שינויים
* לכל אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math> ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) , אם <math>f(\mathbf A)</math> מוגדרת אז היא שווה ל־<math>\sum_{i=1}^d f(\lambda_i)|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''מרחב <math>L^2(\mathbb R)</math>:''' מרחב הפונקציות <math>\varphi:\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty |\varphi(x)|^2\mathrm dx</math> מתכנס. (שתי פונקציות נחשבות שקולות במרחב אם״ם הן שוות כמעט בכל מקום לפי מידת לבג.) יש לו מכפלה פנימית <math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\psi(x)\mathrm dx</math>. זה מרחב הילברט.
* '''מרחב <math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math>:''' כמו <math>L^2(\mathbb R)</math>, אלא שהפונקציות הן <math>\mathbb R^3\to\mathbb RC\uplus\{\infty\}</math> ו־<math>\|langle\varphi\|^2\psi\rangle:=\iiint_{-\infty}mathbb R^\infty|3}\varphi^*(x,y,z)\psi(x,y,z)|^2\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz</math>. זה מרחב בנךהילברט.* '''אופרטור <math>x</math>:''' אופרטור המסומן <math>x</math> עבורו לכל <math>|\varphi\rangle</math>, <math>x|\varphi\rangle</math> היא פונקציה <math>\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}\ \and\ x\mapsto x\varphi(x)</math>. לכן <math>\langle\varphi|x|\psi\rangle=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)x\psi(x)\mathrm dx</math>, ולפיכך הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. זה אופרטור הרמטי.
* '''אופרטור הגזירה:''' אופרטור <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> עבורו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}|\varphi\rangle=\left|\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dx}\right\rangle</math>. הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. אופרטור הגזירה הוא אנטי־הרמטי.
* <math>\left[x,-\mathrm i\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right]=\mathrm i</math>.
* <math>x\mapsto\delta(x-x_0)</math> היא פונקציה עצמית של האופרטור <math>x</math> עם ע״ע <math>x_0</math>. לכן נסמן <math>|x_0\rangle=|\delta(x-x_0)\rangle</math>.
* '''פונקציית גל''' <math>\psi</math> של חלקיק היא פונציה כך שצפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק בנקודה <math>x_0</math> היא <math>f_x(x_0)=|\psi(x_0)|^2</math>. לכן ההסתברות למצוא את <math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> היא <math>\Pr(a\le x\le b)=\int_a^b|\psi(x)|^2\mathrm dx</math>. באופן דומה נגדיר פונקציית גל ל־<math>\mathbb R^3</math>.
* '''אופרטור התנע''' בציר ה־<math>x</math> הוא <math>p_x=-\mathrm i\hbar\frac{\mathrm d}partial{\mathrm dxpartial x}</math> . באופן דומה מגדירים <math>p_y,p_z</math>. אופרטור התנע בשלושה מימדים הוא <math>\mathbf P=-\mathrm i\hbar\nabla</math>.
* <math>|k\rangle</math> היא הפונקציה <math>x\mapsto\mathrm e^{\mathrm ikx}/\sqrt{2\pi}</math>.
* אם <math>\psi</math> פונקציה עצמית של <math>p_x</math> עם ע״ע <math>\lambda</math> אז <math>|\psi\rangle=|k\rangle</math> כאשר <math>k=\lambda/\hbar</math>.
* מתקיים <math>[x,p_y]=\mathbf O</math>.
* '''עקרון האי־ודאות:''' <math>\operatorname{Var}(\mathbf A)\operatorname{Var}(\mathbf B)\ge\hbar/4</math> לכל שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math>. באופן שקול, <math>\left\langle\mathbf A^2\right\rangle\cdot\left\langle\mathbf B^2\right\rangle\ge\tfrac14|\langle[\mathbf A,\mathbf B]\rangle|^2</math>.
* '''משוואת שרדינגר (התלויה בזמן):''' <math>\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi(\vec r,t)=\mathcal H\psi(\vec r,t)</math> כאשר לכל <math>t</math>, <math>\psi(\cdot,t)</math> היא פונקציה <math>\mathbb R^3\to\mathbb C</math> ב־<math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math> ו־<math>\mathcal H</math> הוא אופרטור הרמטי המכונה ''ההמילטוניאן הקוונטי'', והוא מודד את האנרגיה של חלקיק נתון. ההמליטוניאן הרגיל במימד אחד הוא <math>\frac{p^2}{2m}+U_x(x)</math> ולכן אם נחליף את <math>p</math> ב־<math>p_x</math> נקבל המלטוניאן קוונטי <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U_x(x)</math>, ובמספר מימדים <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U_\vec r(\vec r)</math>.
* <math>\langle\psi|\psi\rangle</math> קבוע בזמן.
* אם <math>|\varphi\rangle</math> מצב עצמי של ההמילטוניאן הקוונטי עם עם ע״ע <math>E</math> אזי <math>\varphi(\vec r,t)=\varphi(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac E\hbar t\right)</math>. לכן אם <math>\{(|\varphi_k\rangle,E_k)\}_k</math> אוסף המצבים העצמיים עם הע״ע המתאימים להם אזי כל פתרון של משוואת שרדינגר ניתן להצגה בצורה <math>\psi(\vec r,t)=\sum_k\varphi_k(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac{E_k}\hbar t\right)</math>. לכן מתקיימת ''משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן'': <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\vec r,t)+U_\vec r(\vec r)\psi(\vec r,t)=E\psi(\vec r,t)</math>. הערכים של <math>E</math> עבורם יש פתרון <math>\psi\in L^2</math> נקראים ''ערכי האנרגיה המותרים'', והם היחידים שייתקבלו בניסוי.
* '''תנע זוויתי:''' בפיזיקה הקלאסית <math>\vec L=\vec r\times\vec p</math>. לכן בכל ציר התנע הזוויתי הוא <math>L_x=yp_z-zp_y\ \and\ L_y=zp_x-xp_z\ \and\ L_z=xp_y-yp_x</math>, וניתן להתייחס לכל אחד מהם כאל אופרטור הרמטי כאשר <math>r_i,p_i</math> אופרטורי המיקום והתנע.
*אם <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה אז <math>\exp\!\left(\mathrm i\theta\hat\mathbf n\cdot\vec L\right)=\exp(\mathrm i\theta(\hat n_xL_x+\hat n_yL_y+\hat n_zL_z))</math> הוא סיבוב בזווית <math>\theta</math> סביב הציר <math>\hat\mathbf n</math>. לכן <math>L_x,L_y,L_z</math> הם היוצרים האינפיניטסימליים של חבורת הסיבובים ב־3 מימדים, <math>\mbox{SO}(3)</math>.
* <math>[L_x,L_y]=mathrm iL_z\ \and\ [L_y,L_z]=mathrm iL_x\ \and\ [L_z,L_x]=mathrm iL_y</math>.
* '''הצגה''' של חבורה היא הומומורפיזם מהחבורה לחבורת האוטומורפיזמים של מרחב וקטורי. בקורס זה נעסוק בהצגות של חבורה <math>G</math> שהן פונקציות <math>\varphi:G\to\mathbb C^{n\times n}</math> הפיכות המקיימות <math>\forall g_1,g_2\in G:\ \varphi(g_1\cdot g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)</math>. באופן דומה, הצגה של אלגברת לי <math>A</math> היא <math>\varphi:A\to\mathbb C^{n\times n}</math> המקיימת <math>\forall a_1,a_2\in A:\ \varphi(a_1+a_2)=\varphi(a_1)+\varphi(a_2)\ \and\ \varphi([a_1,a_2])=[\varphi(a_1),\varphi(a_2)]</math>.
* '''הצגה פריקה:''' הצגה שלכל התמונות שלה יש תת־מרחב אינווריאנטי משותף. כלומר, קיים בסיס שבו כל המטריצות מתפרקות לצורה <math>\begin{pmatrix}\mathbf A&\mathbf O\\\mathbf O&\mathbf B\end{pmatrix}</math>.
* '''אופרטור התנע הזוויתי הכולל בריבוע:''' <math>L^2:=\left|\vec L\right|^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2</math>. זה אופרטור הרמטי שכל הע״ע שלו ממשיים אי־שליליים.
* <math>[L_i,L^2]=\mathbf O</math> לכל <math>i\in\{x,y,z\}</math>. לכן קיים בסיס של וקטורים עצמיים משותפים של <math>L_z,L^2</math>, ונסמנם <math>|l,m\rangle</math> כאשר <math>L_z|l,m\rangle=\lambda_m|l,m\rangle</math> ו־<math>L^2|l,m\rangle=\mu_l|l,m\rangle</math>.
* '''משפט הצגות התנע הזוויתי:''' לכל <math>n\in\mathbb N</math> קיימת הצגה לא פריקה של האלגברה הנוצרת ע״י <math>L_x,L_y,L_z</math>. כל וקטור במרחב הילברט המתאים להצגה זו יקיים <math>L^2|v\rangle=l(l+1)|v\rangle</math> כאשר <math>l=\frac{n-1}2</math>. כמו כן, ניתן לבחור את הבסיס למרחב הווקטורי המתאים להצגה כך שווקטורי הבסיס יהיו <math>\{|v_m\rangle\}_{m=-l}^l</math> כאשר <math>L_z|v_m\rangle=m|v_m\rangle</math>.
* '''אופרטורי הסולם של התנע הזוויתי:''' <math>L_+:=L_x+\mathrm iL_y</math> ו־<math>L_i:=L_x-\mathrm iL_y</math>.
* <math>[L_+,L^2]=[L_-,L^2]=\mathbf O</math>.
== דוגמאות חשובות ==
* '''התנגשות אלסטית:''' הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שלא פועלים על הגופים כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא <math>\vec v_i</math> ואחריה <math>\vec u_i</math>. אזי משימור התנע מקבלים <math>m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec u_1+m_2\vec u_2</math>. אם בנוסף הגופים נעים במימד אחד אז מחוק שימור האנרגיה נובע <math>v_1+u_1=v_2+u_2</math>, ומשתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.
* אורך המסלול שעבר גוף הוא <math>s=\int v\mathrm dt</math>. לכן <math>\mathrm ds=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2}</math> ו־<math>\mathrm dt=\mathrm ds/v</math>, עובדה שימושית לצורך הבעת זמן תנועת הגוף לפי הקואורדינטות.
* '''בור פוטנציאל אינסופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(0,a)</math> ואינסופית בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר <math>\psi</math> מתאפסת לכל <math>x\notin(0,a)</math>, ובאותו אופן מראים שהיא סינוסיאלית בקטע <math>(0,a)</math>. אזי ערכי האנרגיה המותרים הם <math>E=\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}n^2</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math>.
