* '''קבוע הגרביטציה האוניברסלי:''' <math>G\approx6.67\cdot10^{-11}\mathrm\frac{m^3}{kg\cdot s^2}</math>
* '''קבוע פלאנק:''' <math>\hbar\approx1.05\times10^{-34}\mathrm{J\cdot s}</math>
* '''מהירות האור בריק:''' <math>c=299792458\mathrm\frac ms</math>
=== תזכורות ונוסחאות ===
* כל מערכת נייחת היא אינרציאלית.
* '''טרנספורמציות גליליי:''' טרנספורמציות לינארית בין מערכות ייחוס. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>S'</math> מתקבלת מ־<math>S</math> ע״י טרנספורמציית גליליי אז <math>S'</math> אינרציאלית.
** {{הערה|מקרים פרטיים:}} <math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>; <math>\dot\vec r=\dot\vec r\,'+\vec v_0</math>; <math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math> כאשר <math>\mathbf R</math> היא מטריצת סיבוב קבועה; <math>\vec r=-\vec r\,'</math>; <math>t=t'+t_0</math>; <math>t=-t'</math>. ההרכבות של המקרים הפרטיים הללו יוצרות את חבורת גליליי, שאבריה שאיבריה הם טרנספורמציות גליליי.
* '''מערכת מואצת:''' <math>\ddot\vec r=\ddot\vec r\,'+\vec a_0</math>. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>\vec a_0\ne\vec0</math> אז <math>S'</math> אינה אינרציאלית, כי <math>\vec F\,'=\vec F-m\vec a_0</math>. אם נדמיין שפועל ''כוח מדומה'' <math>-m\vec a_0</math> על הגוף ב־<math>S'</math> אז נקבל מערכת <math>S''</math> שאינרציאלית אם <math>S</math> אינרציאלית.
* '''מערכת מסתובבת:''' <math>\vec r=\mathbf R(\omega t)\vec r\,'</math> כש־<math>\mathbf R(\omega t)</math> היא מטריצת סיבוב סביב ציר מסוים בזווית <math>\omega t</math>. אינרציאליות אינה נשמרת. אם הסיבוב הוא סביב ציר ה־<math>z</math> ו־<math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> אז ניתן לתקן זאת באמצעות שני כוחות מדומים: ''הכוח הצנטריפוגלי'' <math>-m\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r\,')</math> ו''כוח קוריוליס'' <math>-2m\vec\omega\times\vec v\,'</math>.
** {{הערה|הכללה:}} נניח שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי בסדר ראשון ב־<math>\vec\varepsilon</math> עבור טרנספורמציה <math>t\mapsto t+\sum_r\varepsilon_r T_r\ \and\ q_i\mapsto q_i+\sum_r\varepsilon_r Q_{ir}</math>, כאשר <math>\varepsilon_r</math> משתנים בלתי תלויים ו־<math>T_r,Q_{ir}</math> פונקציות של <math>\vec q,\dot\vec q,t</math>. אזי <math>\forall r:\ \left(\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\dot q_i-\mathcal L\right)T_r-\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}Q_{ir}\equiv\text{const.}</math>. אינווריאנטיות מסדר ראשון משמעה שאם נפעיל את הטרנספורמציה על הפרמטרים של הלגראנז׳יאן ונתייחס לכל חזקה גדולה מ־1 של <math>\varepsilon_r</math> כאל 0 אז נקבל את הלגראנז׳יאן המקורי.
* '''שיווי משקל''' מתקיים בנקודות <math>\vec r_0</math> שבהן <math>\nabla U_\vec r(\vec r_0)=\vec 0</math>. אם <math>\vec r_0</math> מינימום אז זה שיווי משקל יציב, אם קיימת סביבה של <math>\vec r_0</math> שבה <math>U_\vec r</math> פונקציה קבועה אז זה שיווי משקל מסתגל ואחרת זה שיווי משקל בלתי יציב.
* אם המסה קבועה אז <math>\vec F=m\ddot\vec r=-\nabla U_\vec r</math> ולכן למציאת נקודות שיווי משקל מספיק למצוא מתי <math>\ddot\vec r=\vec 0</math>. במקרה החד־מימדי נפתח את <math>U_x</math> לטור טיילור סביב נקודת שיווי משקל <math>x_0</math> ונרצה למצוא את תדירות התנודות הקטנות סביבה. <math>U_x(x)=\sum_{i=0}^\infty\frac{U_x^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i</math> ובגלל שהתנודות קטנות נסכים שחזקות גדולות מ־1 של <math>x-x_0</math> זניחות, כלומר נקרב <math>U_x(x)\approx U_x(x_0)+U_x'(x_0)(x-x_0)</math>. לכן נסמן <math>c=U_x'(x_0)</math> ואז <math>m\ddot x\approx -c(x-x_0)</math>. נקודת שיווי המשקל היא איפוא לא יציבה אם <math>c<0</math> ואז תדירות התנודות הקטנות היא <math>\omega=\sqrt\frac{-c}m</math>. אם <math>c>0</math> אז היא יציבה ו־<math>\omega=\sqrt\frac cm</math>, ואם <math>c=0</math> אז זו נקודת שיווי משקל מסתגלת.
== מכניקת הקוונטים ==
=== פיזיקה ===
* '''מצב''' של מערכת פיזיקלית הוא וקטור במרחב הילברט, שנקרא ''מרחב המצבים''. שני מצבים ייחשבו ''בלתי נבדלים פיזיקלית'' אם הם שווים עד כדי כפל בקבוע, ולכן נעבוד עם מצבים מנורמלים.
* '''סופרפוזיציה:''' מרחב המצבים הוא מרחב וקטורי, לכן צירוף לינארי של מצבים גם הוא מצב, הנקרא סופרפוזציה. הוא מתאר התקיימות בו־זמנית של המצבים שמרכיבים את הצירוף הלינארי, כך שמכשיר מדידה שינסה לבדוק איזה מהם מתקיים ימצא אחד מהם בהסתברות ששווה למקדם לריבוע המקדם של אותו מצב (בהנחה שהסופרפוזיציה מנורמלת).
* '''התפתחות בזמן:''' אם <math>|v(t)\rangle</math> מתאר מצב בזמן <math>t</math> אז לכל שני זמנים <math>t_1,t_2</math> קיים אופרטור אוניטרי <math>\mathbf U(t_1,t_2)</math> כך ש־<math>|v(t_2)\rangle=\mathbf U(t_1,t_2)|v(t_1)\rangle</math>.
* '''אקסיומת המדידה:''' לכל גודל מדיד פיזיקלית <math>A'</math> מתאים אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math>. התוצאות האפשריות של מדידה הן הערכים העצמיים של <math>\mathbf A</math>. אם תוצאת מדידה הייתה <math>\lambda_i</math> אז מצב המערכת לאחריה יהפוך להטלה של המצב לפני המדידה <math>|\psi\rangle</math> אל התת־מרחב של הווקטורים העצמיים המתאימים ל־<math>\lambda</math>. כלומר, אם ל־<math>\lambda_i</math> יש ריבוי <math>n</math> ו־<math>\{|v_{ik}\rangle\}_{k=1}^n</math> הוא אוסף של ו״ע מתאימים ואורתונורמליים אז אופרטור ההטלה הוא <math>P_i=\sum_{k=1}^n|v_{ik}\rangle\langle v_{ik}|</math>, ומצב המערכת לאחר המדידה הוא <math>|\psi'\rangle=P_i|\psi\rangle</math> (או הנרמול שלו). ההסתברות לקבל את התוצאה <math>\lambda_i</math> במדידה היא <math>\Pr(A'=\lambda_i)=\langle\psi|P_i|\psi\rangle</math>. שינוי זה במצב נקרא ''קריסת פונקציית/וקטור הגל''.
** <math>c_{l(m+1)}^-=(c_{lm}^+)^*</math>
-->
== תורת היחסות הפרטית ==
* במכניקה הניוטונית הזמן לא תלוי בצופה אבל הקואורדינטות <math>x,y,z</math> כן. תורת היחסות מבטלת הפרדה זו. אם <math>|\vec r(t_2)-\vec r(t_1)|=c|t_2-t_1|</math> כאשר <math>\vec r</math> וקטור הקואורדינטות של קרן אור עם זמן <math>t</math> אז עבור צופה מהצד עם זמן <math>t'</math> מתקיים <math>|\vec r(t_2')-\vec r(t_1')|=c|t_2'-t_1'|</math>. כלומר, מהירות האור – ולא הזמן – אינווריאנטית לכל צופה.
* המשוואה הקודמת נשמרת תחת סיבובים קבועים (<math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math>), הזזות קבועות במיקום (<math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>) והזזות קבועות בזמן (<math>t=t'+t_0</math>).
* נדון במרחב חד־ממדי, כלומר עם ציר ה־<math>x</math> וציר הזמן <math>t</math>. נגדיר קואורדינטה חדשה <math>T=ct</math> ונגדיר <math>\vec R=\begin{pmatrix}x\\T\end{pmatrix}</math>.
* '''הנורמה של המרחב''' היא <math>s^2=T^2-x^2</math>, אף שאינה נורמה במובן המתמטי.
* '''המטריקה של המרחב''' היא <math>\eta=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}</math>, אף שאינה מטריקה במובן המתמטי. היא מקיימת <math>s^2=\vec R^\top\eta\vec R</math>.
* עבור <math>u</math> נתון, <math>\Lambda=\Lambda(u)</math> היא המטריצה <math>\begin{pmatrix}\cosh(u)&\sinh(u)\\\sinh(u)&\cosh(u)\end{pmatrix}</math>. קבוצת המטריצות הללו מסומנת <math>\mbox{SO}(1,1)</math>.
* <math>\Lambda(u_1)\cdot\Lambda(u_2)=\Lambda(u_1+u_2)</math>. בפרט <math>\Lambda(u)^{-1}=\Lambda(-u)</math>.
* <math>\Lambda^\top\eta\Lambda=\eta</math>.
* אם <math>S'</math> נעה במהירות קבועה ביחס ל־<math>S</math> אז <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'</math> ו־<math>s^2=(s')^2</math>.
* נגדיר <math>\beta=\tanh(u)</math>.
* '''פקטור לורנץ:''' <math>\gamma=\frac1\sqrt{1-\beta^2}</math>.
* <math>\Lambda=\begin{pmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{pmatrix}</math>.
* '''קו עולם''' של גוף הוא אוסף הנקודות <math>\vec R</math> של הגוף ומתאר את מיקומו בזמנים שונים.
* נניח ש־<math>S'</math> מערכת ייחוס שנעה במהירות קבועה ביחס ל־<math>S</math>. קו העולם שלה הוא אוסף הנקודות <math>\vec R\,'=\begin{pmatrix}0\\T'\end{pmatrix}</math>. קו העולם של <math>S</math> הוא <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'=\begin{pmatrix}\gamma\beta T'\\\gamma T'\end{pmatrix}</math>. כלומר, אם צופה ב־<math>S'</math> מודד זמן של <math>T'</math>, צופה ב־<math>S</math> יימדוד את הזמן כ־<math>T=\gamma T'</math> (השעון של <math>S'</math> נע לאט יותר משל <math>S</math>) ואת מיקום <math>S'</math> כ־<math>\gamma\beta T'</math>. המהירות של <math>S'</math> יחסית ל־<math>S</math> היא אם כן <math>v=\frac xt=\frac{cx}T=c\beta</math> (ולכן גם <math>\beta=\frac vc</math>). לפי <math>T=\gamma T'</math> נובע <math>x=\beta T</math>, כלומר <math>S'</math> נעה ביחס ל־<math>S</math> במהירות <math>\beta</math> ממהירות האור.
* '''טרנספורמציית לורנץ:''' בהנתן מאורע <math>e'=\begin{pmatrix}x'\\T'\end{pmatrix}</math> מנקודת המבט של צופה ב־<math>S'</math> נקבל <math>e=\Lambda e'</math> מנקודת המבט של צופה ב־<math>S</math>.
* '''התארכות הזמן:''' שני אירועים מתרחשים בנקודה <math>x'=0</math> עבור צופה נע <math>S'</math>: <math>e_1'=\begin{pmatrix}0\\T_1'\end{pmatrix}\ \and\ e_2'=\begin{pmatrix}0\\T_2'\end{pmatrix}</math> (ולכן הפרש הזמנים שלהם הוא <math>T_2'-T_1'</math>). עבור צופה במערכת <math>S</math> המאורעות יתוארו כ־<math>e_i=\begin{pmatrix}\gamma\beta T_i'\\\gamma T_i'\end{pmatrix}</math>, ולכן הפרש הזמנים שלהם הוא <math>\gamma(T_2'-T_1')</math>, כלומר הזמן עבור צופה נע מתקצר ביחס לזמן עבור צופה נייח (שהוא צופה שעבורו המאורעות מתרחשים באותו מקום).
* '''התכווצות האורך:''' מוט מונח במערכת <math>S'</math> בקטע <math>[0,l']</math> ואינו נע בה. קווי העולם של קצותיו הם אוספי הנקודות <math>e_0'=\begin{pmatrix}0\\T'\end{pmatrix}\ \and\ e_{l'}'=\begin{pmatrix}l'\\T'\end{pmatrix}</math>. נעביר אותם למערכת <math>S</math> ואז <math>e_0=\begin{pmatrix}\gamma\beta T'\\\gamma T'\end{pmatrix}\ \and\ e_l=\begin{pmatrix}\gamma l'+\gamma\beta T'\\\gamma T'+\gamma\beta l'\end{pmatrix}</math>. בזמן <math>T=0</math> נקבל בכל קצה <math>T=\gamma T'=0\implies x_0=\gamma\beta T'=0</math> ו־<math>T=\gamma T'+\gamma\beta l'=0\implies x_l=\gamma l'+\gamma\beta T'=\gamma l'-\gamma\beta^2 l'</math>. לכן אורך המוט כפי שימדד במערכת <math>S</math> הוא <math>l=x_l-x_0=\sqrt{1-\beta^2}l'</math>. מנקודת המבט של <math>S'</math>, הצופה ב־<math>S</math> מדד את קצות המוט בזמנים שונים.
* '''חיבור מהירויות:''' נדון בתנועה בציר אחד. נניח שצופה 1 נע במהירות <math>v_1</math> ביחס לצופה 2, שנע במהירות <math>v_2</math> ביחס לצופה 3, וצופה 1 נע במהירות <math>v_3</math> ביחס לצופה 3. נסמן <math>\beta_i=\frac{v_i}c</math>. אזי <math>\beta_3=\frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}</math>. נשים לב שאם <math>\beta_1=1</math> אז <math>\beta_3=1</math>, כלומר אם אחת המערכות נעה במהירות האור אז היא תראה נעה במהירות האור לכל צופה.
* '''מרחב מינקובסקי:''' מרחב 4־מימדי (מיקום תלת־מימדי וזמן) שבו המטריקה היא <math>\eta=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}</math>. חבורת לורנץ היא חבורת המטריצות ששומרות על <math>\eta</math>. היא מסומנת <math>\mbox{SO}(3,1)</math> ויש לה 6 יוצרים:
::סיבובים בשני מימדים. למשל, <math>\mathbf R_z(\theta)=\begin{pmatrix}\cos(\alpha)&-\sin(\alpha)&0&0\\\sin(\alpha)&\cos(\alpha)&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}</math> היא מטריצת סיבוב במישור <math>xy</math>, ויש עוד שתי מטריצות יוצרות כאלה – הסיבובים במישורים <math>yz,xz</math>.
::מטריצות boost. למשל, <math>\Lambda_x=\begin{pmatrix}\gamma&0&0&\gamma\beta\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\gamma\beta&0&0&\gamma\end{pmatrix}</math> היא סיבוב מוכלל במישור <math>xT</math>, ויש עוד שתי מטריצות יוצרות כאלה – הסיבובים המוכללים במישורים <math>yT,zT</math>.
== דוגמאות חשובות ==
* '''התנגשות אלסטית:''' הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שלא פועלים על הגופים כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא <math>\vec v_i</math> ואחריה <math>\vec u_i</math>. אזי משימור התנע מקבלים <math>m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec u_1+m_2\vec u_2</math>. אם בנוסף הגופים נעים במימד אחד אז מחוק שימור האנרגיה נובע <math>v_1+u_1=v_2+u_2</math>, ומשתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.
* אורך המסלול שעבר גוף הוא <math>s=\int v\mathrm dt</math>. לכן <math>\mathrm ds=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2}</math> ו־<math>\mathrm dt=\mathrm ds/v</math>, עובדה שימושית לצורך הבעת זמן תנועת הגוף לפי הקואורדינטות.
* '''בור פוטנציאל אינסופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(0,a)</math> ואינסופית בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן, כל פונקציה <math>\psi</math> עצמית מתאפסת לכל <math>x\notin(0,a)</math>, ובאותו אופן מראים שהיא סינוסיאלית שווה ל־<math>\sqrt\frac2a\sin(kx)</math> בקטע <math>(0,a)</math>כאשר <math>k=\sqrt\frac{2mE}{\hbar^2}</math> כלשהו. הפונקציה צריכה להיות רציפה ולכן מתאפסת בקצוות, ונובע ש־<math>k=\frac{\pi n}a</math> עבור <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו. אזי לפיכך ערכי האנרגיה המותרים הם <math>E=\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}n^2</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math>.* '''בור פוטנציאל סופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(-a,a)</math> ושווה ל־<math>V</math> בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן בקטע <math>(-a,a)</math> נקבל <math>\psi=C_1\sin(kx)+C_2\cos(kx)</math> ל־<math>k=\sqrt\frac{2mE}{\hbar^2}</math>. אם <math>E<V</math> אז בקטע <math>(-\infty,a)</math> נקבל <math>\psi=C_3\exp(\alpha x)+C_4\exp(-\alpha x)</math> כאשר <math>\alpha=\sqrt\frac{2m(V-E)}{\hbar^2}</math>. מהתנאי <math>\psi\in L^2</math> נובע <math>\lim_{x\to-\infty}\psi(x)=0</math> ולכן <math>C_4=0</math>, ובאותו אופן <math>\psi=C_5\exp(-\alpha x)</math> בקטע <math>(a,\infty)</math>. לבסוף, נדרוש ש־<math>\psi</math> גזירה ברציפות לפי <math>x</math>, ובפרט רציפה. מדרישות אלה נובע ש־<math>\psi\equiv0</math>, אלא אם המשוואות של הדרישות תלויות, כלומר: <math>\begin{vmatrix}-\exp(\alpha a)&\cos(-ka)&\sin(-ka)&0\\0&\cos(ka)&\sin(ka)&-\exp(-\alpha a)\\-\alpha\exp(-\alpha a)&-k\sin(-ka)&k\cos(-ka)&0\\0&-k\sin(ka)&k\cos(ka)&\alpha\exp(-\alpha a)\end{vmatrix}=0</math>. רק ערכי <math>E</math> הפותרים משוואה זו הם ע״ע עם פונקציה עצמית מתאימה. בסוף נותר רק לנרמל את <math>\psi</math>.