תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

תחרות זו, במסגרת הקורס אלגברה לינארית 2 תשע"ב, היא על כתיבת פתרונות לשאלות ממבחנים בנושא צורת ג'ורדן.

דירוג ביניים:

1. עמנואל סגל (11 פתרונות).

2. אלעד איטח (8 פתרונות).

3. נפתלי וקסמן (6 פתרונות).

4. אוהד קליין, אופיר שפיגלמן (2 פתרונות).

5. אתה (אם אינך אחד מהנ"ל).

יאללה לעבודה!

הערה: הדירוג זמני. לאחר חנוכה, נבדוק את הפתרונות, נתקן מה שדרוש תיקון (ובכך נשמיט את הקרדיט על הפתרון מפותרו), ונספור מחדש.

הנחיות

0. קרא בעיון את החוברת על משפט ג'ורדן, כולל התירגול בסוף. פתרונות שיהיו מסובכים יותר מהשיטה הפשוטה שנלמדת בחוברת, לא יתקבלו.

1. חפש מבחנים באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן. למשל, יש בחינות במאגר הבחינות של ד"ר צבאן.

2. אם המבחן שמצאת אינו במאגר הבחינות של ד"ר צבאן, שלח לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.

3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש שימוש בכלים של צורת ג'ורדן, אשר טרם נכתבה להלן. כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון, לפי הדוגמאות להלן. אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.

4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות. בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו. (תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)

שיתוף פעולה: תלמידים המעוניינים לשתף פעולה ולהעלות פתרון יחד (למשל, אם אחד יודע רק לקרוא והשני רק לכתוב) יכולים לעשות זאת, אך אז הניקוד על השאלה (נקודה אחת) יתחלק ביניהם בשווה. עדיין, זה עשוי להשתלם להם, אם יחד הם יפתרו יותר מאשר הסכום של מספר הפתרונות שכל אחד יכול להעלות לבד. וגם זה עשוי להיות יותר כיף.

שבת מנוחה: כדי לא לצאת מפרופורציות, וכדי שהתחרות תהיה הוגנת כלפי כל התלמידים, שאלות שיעלו בשבת (מזמן הדלקת הנרות ביום שישי ועד מוצאי שבת) לא יזכו בניקוד.

5. יש להעלות את הפיתרון בתוך הויקי (להלן דוגמא איך מעלים פתרון בויקי), ולא על ידי צירוף קובץ עם הפתרון. צירוף קובץ עם הפתרון אפשרי רק כדי לשמור את השאלה לעצמכם, אבל לא יזכה בנקודה כל עוד לא העליתם את הפתרון בויקי. לעזרה ראה: איך כותבים בויקי.

6. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי. נכון לרגע כתיבת משפט זה, יש שגיאות בחלק מהפתרונות (הזדמנות לזריזים).

7. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה. בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו לכבוד רב!

• לנוחיותכם, להלן תבנית להעלאת שאלה. השלבים:

א. פיתחו תבנית זו על ידי הקלקה על "עריכה".

ב. העתיקו את תוכנה למקום שבו אתם מכניסים את השאלה החדשה שלכם, ושנו את הנתונים בהתאם.

ג. לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.

ד. הקישור לפיתרון יופיע בצבע אדום. הקליקו עליו וייפתח דף התשובה לשאלה. שם, רישמו את תשובתכם ושימרו (לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.).

זה הכל.

תש?"?, מועד א/ב', שאלה ? (מרצה+מרצה)

להכניס כאן את השאלה.

פתרון (שם הפותר)

אוניברסיטת בר-אילן

???, מועד א', שאלה 5 (עדין)

א. הגדר ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של ערך עצמי. ב. מצא צורת ז'ורדן של $A=\begin{pmatrix} 2&2 &-1 \\ 0 &-1 &2 \\ 0 &-6 &6 \end{pmatrix}$

פתרון 6 (אלעד איטח)

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/015.pdf (השנה לא ברורה).

תש"ס, מועד א', שאלה 11 רב-ברירה (עדין+ארד+פייגלשטוק)

תהי $A=\begin{pmatrix} 2 &1 &0&0 \\ 0 &2 &0 &0 \\ 0 &0 &2 &0 \\ 0 &0 &0 &5 \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{4X4}$

$V_{\lambda }\subseteq \mathbb{R}^{4}$ יסמן את מרחב הווקטורים העצמיים המתאימים לע"ע למדה. אזי: א. $dim(V_{2})+dim(V_{5})=3$

ב. אף אחת מהתשובות האחרות אינה נכונה.

ג. $dim(V_{2})=3$

ד. $V_{2}\oplus V_{5}=\mathbb{R}^{4}$

פתרון 5 (אלעד איטח)

קישור למקור:http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin2a60.pdf

תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (פרופ' מינה טייכר)

תהי $A=\begin{pmatrix} 1 &1 &1 \\ 0 &1 &1 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix}$

א. מצא את הפולינום האופייני של A. ב. מצא את הפולינום המינימאלי של A. ג. מצא את הערכים העצמיים של A. ד. מצא ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של כל ע"ע(בעזרת ב'). ה. מצא צורת ז'ורדן של A (באמצעות א' ו-ב').

פתרון 4 (אלעד איטח)

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/079.pdf

תשע"א, מועד א', שאלה 4 (צבאן+קוניאבסקי)

נניח שלמטריצות $A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3}$ יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.

פתרון (אופיר שפיגלמן)

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון טעון שיפור: אין צורך לעבור למקרה הנילפוטנטי. ראו בחוברת על משפט ג'ורדן. ב.צ.

תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (טייכר)

מצא צורת ג'ורדן ל- $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

פתרון (עמנואל סגל)

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: "קל לראות ש" או "על ידי חישוב ישיר רואים" אינם קבילים. (גם לא במבחן.) הוסיפו את החישוב! ב.צ.

תשנ"ט, מועד א', שאלה 5 (עדין)

יהי $T$ אופרטור לינארי שהפ"א שלו הוא $p_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2)$.

א. מצא את מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור $T$.

ב. אם ידוע גם שהפולינום המינימלי של $T$ הוא $m_A(x)=x(x-1)^{2}(x-2)$, מהו מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור $T$?

פתרון (עמנואל סגל)

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: יש טענות בלי הסברים. ב.צ.

תשס"ב, מועד ב', שאלת רב-ברירה מספר 2 (צבאן)

תהי $A\in\mathbb{C}^{8\times 8}$ שהפ"א שלה הוא $(t-1)^{4}(t-2)^{4}$ והפ"מ שלה הוא $(t-1)^{2}(t-2)$. נתון שהר"ג של הע"ע 1 הוא 2. מצא את צורת ג'ורדן של A.

פתרון (עמנואל סגל)

תשס"ב, מועד א', שאלה 6 (צבאן)

נתבונן במטריצה $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0&1 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

מצא את צורת ג'ורדן של המטריצה A.

פתרון (עמנואל סגל)

למה תיקנת לשגיאה? לפי כללי התעתיק יש לכתוב ז'ורדן... (http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9B%D7%9C%D7%9C%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%AA%D7%A2%D7%AA%D7%99%D7%A7_%D7%9E%D7%A6%D7%A8%D7%A4%D7%AA%D7%99%D7%AA)

תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8 (עדין)

יהי $T$ אופרטור לינארי עם פולינום אופייני $f_{T}(x)=x^{2}(x+1)^{4}(x-2)$

מצא את מס' צורות הג'ורדן האפשריות עבור $T$.

אם נתון כי $m_{T}(x)=x(x+1)^{2}(x-2)$ אז מצא את מס' הצורות האפשריות.

פתרון (נפתלי)

תש"ע, מועד ב', שאלה 1 (צבאן+קוניאבסקי)

הוכח כי המטריצות הממשיות הבאות דומות: $A=\begin{pmatrix} 1 &1 &1 \\ 1 &1 &1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 3 &0 & 0\\ 0 & 0 &0 \\ 0&0 & 0 \end{pmatrix}$

פתרון (נפתלי)

תשע"א, מועד ב', שאלה 3 (צבאן+קוניאבסקי)

תהי $A=\begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 \\ 0 & 0 &0 & 1\\ 1& 0 &0 &-2 \\ 0& 1 & 2 &0 \end{pmatrix}$ קבע האם קיימת לA צורת ג'ורדן, ואם כן מצא אותה ואת המטריצה המג'רדנת.

א. מעל $\mathbb{R}$ ב. מעל $\mathbb{C}$

פתרון (נפתלי)

האוניברסיטה העברית

תשס"ג, מועד ב', שאלה 3 רב-ברירה (לובוצקי, דה-שליט)

תהי $A=\begin{pmatrix} 3 &1 &0 \\ 0 &2 &0 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix}$ אזי:

א. A מטריצה בצורת ז'ורדן.

ב. A לכסינה.

ג. הפולינום האופייני והמינימלי של A שווים.

ד. 3 איננו שורש של הפולינום המינימלי של A.

פתרון 8 (אלעד איטח)

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_2_1.pdf

תשס"ב, מועד א', שאלה 4(דה-שליט,שלום,ענר)

תהי $T:\mathbb{C}^{4}\rightarrow \mathbb{C}^{4}$ מיוצגת בבסיס הסטנדרטי ע"י: $A=\begin{pmatrix} 4 &1 &0 &0 \\ 0 &4 &0 &0 \\ 0 &0 &4 &0 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}$

א. מהם הע"ע של T?

ב. מהם מימדי המרחבים העצמיים המתאימים?

פתרון 7 (אלעד איטח)

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_1_1.pdf

עמנואל: מצאתי טעות - מימד המרחב של 4 הוא 3 ולא 2 (מכיוון שלא הגיוני שנתקן בדף התוכן, לא ברור איפה צריך לרשום את התיקונים - פה, או בדף השיחה של הפתרון?)

תשס"ג, מועד א', שאלה 5 בשאלות הרב-ברירה (דה-שליט+לובוצקי)

תהי $T$ ט"ל נילפוטנטית במרחב 4 מימדי. $Ker(T^{2})\neq Ker(T^{3})$ מי מהטענות הבאות נכונה?

1. $T^{3}=0$

2. בצורת ג'ורדן של T יש רק בלוק אחד.

3. בצורת ג'ורדן של T יש בלוק מסדר>=3.

4.$T^{3}\neq 0$

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

פתרון 3 (אלעד איטח)

תשס"ג, מועד א', שאלה 5 (דה-שליט+לובוצקי)

מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה הממשית $A=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 1\\ 0 & 5 & -2\\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

פתרון 2(אלעד איטח)

תשס"ב, מועד ב', שאלה 4 (דה-שליט+ענר)

מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix}$ מעל שדה המרוכבים

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_2_1.pdf

פתרון (אלעד איטח)

תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)

נתונות המטריצות

$A=\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right), B=\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right)$

האם הן דומות? הוכח את טענתך.

פתרון (נפתלי)

תשס"ט, מועד א', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)

נתונה המטר': $A=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 3 & 0\\ 4 & 5 & 6 & 3 \end{pmatrix}$

א) מצא את צורת ג'ורדן של A

ב) מצא P הפיכה כך ש $P^{-1}AP$ היא צורת זורדן של A.

מקור: [1]

פתרון (אוהד קליין)

תשס"ה, מועד ב', שאלה 11 (מוזס+סלע)

שאלה: תהי $A\in \mathbb{C}^{n \times n}$. הוכיחו כי $A\sim A^{t}$.

פתרון (אופיר שפיגלמן)

תשס"ד, מועד ב, שאלה 11 (איזנברג+סלע)

השאלה:

תהי $A \in M_n(C)$ המטר' הבאה: $A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & ... & 0 & 1\\ 1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & 1 & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & 1 & 0 \end{pmatrix}$ . מצא את צורת הג'ורדן שלה.

מקור: [2]

פתרון (אוהד קליין)

תשס"ה, מועד ב', שאלה 10 (מוזס+סלע)

מצא צורת ג'ורדן ל-$A=\begin{pmatrix} 2&1 & 0 & 0\\ 0& 2 & 1 &0 \\ 0 & 0& 2 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{4x4}$

פתרון (עמנואל סגל)

תשס"ח, מועד ב', שאלה 5 (ענר+ברגר)

אלו מבין המטריצות הבאות דומות?

$A=\begin{pmatrix} 2 &8 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2 &0 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 2 &4 \\ 4 &2 \end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}$

פתרון (נפתלי,עמנואל,בועז)

עמנואל מצא שגיאות בפתרון, ואני מצאתי שגיאה נוספת (ותיקנתי). לכן, אין זוכים בקרדיט על שאלה זו. טרם בדקתי את השאלות האחרות. מהרו לתקן לפני שאבדוק :) ב.צ.

תשס"ט, מועד א', שאלה 10 (ורשבסקי+רומיק)

כל שתי מטריצות $A,B\epsilon M_{n}C$ שמקיימות

$f_{A}(t)=f_{B}(t)=(t-1)^{3}(t-2)^{2}(t-3)$

$m_{A}(t)=m_{B}(t)=(t-1)^{2}(t-2)(t-3)$

הן דומות

תיקון(עמנואל): המשפט שבסוף הפתרון שגוי. ניתן לבנות דוגמאות נגדיות מסדר 7.

פתרון (נפתלי)

תשס"ו, מועד ב', שאלה 5 (ברגר+פרידגוט)

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &0 \\ 1 &2 & 0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 \\ 0 &0 &0 & 1 \end{pmatrix}$

מצאו את הפולינום האופייני והמינימלי של A. אם A לכסינה לכסנו אותה, ואם לא הוכיחו שאינה לכסינה.

פתרון (נפתלי)

עמנואל: אני לא אובייקטיבי, אבל החלק של ז'ורדן מיותר -- ידוע שאם הפ"מ מתפרק לגורמים לינארים זרים שמעלת כל אחד מהם היא 1 אז A לכסינה. חשוב יותר -- בכלל לא ביקשו להוכיח שהיא לכסינה (אלא להוכיח שהיא לא, אם הדבר אפשרי), ולכן הפתרון שגוי. תיקנתי ושמתי את התיקון בדף השיחה של הפתרון.

תשס"ה, מועד א', שאלה 10 (מוזס+סלע)

מצאו את צורת הג'ורדן של המטריצה $A=\begin{pmatrix} 1 &0 & 0 &0 \\ 4 & 2 &0 & 0\\ 7 & 5 & 3 & 0\\ 9 &8 & 6 & 2 \end{pmatrix}$

פתרון (נפתלי)

תשס"ז, מועד ב', שאלה 4 (לובוצקי+ברגר)

האם $\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 & 4 &5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 6 &5 &3 \\ 0 & 4 &2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ דומות מעל $\mathbb{Z}_{11}$ ?

פתרון (עמנואל סגל)

תשס"א, מועד ב', שאלה 7 (לובוצקי+ריפס+שלום) & תשס"ט, מועד א', שאלה 8 (ורשבסקי+רומיק)

תהיינה $A,B\in M_n(F)$, ונניח של-$A$ יש $n$ ע"ע שונים ב-$F$. הוכח/הפרך: אם ל$A,B$ אותו פ"א אז הן דומות.

פתרון (עמנואל סגל)

תשס"ב, מועד ב', שאלה 3 (לובוצקי+ריפס+שלום)

תהיינה $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 & 0\\ 0& 0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0&1 \\ 0& 0 &0 &0 \\ \end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 & 0\\ 0& 0 &1 &0 \\ 0 & 0 & 0&0 \\ 0& 0 &0 &0 \\ \end{pmatrix}$

ענו נכון/לא נכון:

א)$A$ דומה ל $B$

ב)$dimkerA=dimkerB$.

פתרון (עמנואל סגל)

תשס"ג, מועד ב', שאלה 1 בחלק III (לובוצקי+דה-שליט)

מצא את המספר המקסימלי של מטריצות נילפוטנטיות מסדר 3 שאף שתיים מהן אינן דומות.

(הערה: לדעתי יש אי-דיוק קל בניסוח השאלה, כי יש לומר שהשתיים אינן זהות, אבל זה חסר חשיבות.)

פתרון (עמנואל סגל)

תשס"ד, מועד א', שאלה 11 (סלע+איזנברג)

מצא את צורת ז'ורדן של $\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 &0 \\ 1& 4 & 0 & 0\\ 2& 3& 3 &0 \\ 4 & 5 &6 & 3 \end{pmatrix}$.

פתרון (עמנואל סגל)

תשס"ה, מועד א', שאלה 9 (מוזס+סלע)

תהי $A \in \mathbb{C} ^{n \times n}$.

הוכיחו כי צורת ז'ורדן של $A$ היא יחידה כדי שינוי סדר הבלוקים.

פתרון (עמנואל סגל)

אוניברסיטת מדינת קנט (ארה"ב)

בסעיף זה יובאו פתרונות של שאלות מתוך בחינות הסיום באלגברה של אוניברסיטת קנט

אתם מוזמנים להוסיפן ולפתרן. בועז צבאן 22:01, 31 בדצמבר 2011 (IST)