
[http://www.math.kent.edu/~white/qual/list/linalg.pdf בחינות הסיום באלגברה של אוניברסיטת קנט]
===יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 22 (וייט) - נטע צדוק=== תהי מטריצה <math>A</math> בעלת הפולינום האופייני: <math>P_A(x)=(x-3)^5</math> והפולינום המינימלי: <math>M_A(x)=(x-3)^3</math>. א. מנה את כל צורות הג'ורדן האפשריות למטריצה זו. ב. קבע מהי צורת הג'ורדן של המטריצה: <math>A = \begin{bmatrix}3 & -1 & 2 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 0 & -2 & 0\\ 1 & 0& 3& -1& 0\\ 0 & -1& 2& 3& 0\\ 0 & 2& -3& 0& 3\end{bmatrix}</math> לה אותו פולינום אופייני ואותו פולינום מינימלי המוזכרים בסעיף א'. [[פתרון לינארית 2, אונ' עבריתקנט, תשס"ב2010, מועד יוני, שאלה 22|פתרון (נטע צדוק)]] ===יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 21 (וייט) - נטע צדוק=== מצא את כל צורות ג'ורדן האפשריות לסעיפים הבאים. הסבר את תשובתיך! א. אופרטור לינארי <math>T</math> שהפולינום האופייני שלו הוא: <math>P_T(x)=(x-2)^4(x-3)^2</math> והפולינום המינימלי שלו הוא: <math>M_T(x)=(x-2)^2(x-3)^2</math> ב. אופרטור לינארי <math>T</math> שהפולינום האופייני שלו הוא: <math>P_T(x)=(x-4)^5</math> ונתון גם ש: <math>dim(ker(T-4I))=3</math> [[פתרון לינארית 2, אונ' קנט, יוני 2010, שאלה 21|פתרון (נטע צדוק)]] ===יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 4 (וייט) - נעם ליפשיץ===הראה שלכל מטריצה הפיכה A יש שורש ריבועי כלומר מטריצה B כך ש <math>B^{2}=A</math> [[שורש של מטריצה הפיכה| (פתרון: נעם ליפשיץ)]] ===יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 13 (וייט) - נעם ליפשיץ===נניח A וB מטריצות מרוכבות ונניח שיש להם אותם וקטורים עצמיים. הראה שאם הפולינום המינימלי של A הוא <math>(x+1)^{2}</math> והפולינום האופייני של B הוא <math>x^{5}</math> אז <math>B^{3}=0</math> [[פתרון לינארית 2, אונ' קנט, יוני 2010, שאלה 13|פתרון (עמנואל סגלנעם ליפשיץ)]] ===יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 25 (וייט) - נוי מאור=== תהיינה A=<math>\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}</math> B=<math>\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}</math> C=<math>\begin{pmatrix}2 & -1 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 3 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}</math> א. מצא את הפולינום האופייני של המטריצות ב. מצא את הפולינום המינימלי של המטריצות ג. מצא את הערכים העצמיים של המטריצות ד. מצא את המימדים של כל המרחבים העצמיים של המטריצות ה. מצא את צורת הג'ורדן של המטריצות
==אוניברסיטת ת"א==[[פתרון לינארית 2, אונ' קנט, 2010, יוני, שאלה 25|פתרון (נוי מאור)]]