שינויים
=== אנרגיה ===
* '''האנרגיה הקינטית''' של גוף היא <math>T:=E_k:=\frac{m v^2}2=\frac{p^2}{2m}</math>.
* '''העבודה''' שמבצע כוח <math>\vec F</math> בין הזמנים <math>t_1</math> עד <math>t_2</math> היא <math>W:=\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t)\cdot\vec v(t)\mathrm dt</math>.
* <math>W=\Delta E_kT=E_kT(t_2)-E_kT(t_1)</math>.
* '''כוח משמר:''' כוח <math>\vec F</math> המוגדר בתחום פשוט־קשר ומקיים את התנאים השקולים הבאים לכל <math>t_1,t_2</math>:
*# האינטגרל <math>\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> אינו תלוי במסלול אלא רק בנקודות ההתחלה והסיום <math>\vec r(t_1),\vec r(t_2)</math>.
*# מתקיים <math>\forall\vec r:\ \nabla\times\vec F_\vec r(\vec r)=\vec 0</math>.
* '''אנרגיה פוטנציאלית/פוטנציאל''' של גוף עליו פועל כוח משמר <math>\vec F</math> היא <math>U(t):=-\int_{\vec r_0}^{\vec r(t)}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> כאשר <math>\vec r_0</math> היא ''נקודת הייחוס''.
* אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>U(t_1)-U(t_2)=\Delta E_kT=E_kT(t_2)-E_kT(t_1)</math>.* '''אנרגיה כללית''' של גוף עליו פועל כוח משמר היא <math>E:=E_kT+U</math>.
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>E\equiv\text{const.}</math>, כלומר האנרגיה הכללית קבועה.
* '''פוטנציאל אפקטיבי:''' האנרגיה הכללית של גוף הנע במישור <math>xy</math> היא <math>E=\frac{m\left(\dot\rho^2+\rho^2\omega^2\right)}2+U</math>. גודל התנע הזוויתי הוא <math>L=m\rho^2\omega</math> ולכן <math>E=\frac{m\dot\rho^2}2+U_\text{eff}</math> כאשר <math>U_\text{eff}:=\frac{L^2}{2m\rho^2}+U</math> הוא הפוטנציאל האפקטיבי. הוא מאפשר להתייחס לבעיה של תנועת הגוף בכיוון הרדיאלי בלבד כבעיה חד־ממדית אשר הפוטנציאל בה הוא הפוטנציאל האפקטיבי.
* '''חוק שימור התנע:''' אם שקול הכוחות החיצוניים הוא <math>\vec 0</math> אז <math>\dot\vec p=\vec 0</math>, כלומר התנע הכולל קבוע.
:* אם התנע הכולל קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם שקול הכוחות של המערכת הוא כוח משמר אז <math>\sum_{i=1}^n\Big(E_{ki}T_i+U_i\Big)\equiv\text{const.}</math>.
=== תנע זוויתי ===
* '''מינימיזציה:''' נרצה למצוא את הפונקציה <math>\vec q</math> שעבורה <math>\vec q(t_1)=\vec a\ \and\ \vec q(t_2)=\vec b</math> ו־<math>S(\vec q)</math> מקבל ערך קיצון מקומי, כאשר <math>\vec q</math> דיפרנציאבילית ו־<math>\mathcal L</math> גזירה חלקית ברציפות. אזי תנאי הכרחי שעליה לקיים הוא שלכל <math>i</math> מתקיימת ''משוואת אוילר–לגראנז׳'': <math>\frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0</math>.
* תהי <math>\vec q'=\vec q'(\vec q)</math> התמרת קואורדינטות מ־<math>\vec q</math> ל־<math>\vec q'</math>. אם <math>\vec q_0</math> מקיימת את משוואת אוילר–לגראנז׳ ל־<math>\mathcal L</math> אזי גם <math>\vec q'_0:=\vec q'(\vec q_0)</math> מקיימת אותה ל־<math>\mathcal L</math>.
* '''פעולה:''' הפונקציונל <math>S(\vec r):=\int_{t_1}^{t_2}\left({E_k}_T_\vec v\!\left(\dot\vec r\right)-U_\vec r(\vec r)\right)\mathrm dt</math>. הלגראנז׳יאן נקרא ''הלגראנז׳יאן הפיזיקלי של המערכת'', והוא אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
* '''עקרון המילטון/הפעולה המינימלית:''' הלגראנז׳יאן הפיזיקלי מקיים את משוואת אוילר–לגראנז׳ לכל <math>\vec r</math>.
* '''תנע מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות <math>\vec q</math>:''' הווקטור שרכיביו <math>p_i:=\frac{\partial(E_kT-U)}{\partial\dot q_i}</math> כאשר .* '''כוח מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות <math>\vec q</math> וקטור קואורדינטות.* '''כוח מוכלל:''' הווקטור שרכיביו <math>F_i:=\frac{\partial(E_kT-U)}{\partial q_i}</math> כאשר <math>\vec q</math> וקטור קואורדינטות.
* ממשוואת אוילר–לגראנז׳ נובע ש־<math>F_i=\dot p_i</math>.
* '''קואורדינטה ציקלית:''' קואורדינטה <math>q_i</math> שאינה מופיעה מפורשות בלגראנז׳יאן הפיזיקלי (אלא רק הנגזרת שלה). היא מקיימת <math>F_i\equiv 0</math> ולכן <math>p_i\equiv\text{const.}</math>.
=== מכניקה המילטונית ===
* '''התמרת לז׳נדר:''' תהי <math>f</math> פונקציה קמורה או קעורה של המשתנה <math>x</math> ונגדיר <math>s(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x}</math>. לכן <math>s</math> מונוטונית ובפרט קיימת לה פונקציה הופכית <math>x(s)</math>. התמרת לז׳נדר של <math>f</math> מוגדר מוגדרת כ־<math>g(s):=x(s)\cdot s-f(x(s))</math>.
* <math>\frac{\partial g}{\partial s}=x</math>.
* התמרת לז׳נדר של התמרת לז׳נדר היא הפונקציה המקורית.
* '''המילטוניאן:''' הוא התמרת לז׳נדר של הלגראנז׳יאן הפיזיקלי: כפונקציה של <math>\dot\vec q</math>, כלומר <math>\mathcal H(\vec p,\vec q)=\vec p\cdot\dot\vec q(\vec p,\vec q)-\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q(\vec p,\vec q),t\right)</math> כאשר <math>\vec p</math> התנע המוכלל הצמוד ל־<math>\vec q</math> ו־<math>\mathcal L=E_kT-U</math>. הוא אינו אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.* '''משוואות המילטון:''' <math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i}=\dot q_i\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i}=-\dot p_i</math>. לכן במרחב <math>n</math>־מימדי נקבל <math>2n</math> מד״ח מסדר ראשון במקום <math>n</math> מד״ח מסדר שני שהיינו מקבלים ממשוואות אוילר–לגראנז'.
* בקואורדינטות קרטזיות <math>\vec q=(x,y,z)</math> התנע המוכלל שווה לתנע הרגיל וההמילטוניאן שווה לאנרגיה הכללית.
* '''סוגרי פואסון:''' בתנועת גוף ניתן להציג רבים מהגדלים הדינמיים (דהיינו, תלויים בתנועה) כפונקציות של הקואורדינטות ושל התנע המוכלל. סוגרי פואסון של שני גדלים <math>A(\vec p,\vec q,t),B(\vec p,\vec q,t)</math> כאלה מוגדרים כ־<math>\{A,B\}:=\sum_i\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial B}{\partial q_i}\frac{\partial A}{\partial p_i}\right)</math>.
* <math>\{A,B\}=-\{B,A\}</math>.
* מתקיים <math>\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\{A,\mathcal H\}</math> כאשר <math>\frac{\partial A}{\partial t}</math> הוא השינוי ב־<math>A</math> לפי תלות מפורשת בזמן (, בניגוד לתלות ע״י <math>\vec p(t),\vec q(t)</math>.* '''מרחב פאזה:''' בהנתן מערכת עם <math>m</math> גופים במרחב <math>n</math>־מימדי, משוואות המילטון נותנות <math>2nm</math> משוואות ב־<math>2nm</math> נעלמים <math>q_{ij},p_{ij}</math> (כש־<math>\vec q_j</math> וקטורי קואורדינטות ו־<math>\vec p_j</math> תנעים צמודים להם). מרחב הפאזה המתאים הוא מרחב <math>2nm</math>־מימדי שכל נקודה בו מתוארת באמצעות <math>q_{ij},p_{ij}</math> כקואורדינטות. כל נקודה כזו מתארת את מצבה של המערכת כולה, וקו במרחב הפאזה מתאר את מצב המערכת לאורך הזמן. אם משוואות המילטון נותנות פתרון יחיד לכל תנאי התחלה אזי בכל נקודה במרחב הפאזה עובר קו כנ״ל יחיד.* נניח שהלאגראז׳יאן הפיזיקלי לא תלוי מפורשות בזמן. נגדיר <math>t'=-t</math> ולכל גודל פיזיקלי <math>f=f(t)</math> נסמן <math>f'=f(t')</math>. אזי <math>\vec q'=\vec q\ and\ \dot\vec q'=-\dot\vec q\vec p'=-\vec p</math>. אם הקואורדינטות קרטזיות אז <math>\mathcal H'=\mathcal H</math> ו־<math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i'}=\dot q_i'\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i'}=-\dot p_i'</math>.
== דוגמאות חשובות ==
* '''התנגשות פלסטית:''' הגופים נמצמדים זה לזה לאחר התנגשות. את המהירות המשותפת ניתן למצוא לפי חוק שימור התנע.
* '''התנגשות אלסטית:''' הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שלא פועלים על הגופים כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא <math>\vec v_i</math> ואחריה <math>\vec u_i</math>. אזי משימור התנע מקבלים <math>m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec u_1+m_2\vec u_2</math>. אם בנוסף הגופים נעים במימד אחד אז מחוק שימור האנרגיה נובע <math>v_1+u_1=v_2+u_2</math>, ומשתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.
* אורך המסלול שעבר גוף הוא <math>s=\int v\mathrm dt</math>. לכן <math>\mathrm ds=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2}</math> ו־<math>\mathrm dt=\mathrm ds/v</math>, עובדה שימושית לצורך הבעת זמן תנועת הגוף לפי <math>x,y,z</math>הקואורדינטות.
