שינויים

* '''משוואות (התנועה של) המילטון:''' <math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i}=\dot q_i\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i}=-\dot p_i</math>. לכן במרחב <math>n</math>־מימדי נקבל <math>2n</math> מד״ח מסדר ראשון במקום <math>n</math> מד״ח מסדר שני שהיינו מקבלים ממשוואות אוילר–לגראנז'אוילר–לגראנז׳.

* נניח שהלאגראז׳יאן שהלגראז׳יאן הפיזיקלי לא תלוי מפורשות בזמן. נגדיר <math>t'=-t</math> ולכל גודל פיזיקלי <math>f=f(t)</math> נסמן <math>f'=f(t')</math>. אזי <math>\vec q\,'=\vec q\ \and\ \dot\vec q\,'=-\dot\vec q\ \and\ \vec p\,'=-\vec p</math>. אם הקואורדינטות קרטזיות אז <math>\mathcal H'=\mathcal H</math> ו־<math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i'}=\dot q_i'\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i'}=-\dot p_i'</math>.

בפרק זה נסמן וקטורי עמודה כ־<math>|u\rangle</math>, אופרטורים ומטריצות כ־<math>\mathbf A</math>, צמוד הרמטי של מטריצה או אופרטור <math>\mathbf A^\dagger</math>, צמוד של סקלר <math>\lambda</math> בתור <math>\lambda^*</math>, צמוד של וקטור <math>|v\rangle^\dagger=\langle v|</math> ומכפלה סקלרית בתור <math>|v\rangle\cdot|u\rangle=\langle v|u\rangle</math>.

* '''המשפט הספקטרלי במימד סופי:''' אם <math>\mathbf A</math> אופרטור הרמטי ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים מתאימים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) אזי <math>\mathbf A=\sum_{i=1}^d\lambda_i|v_i\rangle\langle v_i|</math>.

* '''אקסיומת המדידה:''' לכל גודל מדיד פיזיקלית <math>A'</math> מתאים אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math>. התוצאות האפשריות של מדידה הן הערכים העצמיים של <math>\mathbf A</math>. אם תוצאת מדידה הייתה <math>\lambda_i</math> אז מצב המערכת לאחריה יהפוך להטלה של המצב לפני המדידה <math>|\psi\rangle</math> אל התת־מרחב של הווקטורים העצמיים המתאימים ל־<math>\lambda</math>. כלומר, אם ל־<math>\lambda_i</math> יש ריבוי <math>n</math> ו־<math>\{|v_{ik}\rangle\}_{k=1}^n</math> הוא אוסף של ו״ע מתאימים ואורתונורמליים אז אופרטור ההטלה הוא <math>P_i=\sum_{k=1}^n|v_{ik}\rangle\langle v_{ik}|</math>, ומצב המערכת לאחר המדידה הוא <math>|\psi'\rangle=P_i|\psi\rangle</math> (או הנרמול שלו). ההסתברות לקבל את התוצאה <math>\lambda_i</math> במדידה היא <math>\Pr(A'=\lambda_i)=\langle\psi|P_i|\psi\rangle</math>. שינוי זה במצב נקרא ''קריסת פונקציית/ורקטור וקטור הגל''.

* '''ערך התצפית''' הוא תוחלת תוצאת המדידה של <math>\mathbf A</math>, ומסומן <math>\langle \mathbf A\rangle</math> או <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi</math> כאשר <math>|\psi\rangle</math> המצב לפני המדידה. אזי <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi=\langle\psi|\mathbf A|\psi\rangle</math>.

* '''פונקציית גל''' <math>\psi</math> של המיקום של חלקיק היא פונציה כך שצפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק בנקודה <math>x_0</math> היא <math>f_x(x_0)=|\psi(x_0)|^2</math>. לכן ההסתברות למצוא את <math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> היא <math>\Pr(a\le x\le b)=\int_a^b|\psi(x)|^2\mathrm dx</math>. באופן דומה נגדיר פונקציית גל ל־<math>\mathbb R^3</math>.

* '''משוואת שרדינגר (התלויה בזמן):''' <math>\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi(\vec r,t)=\mathcal H\psi(\vec r,t)</math> כאשר לכל <math>t</math>, <math>\psi(\cdot,t)</math> היא פונקציה <math>\mathbb R^3\to\mathbb C</math> ב־<math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math> ו־<math>\mathcal H</math> הוא אופרטור הרמטי המכונה ''ההמילטוניאן הקוונטי'', והוא מודד את האנרגיה של חלקיק נתון. ההמליטוניאן הרגיל במימד אחד הוא <math>\frac{p^2}{2m}+U_x(x)</math> ולכן אם נחליף את <math>p</math> ב־<math>p_x</math> נקבל המלטוניאן המילטוניאן קוונטי <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U_x(x)</math>, ובמספר מימדים <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U_\vec r(\vec r)</math>.* <math>\langle\psi|\psi\rangle</math> קבוע בזמן.* אם <math>|\varphi\rangle</math> מצב עצמי של ההמילטוניאן הקוונטי עם עם ע״ע <math>E</math> אזי <math>\varphi(\vec r,t)=\varphi(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac E\hbar t\right)</math>. לכן אם <math>\{(|\varphi_k\rangle,E_k)\}_k</math> אוסף המצבים העצמיים עם הע״ע המתאימים להם אזי כל פתרון של משוואת שרדינגר ניתן להצגה בצורה <math>\psi(\vec r,t)=\sum_k\langle\varphi_k|\psi(\cdot,0)\rangle\varphi_k(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac{E_k}\hbar t\right)</math>. לכן לפיכך מתקיימת ''משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן'': <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\vec r,t)+U_\vec r(\vec r)\psi(\vec r,t)=E\psi(\vec r,t)</math>. הערכים של <math>E</math> עבורם יש פתרון <math>\forall t:\ \psi(\cdot,t)\in L^2</math> נקראים ''ערכי האנרגיה המותרים'', והם היחידים שייתקבלו שיכולים להתקבל בניסוי.

* ''תכונות של <math>[L_+,L_-</math>:''** <math>[L_\pm,L^2]=\mathbf O</math>.** <math>L^2=L_z^2+L_\pm L_\mp\mp L_z</math>.** <math>[L_z,L_\pm]=\pm L_\pm</math>.<!--** <math>L_zL_\pm|l,m\rangle=(\lambda\pm1)L_\pm|l,m\rangle</math> ** <math>L^2]2L_\pm|l,m\rangle=\mathbf Omu_lL_\pm|l,m\rangle</math>.** <math>L_\pm|l,m\rangle=c_{lm}^\pm|l,m\pm1\rangle</math> עבור קבועים <math>c_{lm}^+,c_{lm}^-</math>.** <math>c_{l(m+1)}^-=(c_{lm}^+)^*</math>-->

*** אם נניח שלקצה השני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־<math>x</math> בלבד וש־<math>x(0)=0</math> היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־<math>x</math> על הגוף תהא <math>F_x=-kx=m\ddot x</math> ולכן <math>x(t)=A\sin(\omega t+\phi)</math> כש־<math>m</math> מסת הגוף, <math>\omega=\sqrt\frac km</math>היא התדירות הזוויתית, ו־<math>A</math> היא ''משרעת'' התנודה. את המשרעת ואת <math>\phi</math> ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה.<br />נבחר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא <math>U=-\int_0^x-kx'\mathrm dx'=\frac{kx^2}2</math>.

* '''בור פוטנציאל אינסופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(0,a)</math> ואינסופית בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן, כל פונקציה <math>\psi</math> עצמית מתאפסת לכל <math>x\notin(0,a)</math>, ובאותו אופן מראים שהיא סינוסיאלית בקטע <math>(0,a)</math>. אזי ערכי האנרגיה המותרים הם <math>E=\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}n^2</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math>.