שינויים
:* בהינתן מכפלה לא אסוציאטיבית <math>x_1\cdot x_2\cdot\dots\cdot x_{n+1}</math> יש <math>C_n</math> דרכים להוסיף סוגריים.
:* '''שילוש של מצולע משוכלל''' בעל <math>n</math> קודקודים הוא מבנה גיאומטרי הנוצר מהמצולע כשמעבירים בו <math>n-3</math> אלכסונים שאינם חותכים זה את זה פרט לבקודקודי המצולע. יש <math>C_n</math> דרכים לשלש מצולע משוכלל בעל <math>n+2</math> צלעות.
* '''מספר בל''' הוא מספר חלוקות הקבוצות של הקבוצה <math>[n]</math> ומסומן <math>B_n</math>.
* '''מספר סטירלינג הלא מסומן מסוג I''' הוא מספר התמורות על <math>[n]</math> עם <math>k</math> מחזורים ומסומן <math>C(n,k)</math>.
:* <math>n!=\sum_{k=1}^n C(n,k)</math>.
:* יהי <math>N\in\mathbb N</math>. נסמן <math>s_N\in\mathbb R^{N\times N}</math> בתור המטריצה שהרכיב בשורה ה־<math>n</math> ובעמודה ה־<math>k</math> שלה הוא <math>s(n,k)</math>.
:* <math>\sum_{k=1}^n s(n,k)x^k=(x)_n</math>.
* '''מספר סטירלינג מסוג II''' הוא מספר חלוקות הקבוצות של הקבוצה <math>[n]</math> ל־<math>k</math> תתי־קבוצות לא ריקות ומסומן <math>S(n,k)</math>.
:* <math>B_n=\sum_{k=1}^n S(n,k)</math>.
:* יהי <math>N\in\mathbb N</math>. נסמן <math>S_N\in\mathbb R^{N\times N}</math> בתור המטריצה שהרכיב בשורה ה־<math>n</math> ובעמודה ה־<math>k</math> שלה הוא <math>S(n,k)</math>.
* נרצה לחשב את <math>c_n:=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}</math>. נגדיר <math>f_1(x)=\sum_{i=0}^\infty a_ix^i</math> ו־<math>f_2(x)=\sum_{i=0}^\infty b_ix^i</math> ולכן <math>f_1(x)f_2(x)=\sum_{i=0}^\infty c_i x^i</math>.
* נרצה למצוא את מספר הפתרונות של <math>\sum_{i=1}^k t_i=n</math> כאשר <math>\forall i:\ t_i\in A_i\subseteq\mathbb N_0</math>. נתאים לכל משתנה פונקציה יוצרת <math>f_i(x)=\sum_{t\in A_i} x^t</math> ולכן מספר הפתרונות הדרוש הוא המקדם של <math>x^n</math> ב־<math>\prod_{i=1}^k f_i(x)</math>.
* נרצה למצוא כמה דרכים יש לחלק <math>kn</math> כדורים שונים בין <math>nk</math> תאים כאשר בתא ה־<math>i</math> חייב להיות מספר כדורים השייך לקבוצה <math>A_i\subseteq\mathbb N_0</math> וסדר השמת הכדורים משנה. נתאים לכל תא פונקציה <math>f_i(x)=\sum_{t\in A_i}\frac{x^t}{t!}</math> ולכן המספר הדרוש הוא המקדם של <math>\frac{x^n}{n!}</math> ב־<math>\prod_{i=1}^k f_i(x)</math>.
* אם <math>X:A\to\{0,1,\dots,n\}</math> משתנה מקרי כש־<math>|A|<\infty</math> ו־<math>f(x)=\sum_{k=0}^n |X^{-1}[\{k\}]|x^k</math> אז <math>f(1)=|A|</math>, התוחלת היא <math>\mbox{E}(X)=\frac{f'(1)}{f(1)}</math> והשונות היא <math>\mbox{V}(X)=\frac{f''(1)}{f(1)}+\mbox{E}(X)-\mbox{E}^2(X)</math>.
