שינויים
=== קבועים ===
* '''גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א:''' <math>g\approx9.8\mathrm\frac msm{s^2}</math>
* '''קבוע הגרביטציה האוניברסלי:''' <math>G\approx6.67\cdot10^{-11}\mathrm\frac{m^3}{kg\cdot s^2}</math>
* '''מרחב פאזה:''' בהנתן מערכת עם <math>m</math> גופים במרחב <math>n</math>־מימדי, משוואות המילטון נותנות <math>2nm</math> משוואות ב־<math>2nm</math> נעלמים <math>q_{ij},p_{ij}</math> (כש־<math>\vec q_j</math> וקטורי קואורדינטות ו־<math>\vec p_j</math> תנעים צמודים להם). מרחב הפאזה המתאים הוא מרחב <math>2nm</math>־מימדי שכל נקודה בו מתוארת באמצעות <math>q_{ij},p_{ij}</math> כקואורדינטות. כל נקודה כזו מתארת את מצבה של המערכת כולה, וקו במרחב הפאזה מתאר את מצב המערכת לאורך הזמן. אם משוואות המילטון נותנות פתרון יחיד לכל תנאי התחלה אזי בכל נקודה במרחב הפאזה עובר קו כנ״ל יחיד.
* נניח שהלאגראז׳יאן הפיזיקלי לא תלוי מפורשות בזמן. נגדיר <math>t'=-t</math> ולכל גודל פיזיקלי <math>f=f(t)</math> נסמן <math>f'=f(t')</math>. אזי <math>\vec q\,'=\vec q\ \and\ \dot\vec q\,'=-\dot\vec q\ \and\ \vec p\,'=-\vec p</math>. אם הקואורדינטות קרטזיות אז <math>\mathcal H'=\mathcal H</math> ו־<math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i'}=\dot q_i'\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i'}=-\dot p_i'</math>.
* '''משפט ליוביל:''' נתון אוסף של מערכות בעלות המילטוניאן זהה אך מצבי התחלה שונים, עם פונקציית צפיפות <math>\rho(\vec q,\vec p)</math> המתארת את ההסתברות להיות במצב מסוים. אלמנט השטח <math>\mathrm d\vec q(t)\mathrm d\vec p(t)=\prod_i\mathrm dq_i(t)\mathrm dp_i(t)</math> אינווריאנטי בזמן, כלומר <math>\mathrm d\vec q(t_1)\mathrm d\vec p(t_1)=\mathrm d\vec q(t_2)\mathrm d\vec p(t_2)</math>.
* '''חבורת לי:''' חבורה שבה פעולות הכפל וההופכי חלקות. כלומר, כל איבר בחבורה <math>g</math> תלוי ב־<math>n</math> פרמטרים (בקורס זה הם ממשיים) <math>g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> כך שאם <math>g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\cdot g(\beta_1,\dots,\beta_n)=g(\gamma_1,\dots,\gamma_n)</math> אז <math>\gamma_i=\gamma_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta_1,\dots,\beta_n)</math> פונקציה חלקה לכל <math>i</math> ואם <math>\Big(g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\Big)^{-1}=g(\beta_1,\dots,\beta_n)</math> אז <math>\beta_i=\beta_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> פונקציה חלקה לכל <math>i</math>. <math>n</math> ייקרא המימד של החבורה.
* '''משפחה חד־פרמטרית''' של חבורת לי נתונה היא תת־חבורה שניתן לאפיין את איבריה ע״י פרמטר אחד, ושהפרמטר המתאים למכפלת שני איברים הוא סכום הפרמטרים של האיברים. כלומר, <math>g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=r(\alpha)</math> לכל איבר <math>g</math> במשפחה ו־<math>r(\alpha)\cdot r(\beta)=r(\alpha+\beta)</math>.
* '''האלגברה של חבורות לי:''' תהי <math>\mathcal G</math> חבורת לי עם משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math>. איבר היחידה הוא <math>R_i(0)</math> ונגדיר <math>G_i:=\left.\frac{\mathrm dR_i(\alpha)}{\mathrm d\alpha}\right|_{\alpha=0}</math>. אם <math>\mathcal G\subset\mathbb R^{m\times m}</math> אז <math>G_i</math> היא הנגזרת רכיב־רכיב של <math>R_i</math>, ותקרא "יוצר אינפיניטסימלי של <math>\mathcal G</math>" (אך היא בהכרח אינה יוצר של החבורה, או אפילו איבר בה). האלגברה של מטריצות <math>G_i</math> נקראת האלגברה של <math>\mathcal G</math>. אם <math>a,b\in\mathbb R</math> אז <math>aG_i+bG_j</math> שייכת לאלגברה.
* '''מפה אקספוננציאלית:''' בכל משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math> כל איבר <math>R_i(\alpha)</math> שווה ל־<math>\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n</math> לכל <math>n</math>. כמו כן, <math>R_i(\alpha)=\lim_{n\to\infty}\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n=\exp(\alpha G_i)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(\alpha G_i)^n}{n!}\mathbf I</math>.
* '''סוגרי לי:''' <math>[G_i,G_j]=G_i\cdot G_j-G_j\cdot G_i</math>.
== דוגמאות חשובות ==
