תחרות זו, במסגרת הקורס אלגברה לינארית 2 תשע"ב, היא על כתיבת פתרונות לשאלות ממבחנים בנושא צורת ג'ורדן.
'''דירוג בינייםסופי - היכל התהילה:'''
1הכלל לפיו דירגתי הוא חצי נקודה על פתרון שתוקן, וחצי נקודה על תיקון פתרון. עמנואל סגל (11 פתרונות)מי שחושב שיש טעות שמשנה את הדירוג, מתבקש להודיע לי באימייל.[[משתמש:Tsaban|בועז צבאן]]
21. אלעד איטח עמנואל סגל (8 פתרונות11).
32. נפתלי אלעד איטח (7.5) ונפתלי וקסמן (6 פתרונות).5)
43. אוהד קליין, אופיר שפיגלמן נעם ליפשיץ (2 פתרונות3.5)- לנעם מגיעה תודה מיוחדת על עזרה בבדיקת הפתרונות.
54. אתה אוהד קליין (אם אינך אחד מהנ"ל2), נטע צדוק (2), אופיר שפיגלמן (1.5)
יאללה לעבודה5. נוי מאור (1) כל הכבוד לכל הזוכים בתחרות!אפשר להמשיך להוסיף פתרונות ולתקן או לשפר פתרונות, שלא על מנת לקבל פרס אלא לטובת הדורות הבאים...
הערה: הדירוג זמני. לאחר חנוכה, נבדוק את הפתרונות, נתקן מה שדרוש תיקון (ובכך נשמיט את הקרדיט על הפתרון מפותרו), ונספור מחדש.
==הנחיות==
==אוניברסיטת בר-אילן==
===???, מועד א', שאלה 5 (עדין)- אלעד איטח===
א. הגדר ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של ערך עצמי.
ב. מצא צורת זג'ורדן של <math>A=\begin{pmatrix}
2&2 &-1 \\
0 &-1 &2 \\
קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/015.pdf (השנה לא ברורה).
===תש"ס, מועד א', שאלה 11 רב-ברירה (עדין+ארד+פייגלשטוק)- אלעד איטח===
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
2 &1 &0&0 \\
<math>V_{\lambda }\subseteq \mathbb{R}^{4}</math> יסמן את מרחב הווקטורים העצמיים
המתאימים לע"ע למדה<math>\lambda</math>. אזי:
א. <math>dim(V_{2})+dim(V_{5})=3</math>
קישור למקור:http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin2a60.pdf
===תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (פרופ' מינה טייכר)- אלעד איטח,נעם ליפשיץ===
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
1 &1 &1 \\
ג. מצא את הערכים העצמיים של A.
ד. מצא ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של כל ע"ע(בעזרת ב').
ה. מצא צורת זג'ורדן של A (באמצעות א' ו-ב').
[[פתרון 4 (אלעד איטח)|פתרון (אלעד איטח,נעם ליפשיץ)]]
קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/079.pdf
===תשע"א, מועד א', שאלה 4 (צבאן+קוניאבסקי)- אופיר שפיגלמן,נעם ליפשיץ===
נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות <math>A וB </math> ו <math>B</math> דומות.
[[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4|פתרון (אופיר שפיגלמן,נעם ליפשיץ)]]
הקרדיט שמור בינתיים* עד כאן בדקתי ותיקנתי, אך הפתרון טעון שיפורפחות או יותר. [[משתמש: אין צורך לעבור למקרה הנילפוטנטי. ראו בחוברת על משפט ג'ורדן.ב.צ.Tsaban|בועז צבאן]] 01:10, 9 בינואר 2012 (IST)
===תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (טייכר)- עמנואל סגל===
מצא צורת ג'ורדן ל- <math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"א, מועד ב, שאלה 4 |פתרון (עמנואל סגל)]]
הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: "קל לראות ש" או "על ידי חישוב ישיר רואים" אינם קבילים.(גם לא במבחן.) הוסיפו את החישוב! ב.צ. ===תשנ"ט, מועד א', שאלה 5 (עדין)- עמנואל סגל===
יהי <math>T</math> אופרטור לינארי שהפ"א שלו הוא <math>p_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2)</math>.
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מועד א, שאלה 5|פתרון (עמנואל סגל)]]
הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: יש טענות בלי הסברים. ב.צ. ===תשס"ב, מועד ב', שאלת רב-ברירה מספר 2 (צבאן)- עמנואל סגל===
תהי <math>A\in\mathbb{C}^{8\times 8}</math> שהפ"א שלה הוא <math>(t-1)^{4}(t-2)^{4}</math> והפ"מ שלה הוא <math>(t-1)^{2}(t-2)</math>. נתון שהר"ג של הע"ע 1 הוא 2. מצא את צורת ג'ורדן של A.
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד ב, שאלה 2|פתרון (עמנואל סגל)]]
===תשס"ב, מועד א', שאלה 6 (צבאן)- עמנואל סגל===
נתבונן במטריצה
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד א, שאלה 6|פתרון (עמנואל סגל)]]
למה תיקנת לשגיאה? לפי כללי התעתיק יש לכתוב ז'ורדן... (http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9B%D7%9C%D7%9C%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%AA%D7%A2%D7%AA%D7%99%D7%A7_%D7%9E%D7%A6%D7%A8%D7%A4%D7%AA%D7%99%D7%AA) ===תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8 (עדין)- נפתלי וקסמן===
יהי <math>T</math> אופרטור לינארי עם פולינום אופייני <math>f_{T}(x)=x^{2}(x+1)^{4}(x-2)</math>
אם נתון כי <math>m_{T}(x)=x(x+1)^{2}(x-2)</math> אז מצא את מס' הצורות האפשריות.
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8|פתרון (נפתליוקסמן)]]
===תש"ע, מועד ב', שאלה 1 (צבאן+קוניאבסקי)- נפתלי וקסמן, נעם ליפשיץ===
הוכח כי המטריצות הממשיות הבאות דומות: <math>A=\begin{pmatrix}
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תש"ע, מועד ב', שאלה 1|פתרון (נפתלי)]]
פתרון יותר יפה[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תש"ע, מועד ב', שאלה 1'|פתרון (נעם)]] ===תשע"א, מועד ב', שאלה 3 (צבאן+קוניאבסקי)- נפתלי וקסמן===
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
א. מעל <math>\mathbb{R}</math> ב. מעל <math>\mathbb{C}</math>
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשע"א, מועד ב', שאלה 3|פתרון (נפתליוקסמן)]] השלם את ההוכחה
==האוניברסיטה העברית==
===תשס"ג, מועד ב', שאלה 3 רב-ברירה (לובוצקי, דה-שליט)- אלעד איטח===
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
3 &1 &0 \\
</math> אזי:
א. A מטריצה בצורת זג'ורדן.
ב. A לכסינה.
קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_2_1.pdf
===תשס"ב, מועד א', שאלה 4(דה-שליט,שלום,ענרשלו)- אלעד איטח===
תהי <math>T:\mathbb{C}^{4}\rightarrow \mathbb{C}^{4}</math> מיוצגת בבסיס הסטנדרטי ע"י:
<math>A=\begin{pmatrix}
קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_1_1.pdf
===תשס"ג, מועד א'''עמנואל''': מצאתי טעות , שאלה 5 בשאלות הרב- מימד המרחב של 4 הוא 3 ולא 2 ברירה (מכיוון שלא הגיוני שנתקן בדף התוכן, לא ברור איפה צריך לרשום את התיקונים דה- פה, או בדף השיחה של הפתרון?שליט+לובוצקי)- אלעד איטח===
===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 בשאלות הרב-ברירה (דה-שליט+לובוצקי)===
תהי <math>T</math> ט"ל נילפוטנטית במרחב 4 מימדי.
<math>Ker(T^{2})\neq Ker(T^{3})</math> מי מהטענות הבאות נכונה?
[[פתרון 3 (אלעד איטח)]]
===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 (דה-שליט+לובוצקי)- אלעד איטח===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה הממשית <math>A=\begin{pmatrix}
5 & 2 & 1\\
[[פתרון 2(אלעד איטח)]]
=== תשס"ב, מועד ב', שאלה 4 (דה-שליט+ענר) -אלעד איטח===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה
<math>\begin{pmatrix}
[[פתרון (אלעד איטח)]]
===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)- נפתלי וקסמן===
נתונות המטריצות
האם הן דומות? הוכח את טענתך.
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (נפתליוקסמן)]]
תפרט את החישובים ===תשס"ט, מועד א', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)- אוהד קליין===
נתונה המטר': <math>A=\begin{pmatrix}
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד א, שאלה 4|פתרון (אוהד קליין)]]
===תשס"ה, מועד ב', שאלה 11 (מוזס+סלע)- אופיר שפיגלמן===
'''שאלה:''' תהי <math>A\in \mathbb{C}^{n \times n}</math>. הוכיחו כי <math>A\sim A^{t}</math>.
[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 11|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]
===תשס"ד, מועד ב, שאלה 11 (איזנברג+סלע)- אוהד קליין===
השאלה:
[http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%AA%D7%A9%D7%A1%D7%93,%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91,_%D7%9E%D7%95%D7%A2%D7%93_%D7%91,_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%94_11 פתרון (אוהד קליין)]
===תשס"ה, מועד ב', שאלה 10 (מוזס+סלע)- עמנואל סגל===
מצא צורת ג'ורדן ל-<math>A=\begin{pmatrix}
[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 10|פתרון (עמנואל סגל)]]
===תשס"ח, מועד ב', שאלה 5 (ענר+ברגר)- נפתלי,עמנואל,בועז===
אלו מבין המטריצות הבאות דומות?
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי,עמנואל,בועז)]]
עמנואל מצא שגיאות בפתרון, ואני מצאתי שגיאה נוספת (ותיקנתי). לכן, אין זוכים בקרדיטעל שאלה זו. טרם בדקתי את השאלות האחרות. מהרו לתקן לפני שאבדוק :) ב.צ. ===תשס"ט, מועד א', שאלה 10 (ורשבסקי+רומיק)- נפתלי וקסמן===
כל שתי מטריצות <math>A,B\epsilon M_{n}C</math> שמקיימות
<math>m_{A}(t)=m_{B}(t)=(t-1)^{2}(t-2)(t-3)</math>
הן דומות.
[[פתרון לינארית 2, אונ'''תיקוןעברית, תשס"ט, מועד א, שאלה 10|פתרון (עמנואלנפתלי וקסמן):''' המשפט שבסוף הפתרון שגוי. ניתן לבנות דוגמאות נגדיות מסדר 7.]]
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ט, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי)]] ===תשס"ו, מועד ב', שאלה 5 (ברגר+פרידגוט)=== <math>A=\begin{pmatrix}1 & 0 &0 &0 \\ 1 &2 & 0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 \\ 0 &0 &0 & 1\end{pmatrix}</math> מצאו את הפולינום האופייני והמינימלי של A. אם A לכסינה לכסנו אותה, ואם לא הוכיחו שאינה לכסינה. [[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ו, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי)]] :'''עמנואל:''' אני לא אובייקטיבי, אבל החלק של ז'ורדן מיותר -- ידוע שאם הפ"מ מתפרק לגורמים לינארים זרים שמעלת כל אחד מהם היא 1 אז A לכסינה. חשוב יותר -- בכלל לא ביקשו להוכיח שהיא לכסינה (אלא להוכיח שהיא לא, אם הדבר אפשרי), ולכן הפתרון שגוי. תיקנתי ושמתי את התיקון בדף השיחה של הפתרון. ===תשס"ה, מועד א', שאלה 10 (מוזס+סלע)- נפתלי וקסמן===
מצאו את צורת הג'ורדן של המטריצה <math>A=\begin{pmatrix}
\end{pmatrix}</math>
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתליוקסמן)]]
===תשס"ז, מועד ב', שאלה 4 (לובוצקי+ברגר)===האם <math>\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\ 0 & 4 &5 \\ 0 & 0 & 6\end{pmatrix}</math>, <math>\begin{pmatrix}6 &5 &3 \\ 0 & 4 &2 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}</math>דומות מעל <math>\mathbb{Z}_{11}</math> ? [[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ז, מועד ב, שאלה 4|פתרון (עמנואל סגל)]] ===תשס"א, מועד ב', שאלה 7 (לובוצקי+ריפס+שלום) & תשס"ט, מועד א', שאלה 8 (ורשבסקי+רומיק)- עמנואל סגל===
תהיינה <math>A,B\in M_n(F)</math>, ונניח של-<math>A</math> יש <math>n</math> ע"ע שונים ב-<math>F</math>. הוכח/הפרך: אם ל<math>A,B</math> אותו פ"א אז הן דומות.
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"א, מועד ב, שאלה 7|פתרון (עמנואל סגל)]]
לא צריך את משפט ג'ורדן בשביל להוכיח את זה וזה הוכחה מעגלית ===תשס"ב, מועד ב', שאלה 3 (לובוצקי+ריפס+שלום)- עמנואל סגל===
תהיינה
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ב, מועד ב, שאלה 3|פתרון (עמנואל סגל)]]
===תשס"ג, מועד ב', שאלה 1 בחלק III (לובוצקי+דה-שליט)- עמנואל סגל===
מצא את המספר המקסימלי של מטריצות נילפוטנטיות מסדר 3 שאף שתיים מהן אינן דומות.
===תשס"ד, מועד א', שאלה 11 (סלע+איזנברג)- עמנואל סגל===
מצא את צורת זג'ורדן של <math>\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0 &0 \\
1& 4 & 0 & 0\\
===תשס"ה, מועד א', שאלה 9 (מוזס+סלע)- עמנואל סגל===
תהי <math>A \in \mathbb{C} ^{n \times n}</math>.
הוכיחו כי צורת זג'ורדן של <math>A</math> היא יחידה כדי שינוי סדר הבלוקים.
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 9 |פתרון (עמנואל סגל)]]
[http://www.math.kent.edu/~white/qual/list/linalg.pdf בחינות הסיום באלגברה של אוניברסיטת קנט]
סעיף זה נועד רק לתלמידים שטרם הצטרפו לתחרות (כלומר, לא פתרו שאלות מהמבחנים שבאתר של ד"ר צבאן).אתם מוזמנים להוסיפן ולפתרן. [[משתמש:Tsaban|בועז צבאן]] 22:01, 31 בדצמבר 2011 (IST) ===יוני 2010, אוניברסיטת קנט (ארה"ב), שאלה 22 (Donald L. Whiteוייט)- נטע צדוק===
תהי מטריצה <math>A</math> בעלת הפולינום האופייני: <math>P_A(x)=(x-3)^5</math> והפולינום המינימלי: <math>M_A(x)=(x-3)^3</math>.
===יוני 2010, אוניברסיטת קנט (ארה"ב), שאלה 21 (Donald L. Whiteוייט)- נטע צדוק===
מצא את כל צורות זג'ורדן האפשריות לסעיפים הבאים. הסבר את תשובתיך!
א. אופרטור לינארי <math>T</math> שהפולינום האופייני שלו הוא: <math>P_T(x)=(x-2)^4(x-3)^2</math> והפולינום המינימלי שלו הוא: <math>M_T(x)=(x-2)^2(x-3)^2</math>
===יוני 2010, אוניברסיטת קנט (ארה"ב), שאלה 21 4 (Donald L. Whiteוייט)- נעם ליפשיץ===Show that every complex non-singular n×n matrix has a square root. הראה שלכל מטריצה הפיכה A יש שורש ריבועי כלומר מטריצה B כך ש <math>B^{2}=A</math> [Hint[שורש של מטריצה הפיכה| (פתרון: Show firstנעם ליפשיץ)]]that a Jordan block with non===יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 13 (וייט) -zero eigenvalue has a square rootנעם ליפשיץ===נניח A וB מטריצות מרוכבות ונניח שיש להם אותם וקטורים עצמיים.] הראה שאם הפולינום המינימלי של A הוא <math>(x+1)^{2}</math> והפולינום האופייני של B הוא <math>x^{5}</math> אז <math>B^{3}=0</math> [[http:פתרון לינארית 2, אונ' קנט, יוני 2010, שאלה 13|פתרון (נעם ליפשיץ)]] ===יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 25 (וייט) - נוי מאור=== תהיינה A=<math>\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}</math> B=<math>\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}</math> C=<math>\begin{pmatrix}2 & -wiki.com1 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 3 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}</images/c/c1/Hanukamath> א.pdf]]מצא את הפולינום האופייני של המטריצות ב. מצא את הפולינום המינימלי של המטריצות ג. מצא את הערכים העצמיים של המטריצות ד. מצא את המימדים של כל המרחבים העצמיים של המטריצות ה. מצא את צורת הג'ורדן של המטריצות [[פתרון לינארית 2, אונ' קנט, יוני 2010, יוני, שאלה 425|פתרון (נעם ליפשיץנוי מאור)]]