שינויים
* '''גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א:''' <math>g\approx9.8\mathrm\frac m{s^2}</math>
* '''קבוע הגרביטציה האוניברסלי:''' <math>G\approx6.67\cdot10^{-11}\mathrm\frac{m^3}{kg\cdot s^2}</math>
* '''קבוע פלאנק:''' <math>\hbar\approx1.05\times10^{-34}\mathrm{J\cdot s}</math>
=== תזכורות ונוסחאות ===
== מכניקת הקוונטים ==
=== הקדמה מתמטית ===
בפרק זה נסמן וקטורי עמודה כ־<math>|u\rangle</math>, אופרטורים ומטריצות כ־<math>\mathbf A</math>, צמוד הרמטי של מטריצה או אופרטור <math>\mathbf A^\dagger</math>, צמוד של סקלר <math>\lambda</math> בתור <math>\lambda*</math>, צמוד של וקטור <math>|v\rangle^\dagger=\langle v|</math> ומכפלה סקלרית בתור <math>|v\rangle\cdot|u\rangle=\langle v|u\rangle</math>.
* '''מרחב הילברט:''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb C</math> עם מכפלה פנימית <math>\langle v|u\rangle</math> כך שהמרחב שלם. כלומר:
* אם <math>f</math>פונקציה הניתנת לפיתוח לטור חזקות נגדיר <math>f(\mathbf A)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}}{n!}\mathbf A^n</math> (ובאופן דומה אם לפיתוח של <math>f</math> יש חזקות שליליות).
* לכל אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math> ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) , אם <math>f(\mathbf A)</math> מוגדרת אז היא שווה ל־<math>\sum_{i=1}^d f(\lambda_i)|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''מרחב <math>L^2(\mathbb R)</math>:''' מרחב הפונקציות <math>\varphi:\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty |\varphi(x)|^2\mathrm dx</math> מתכנס. (שתי פונקציות נחשבות שקולות במרחב אם״ם הן שוות כמעט בכל מקום לפי מידת לבג.) יש לו מכפלה פנימית <math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\psi(x)\mathrm dx</math>. זה מרחב הילברט.* '''מרחב <math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math>:''' כמו <math>L^2(\mathbb R)</math>, אלא שהפונקציות הן <math>\mathbb R^3\to\mathbb R</math> ו־<math>\|\varphi\|^2:=\iiint_{-\infty}^\infty|\varphi(x,y,z)|^2\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz</math>. זה מרחב בנך.* '''אופרטור <math>x</math>:''' אופרטור המסומן <math>x</math> עבורו לכל <math>|\varphi\rangle</math>, <math>x|\varphi\rangle</math> היא פונקציה <math>\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}\ \and\ x\mapsto x\varphi(x)</math>. לכן <math>\langle\varphi|x|\psi\rangle=\int_{-\infty}^\infty\varphi*(x)x\psi(x)\mathrm dx</math>, ולפיכך הוא אינו מוגדר בכל בחלק מ־<math>L^2</math>. זה אופרטור הרמטי.* '''אופרטור הגזירה:''' אופרטור <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> עבורו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}|\varphi\rangle=\left|\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dx}\right\rangle</math>. הוא אינו מוגדר בכל בחלק מ־<math>L^2</math>. אופרטור הגזירה הוא אנטי־הרמטי.
* <math>\left[x,-\mathrm i\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right]=\mathrm i</math>.
* '''פונקציית הדלתא של דיראק:''' <math>\delta</math> עבורה <math>\delta(x)=\begin{cases}0,&x\ne0\\\infty,&x=0\end{cases}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\mathrm dx=1</math>. היא מקיימת <math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)f(x)\mathrm dx=f(0)</math> לכל <math>f</math> רציפה ב־0.
* <math>x\delta(x-x_0)\equiv x_0\delta(x-x_0)</math>.
=== פיזיקה ===
* '''מצב''' של מערכת פיזיקלית הוא וקטור במרחב הילברט, שנקרא ''מרחב המצבים''. שני מצבים ייחשבו ''בלתי נבדלים פיזיקלית'' אם הם שווים עד כדי כפל בקבוע, ולכן נעבוד עם מצבים מנורמלים.
* '''סופרפוזיציה:''' מרחב המצבים הוא מרחב וקטורי, לכן צירוף לינארי של מצבים גם הוא מצב, הנקרא סופרפוזציה. הוא מתאר התקיימות בו־זמנית של המצבים שמרכיבים את הצירוף הלינארי, כך שמכשיר מדידה שינסה לבדוק איזה מהם מתקיים ימצא אחד מהם בהסתברות ששווה למקדם של אותו מצב (בהנחה שהסופרפוזיציה מנורמלת).
* '''התפתחות בזמן:''' אם <math>|v(t)\rangle</math> מתאר מצב בזמן <math>t</math> אז לכל שני זמנים <math>t_1,t_2</math> קיים אופרטור אוניטרי <math>\mathbf U(t_1,t_2)</math> כך ש־<math>|v(t_2)\rangle=\mathbf U(t_1,t_2)|v(t_1)\rangle</math>.
* '''אקסיומת המדידה:''' לכל גודל מדיד פיזיקלית <math>A'</math> מתאים אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math>. התוצאות האפשריות של מדידה הן הערכים העצמיים של <math>\mathbf A</math>. אם תוצאת מדידה הייתה <math>\lambda_i</math> אז מצב המערכת לאחריה יהפוך להטלה של המצב לפני המדידה <math>|\psi\rangle</math> אל התת־מרחב של הווקטורים העצמיים המתאימים ל־<math>\lambda</math>. כלומר, אם ל־<math>\lambda_i</math> יש ריבוי <math>n</math> ו־<math>\{|v_{ik}\rangle\}_{k=1}^n</math> הוא אוסף של ו״ע מתאימים ואורתונורמליים אז אופרטור ההטלה הוא <math>P_i=\sum_{k=1}^n|v_{ik}\rangle\langle v_{ik}|</math>, ומצב המערכת לאחר המדידה הוא <math>|\psi'\rangle=P_i|\psi\rangle</math> (או הנרמול שלו). ההסתברות לקבל את התוצאה <math>\lambda_i</math> במדידה היא <math>\Pr(A'=\lambda_i)=\langle\psi|P_i|\psi\rangle</math>. שינוי זה במצב נקרא ''קריסת פונקציית/ורקטור הגל''.
** {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\lambda_i</math> לא מנוון (כלומר מריבוי 1) עם ו״ע <math>|v_i\rangle</math> מנורמל אז <math>\Pr(A'=\lambda_i)=|\langle v_i|\psi\rangle|^2</math> ו־<math>|\psi'\rangle=|v_i\rangle</math>.
* '''ערך התצפית''' הוא תוחלת תוצאת המדידה של <math>\mathbf A</math>, ומסומן <math>\langle \mathbf A\rangle</math> או <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi</math> כאשר <math>|\psi\rangle</math> המצב לפני המדידה. אזי <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi=\langle\psi|\mathbf A|\psi\rangle</math>.
* אם שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math> קומוטטיביים אז המצבים העצמיים משותפים לשניהם. לכן ניתן יהיה לדעת מה תוצאת המדידה של <math>A'</math> לפי תוצאת מדידה <math>B'</math>. לכן גם מדידה לפי <math>\mathbf B</math> לא תגרום לשינוי אחרי שמדדנו עם <math>\mathbf A</math>. מאידך, אם הם אינם קומוטטיביים אז לא ניתן לדעת בו־זמנית בוודאות מלאה את תוצאת המדידה הצפויה בשניהם, ויש חשיבות לסדר המדידות.
* בתורת הקוונטים הלא יחסותית של חלקיק אחד, מצבו של החלקיק מתואר ע״י פונקציה של המיקום, <math>\varphi\in L^2</math>. אנו נעבוד עם פונקציות מנורמלות.
* '''אופרטור המיקום''' של חלקיק בציר ה־<math>x</math> הוא האופרטור שנותן את מיקום החלקיק. הוא שווה לאופרטור ה־<math>x</math>. באופן דומה מגדירים אופרטורים <math>y,z</math>.
* מתקיים <math>[x,y]=[y,z]=[x,z]=\mathbf O</math>.
* <math>x\mapsto\delta(x-x_0)</math> היא פונקציה עצמית של האופרטור <math>x</math> עם ע״ע <math>x_0</math>. לכן נסמן <math>|x_0\rangle=|\delta(x-x_0)\rangle</math>.
* '''פונקציית גל''' <math>\psi</math> של חלקיק היא פונציה כך שצפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק בנקודה <math>x_0</math> היא <math>f_x(x_0)=|\psi(x_0)|^2</math>. לכן ההסתברות למצוא את <math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> היא <math>\Pr(a\le x\le b)=\int_a^b|\psi(x)|^2\mathrm dx</math>. באופן דומה נגדיר פונקציית גל ל־<math>\mathbb R^3</math>.
* '''אופרטור התנע''' בציר ה־<math>x</math> הוא <math>p_x=-\mathrm i\hbar\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> . באופן דומה מגדירים <math>p_y,p_z</math>. אופרטור התנע בשלושה מימדים הוא <math>\mathbf P=-\mathrm i\hbar\nabla</math>.
* <math>|k\rangle</math> היא הפונקציה <math>x\mapsto\mathrm e^{\mathrm ikx}/\sqrt{2\pi}</math>.
* אם <math>\psi</math> פונקציה עצמית של <math>p_x</math> עם ע״ע <math>\lambda</math> אז <math>|\psi\rangle=|k\rangle</math> כאשר <math>k=\lambda/\hbar</math>.
* צפיפות ההסתברות של התנע בציר ה־<math>x</math> היא <math>f_{p_x}(p_0)=\left|\frac1\sqrt{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\exp\!\left(-\mathrm i\frac{p_0}\hbar x\right)\psi(x)\mathrm dx\right|^2=|\langle p_0|\psi\rangle|^2</math>. כלומר, פונקציה זו היא התמרת פורייה הסימטרית של <math>\psi</math>.
* מתקיים <math>[x,p_x]=\mathrm i\hbar</math>.
* מתקיים <math>[x,p_y]=\mathbf O</math>.
* '''עקרון האי־ודאות:''' <math>\operatorname{Var}(\mathbf A)\operatorname{Var}(\mathbf B)\ge\hbar/4</math> לכל שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math>. באופן שקול, <math>\left\langle\mathbf A^2\right\rangle\cdot\left\langle\mathbf B^2\right\rangle\ge\tfrac14|\langle[\mathbf A,\mathbf B]\rangle|^2</math>.
== דוגמאות חשובות ==
