שינויים
המשך יבוא
:* '''שילוש של מצולע משוכלל''' בעל <math>n</math> קודקודים הוא מבנה גיאומטרי הנוצר מהמצולע כשמעבירים בו <math>n-3</math> אלכסונים שאינם חותכים זה את זה פרט לבקודקודי המצולע. יש <math>C_n</math> דרכים לשלש מצולע משוכלל בעל <math>n+2</math> צלעות.
* '''מספר בל''' הוא מספר חלוקות הקבוצות של <math>[n]</math> ומסומן <math>B_n</math>.
* '''מספר סטיכלינג סטירלינג מסוג II''' הוא מספר חלוקות הקבוצות של <math>[n]</math> ל־<math>k</math> תתי־קבוצות לא ריקות ומסומן <math>S(n,k)</math>.
:* <math>B_n=\sum_{k=1}^n S(n,k)</math>.
:* יהי <math>N\in\mathbb N</math>. נסמן <math>S_N\in\mathbb R^{N\times N}</math> בתור המטריצה שהרכיב בשורה ה־<math>n</math> ובעמודה ה־<math>k</math> שלה הוא <math>S(n,k)</math>.
:* <math>\sum_{k=1}^n S(n,k)(x)_k=x^n</math>.
* '''מספר סטיכלינג סטירלינג הלא מסומן מסוג I''' הוא מספר התמורות על <math>[n]</math> עם <math>k</math> מחזורים ומסומן <math>C(n,k)</math>.
:* <math>n!=\sum_{k=1}^n C(n,k)</math>.
:* <math>C(n,n)=1\ \and\ C(n,1)=(n-1)!</math>.
* '''מספר סטיכלינג סטירלינג מסוג I''' הוא <math>s(n,k):=(-1)^{n-k}C(n,k)</math>.
:* יהי <math>N\in\mathbb N</math>. נסמן <math>s_N\in\mathbb R^{N\times N}</math> בתור המטריצה שהרכיב בשורה ה־<math>n</math> ובעמודה ה־<math>k</math> שלה הוא <math>s(n,k)</math>.
:* <math>\sum_{k=1}^n s(n,k)x^k=(x)_n</math>.
* '''נוסחת נסיגה למספרי קטלן:''' <math>\forall n>1:\ C_n=\sum_{i=1}^{n-1}C_i C_{n-i}</math> ו־<math>C_0=C_1=1</math>
* '''נוסחת נסיגה למספרי בל:''' <math>\forall n>0:\ \sum_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1}B_{n-k}</math> ו־<math>B_0=1</math>
* '''נוסחת נסיגה למספרי סטיכלינג סטירלינג מסוג II:''' <math>\forall n\in\mathbb N,k\in[n]:\ S(n,k)=S(n-1,k-1)+k S(n-1,k)</math> ו־<math>S(0,0)=1\ \and\ \forall n<k:\ s(n,k)=0\ \and\ \forall n>0:\ S(n,0)=0</math>* '''נוסחת נסיגה למספרי סטיכלינג סטירלינג לא מסומנים מסוג I:''' <math>\forall n\in\mathbb N,k\in[n]:\ C(n,k)=C(n-1,k-1)+(n-1)C(n-1,k)</math> ו־<math>C(0,0)=1\ \and\ \forall n<k:\ C(n,k)=0\ \and\ \forall n>0:\ C(n,0)=0</math>* '''נוסחת נסיגה למספרי סטיכלינג סטירלינג מסוג I:''' <math>\forall n\in\mathbb N,k\in[n]:\ s(n,k)=s(n-1,k-1)-(n-1)s(n-1,k)</math>
* <math>\binom{-1/2}n=\left(\frac{-1}4\right)^n\binom{2n}n</math>
* <math>\forall n\in\mathbb N:\ \binom{1/2}n=\frac{C_{n-1}}2\left(\frac{-1}4\right)^{n-1}</math>
* <math>\sum_{n=0}^\infty p(n)x^n=\prod_{n=1}^\infty\frac1{1-x^n}</math>
