** {{הערה|הכללה:}} נניח שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי בסדר ראשון ב־<math>\vec\varepsilon</math> עבור טרנספורמציה <math>t\mapsto t+\sum_r\varepsilon_r T_r\ \and\ q_i\mapsto q_i+\sum_r\varepsilon_r Q_{ir}</math>, כאשר <math>\varepsilon_r</math> משתנים בלתי תלויים ו־<math>T_r,Q_{ir}</math> פונקציות של <math>\vec q,\dot\vec q,t</math>. אזי <math>\forall r:\ \left(\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\dot q_i-\mathcal L\right)T_r-\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}Q_{ir}\equiv\text{const.}</math>. אינווריאנטיות מסדר ראשון משמעה שאם נפעיל את הטרנספורמציה על הפרמטרים של הלגראנז׳יאן ונתייחס לכל חזקה גדולה מ־1 של <math>\varepsilon_r</math> כאל 0 אז נקבל את הלגראנז׳יאן המקורי.
* '''שיווי משקל''' מתקיים בנקודות <math>\vec r_0</math> שבהן <math>\nabla U_\vec r(\vec r_0)=\vec 0</math>. אם <math>\vec r_0</math> מינימום אז זה שיווי משקל יציב, אם קיימת סביבה של <math>\vec r_0</math> שבה <math>U_\vec r</math> פונקציה קבועה אז זה שיווי משקל מסתגל ואחרת זה שיווי משקל בלתי יציב.
* אם המסה קבועה אז <math>\vec F=m\ddot\vec r=-\nabla U_\vec r</math> ולכן למציאת נקודות שיווי משקל מספיק למצוא מתי <math>\ddot\vec r=\vec 0</math>. במקרה החד־מימדי נפתח את <math>U_x</math> לטור טיילור סביב נקודת שיווי משקל <math>x_0</math> ונרצה למצוא את תדירות התנודות הקטנות סביבה. <math>U_x(x)=\sum_{i=0}^\infty\frac{U_x^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i</math> ובגלל שהתנודות קטנות נסכים שחזקות גדולות מ־1 של <math>x-x_0</math> זניחות, כלומר נקרב <math>U_x(x)\approx U_x(x_0)+U_x'(x_0)(x-x_0)</math>. לכן נסמן <math>c=U_x'(x_0)</math> ואז <math>m\ddot x\approx -c(x-x_0)</math>. נקודת שיווי המשקל היא איפוא לא יציבה אם <math>c<0</math> ואז תדירות התנודות הקטנות היא <math>\omega=\sqrt\frac{-c}m</math>. אם <math>c>0</math> אז היא יציבה ו־<math>\omega=\sqrt\frac cm</math>, ואם <math>c=0</math> אז זו נקודת שיווי משקל מסתגלת.
== מכניקת הקוונטים ==
=== פיזיקה ===
* '''מצב''' של מערכת פיזיקלית הוא וקטור במרחב הילברט, שנקרא ''מרחב המצבים''. שני מצבים ייחשבו ''בלתי נבדלים פיזיקלית'' אם הם שווים עד כדי כפל בקבוע, ולכן נעבוד עם מצבים מנורמלים.
* '''סופרפוזיציה:''' מרחב המצבים הוא מרחב וקטורי, לכן צירוף לינארי של מצבים גם הוא מצב, הנקרא סופרפוזציה. הוא מתאר התקיימות בו־זמנית של המצבים שמרכיבים את הצירוף הלינארי, כך שמכשיר מדידה שינסה לבדוק איזה מהם מתקיים ימצא אחד מהם בהסתברות ששווה למקדם לריבוע המקדם של אותו מצב (בהנחה שהסופרפוזיציה מנורמלת).
* '''התפתחות בזמן:''' אם <math>|v(t)\rangle</math> מתאר מצב בזמן <math>t</math> אז לכל שני זמנים <math>t_1,t_2</math> קיים אופרטור אוניטרי <math>\mathbf U(t_1,t_2)</math> כך ש־<math>|v(t_2)\rangle=\mathbf U(t_1,t_2)|v(t_1)\rangle</math>.
* '''אקסיומת המדידה:''' לכל גודל מדיד פיזיקלית <math>A'</math> מתאים אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math>. התוצאות האפשריות של מדידה הן הערכים העצמיים של <math>\mathbf A</math>. אם תוצאת מדידה הייתה <math>\lambda_i</math> אז מצב המערכת לאחריה יהפוך להטלה של המצב לפני המדידה <math>|\psi\rangle</math> אל התת־מרחב של הווקטורים העצמיים המתאימים ל־<math>\lambda</math>. כלומר, אם ל־<math>\lambda_i</math> יש ריבוי <math>n</math> ו־<math>\{|v_{ik}\rangle\}_{k=1}^n</math> הוא אוסף של ו״ע מתאימים ואורתונורמליים אז אופרטור ההטלה הוא <math>P_i=\sum_{k=1}^n|v_{ik}\rangle\langle v_{ik}|</math>, ומצב המערכת לאחר המדידה הוא <math>|\psi'\rangle=P_i|\psi\rangle</math> (או הנרמול שלו). ההסתברות לקבל את התוצאה <math>\lambda_i</math> במדידה היא <math>\Pr(A'=\lambda_i)=\langle\psi|P_i|\psi\rangle</math>. שינוי זה במצב נקרא ''קריסת פונקציית/וקטור הגל''.
== תורת היחסות הפרטית ==
* במכניקה הניוטונית הזמן לא תלוי בצופה אבל הקואורדינטות <math>x,y,z</math> כן. תורת היחסות מבטלת הפרדה זו. אם <math>|\vec r(t_2)-\vec r(t_1)|=c|t_2-t_1|</math> כאשר <math>\vec r</math> וקטור הקואורדינטות של קרן אור עם זמן <math>t</math> אז עבור צופה מהצד עם זמן <math>t'</math> מתקיים <math>|\vec r(t_2')-\vec r(t_1')|=c|t_2'-t_1'|</math>. כלומר, מהירות האור – ולא הזמן – אינווריאנטית לכל צופה.
=== מערכות ייחוס בתורת היחסות ===
* המשוואה הקודמת נשמרת תחת סיבובים קבועים (<math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math>), הזזות קבועות במיקום (<math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>) והזזות קבועות בזמן (<math>t=t'+t_0</math>).
* נדון במרחב חד־ממדי, כלומר עם ציר ה־<math>x</math> וציר הזמן <math>t</math>. נגדיר קואורדינטה חדשה <math>T=ct</math> ונגדיר <math>\vec R=\begin{pmatrix}x\\T\end{pmatrix}</math>.
* '''המטריקה של המרחב''' היא <math>\eta=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}</math>, אף שאינה מטריקה במובן המתמטי. היא מקיימת <math>s^2=\vec R^\top\eta\vec R</math>.
* עבור <math>u</math> נתון, <math>\Lambda=\Lambda(u)</math> היא המטריצה <math>\begin{pmatrix}\cosh(u)&\sinh(u)\\\sinh(u)&\cosh(u)\end{pmatrix}</math>. קבוצת המטריצות הללו מסומנת <math>\mbox{SO}(1,1)</math>.
* <math>\Lambda(u_1)\cdot\Lambda(u_2)=\Lambda(u_1+u_2)</math>. בפרט <math>\Lambda(u)^{-1}=\Lambda(-u)</math>.
* <math>\Lambda^\top\eta\Lambda=\eta</math>.
* אם <math>S'</math> נעה במהירות קבועה ביחס ל־<math>S</math> אז <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'</math> אז ו־<math>s^2=(s')^2</math>.* נגדיר <math>\beta=\tanh(u)</math> ו־.* '''פקטור לורנץ:''' <math>\gamma=\frac1\sqrt{1-\beta^2}</math>.
* <math>\Lambda=\begin{pmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{pmatrix}</math>.
* '''קו עולם''' של גוף הוא אוסף הנקודות <math>\vec R</math> של הגוף ומתאר את מיקומו בזמנים שונים.
* נניח ש־<math>S'</math> מערכת ייחוס שנעה במהירות קבועה ביחס ל־<math>S</math>. קו העולם שלה הוא אוסף הנקודות <math>\vec R\,'=\begin{pmatrix}0\\T'\end{pmatrix}</math>. קו העולם של <math>S</math> הוא <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'=\begin{pmatrix}\gamma\beta T'\\\gamma T'\end{pmatrix}</math>. כלומר, אם צופה ב־<math>S'</math> מודד זמן של <math>T'</math>, צופה ב־<math>S</math> יימדוד את הזמן כ־<math>T=\gamma T'</math> (השעון של <math>S'</math> נע לאט יותר משל <math>S</math>) ואת מיקום <math>S'</math> כ־<math>\gamma\beta T'</math>. המהירות של <math>S'</math> יחסית ל־<math>S</math> היא אם כן <math>v=\frac xt=\frac{cx}T=c\beta</math> (ולכן גם <math>\beta=\frac vc</math>). לפי <math>T=\gamma T'</math> נובע <math>x=\beta T</math>, כלומר <math>S'</math> נעה ביחס ל־<math>S</math> במהירות <math>\beta</math> ממהירות האור.
* '''טרנספורמציית לורנץ:''' בהנתן מאורע <math>e'=\begin{pmatrix}x'\\T'\end{pmatrix}</math> מנקודת המבט של צופה ב־<math>S'</math> נקבל <math>e=\Lambda e'</math> מנקודת המבט של צופה ב־<math>S</math>.
* '''התארכות הזמן:''' שני אירועים מתרחשים בנקודה <math>x'=0</math> עבור צופה נע <math>S'</math>: <math>e_1'=\begin{pmatrix}0\\T_1'\end{pmatrix}\ \and\ e_2'=\begin{pmatrix}0\\T_2'\end{pmatrix}</math> (ולכן הפרש הזמנים שלהם הוא <math>T_2'-T_1'</math>). עבור צופה במערכת <math>S</math> המאורעות יתוארו כ־<math>e_i=\begin{pmatrix}\gamma\beta T_i'\\\gamma T_i'\end{pmatrix}</math>, ולכן הפרש הזמנים שלהם הוא <math>\gamma(T_2'-T_1')</math>, כלומר הזמן עבור צופה נע מתקצר ביחס לזמן עבור צופה נייח (שהוא צופה שעבורו המאורעות מתרחשים באותו מקום).
* '''התכווצות האורך:''' מוט מונח במערכת <math>S'</math> בקטע <math>[0,l']</math> ואינו נע בה. קווי העולם של קצותיו הם אוספי הנקודות <math>e_0'=\begin{pmatrix}0\\T'\end{pmatrix}\ \and\ e_{l'}'=\begin{pmatrix}l'\\T'\end{pmatrix}</math>. נעביר אותם למערכת <math>S</math> ואז <math>e_0=\begin{pmatrix}\gamma\beta T'\\\gamma T'\end{pmatrix}\ \and\ e_l=\begin{pmatrix}\gamma l'+\gamma\beta T'\\\gamma T'+\gamma\beta l'\end{pmatrix}</math>. בזמן <math>T=0</math> נקבל בכל קצה <math>T=\gamma T'=0\implies x_0=\gamma\beta T'=0</math> ו־<math>T=\gamma T'+\gamma\beta l'=0\implies x_l=\gamma l'+\gamma\beta T'=\gamma l'-\gamma\beta^2 l'</math>. לכן אורך המוט כפי שימדד במערכת <math>S</math> הוא <math>l=x_l-x_0=\sqrt{1-\beta^2}l'</math>. מנקודת המבט של <math>S'</math>, הצופה ב־<math>S</math> מדד את קצות המוט בזמנים שונים.
* '''חיבור מהירויות:''' נדון בתנועה בציר אחד. נניח שצופה 1 נע במהירות <math>v_1</math> ביחס לצופה 2, שנע במהירות <math>v_2</math> ביחס לצופה 3, וצופה 1 נע במהירות <math>v_3</math> ביחס לצופה 3. נסמן <math>\beta_i=\frac{v_i}c</math>. אזי <math>\beta_3=\frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}</math>. נשים לב שאם <math>\beta_1=1</math> אז <math>\beta_3=1</math>, כלומר אם אחת המערכות נעה במהירות האור אז היא תראה נעה במהירות האור לכל צופה.
* '''מרחב מינקובסקי:''' מרחב 4־מימדי (מיקום תלת־מימדי וזמן) שבו המטריקה היא <math>\eta=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}</math>. חבורת לורנץ היא חבורת המטריצות ששומרות על <math>\eta</math>. היא מסומנת <math>\mbox{SO}(3,1)</math> ויש לה 6 יוצרים:
::סיבובים בשני מימדים. למשל, <math>\mathbf R_z(\theta)=\begin{pmatrix}\cos(\alpha)&-\sin(\alpha)&0&0\\\sin(\alpha)&\cos(\alpha)&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}</math> היא מטריצת סיבוב במישור <math>xy</math>, ויש עוד שתי מטריצות יוצרות כאלה – הסיבובים במישורים <math>yz,xz</math>.
::מטריצות boost. למשל, <math>\Lambda_x=\begin{pmatrix}\gamma&0&0&\gamma\beta\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\gamma\beta&0&0&\gamma\end{pmatrix}</math> היא סיבוב מוכלל במישור <math>xT</math>, ויש עוד שתי מטריצות יוצרות כאלה – הסיבובים המוכללים במישורים <math>yT,zT</math>.
== דוגמאות חשובות ==