שינויים
יצירת דף עם התוכן "== הקדמה == === יחידות === * '''זמן – שנייה:''' <math>\mathrm s</math> * '''מרחק – מטר:''' <math>\mathrm m</math> * '''מסה – קי..."
== הקדמה ==
=== יחידות ===
* '''זמן – שנייה:''' <math>\mathrm s</math>
* '''מרחק – מטר:''' <math>\mathrm m</math>
* '''מסה – קילוגרם:''' <math>\mathrm{kg}</math>
* '''כוח – ניוטון:''' <math>\mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}}</math>
* '''אנרגיה – ג׳אול:''' <math>\mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m}</math>
=== תזכורות ונוסחאות ===
* '''מכפלה וקטורית:''' {{left|<math>\begin{align}\mathbf u\times\mathbf v&:=(u_yv_z-u_zv_y)\hat\mathbf x+(u_zv_x-u_xv_z)\hat\mathbf y+(u_xv_y-u_yv_x)\hat\mathbf z\\&\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}\end{align}</math>}}
* '''גרדיאנט:''' <math>\nabla f:=\frac{\partial f}{\partial x}\hat\mathbf x+\frac{\partial f}{\partial y}\hat\mathbf y+\frac{\partial f}{\partial z}\hat\mathbf z</math>
* '''דיברגנץ:''' <math>\nabla\cdot F:=\frac{\mathrm dF_x}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm dF_y}{\mathrm dy}+\frac{\mathrm dF_z}{\mathrm dz}</math>
* '''רוטור/קרל:''' <math>\nabla\times F=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat\mathbf x+\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat\mathbf y+\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat\mathbf z</math>
* '''לפלסיאן:''' <math>\nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>
=== קואורדינטות ===
עבור <math>r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \varphi\in(-\pi,\pi]\ \and\ \theta\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math>:
{| border="1" class="wikitable"
|-
! מ־↓ ל־←
! קרטזיות
! גליליות
! כדוריות
|- align="left"
! קרטזיות
|
| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2}\\\varphi=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\varphi=\mbox{atan2}(y,x)\\\theta=\arccos(z/\rho)\end{array}</math>
|- align="left"
! גליליות
| <math>\begin{array}{l} x=r\cos(\varphi)\\y=r\sin(\varphi)\\z=z\end{array}</math>
|
| <math>\begin{array}{l} \rho=\sqrt{r^2+z^2}\\\varphi=\varphi\\\theta=\arctan(r/z)\end{array}</math>
|- align="left"
! כדוריות
| <math>\begin{array}{l} x=\rho\sin(\theta)\cos(\varphi)\\y=\rho\sin(\theta)\sin(\varphi)\\z=\rho\cos(\theta)\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} r=\rho\sin(\theta)\\\varphi=\varphi\\z=\rho\cos(\theta)\end{array}</math>
|
|}
כאשר <math>\mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> ו־<math>\mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x>0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x<0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases}</math>.
כמו כן, <math>\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz=r\mathrm dr\mathrm d\varphi\mathrm dz=\rho^2\sin(\theta)\mathrm d\rho\mathrm d\theta\mathrm d\varphi</math>.
=== יחידות ===
* '''זמן – שנייה:''' <math>\mathrm s</math>
* '''מרחק – מטר:''' <math>\mathrm m</math>
* '''מסה – קילוגרם:''' <math>\mathrm{kg}</math>
* '''כוח – ניוטון:''' <math>\mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}}</math>
* '''אנרגיה – ג׳אול:''' <math>\mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m}</math>
=== תזכורות ונוסחאות ===
* '''מכפלה וקטורית:''' {{left|<math>\begin{align}\mathbf u\times\mathbf v&:=(u_yv_z-u_zv_y)\hat\mathbf x+(u_zv_x-u_xv_z)\hat\mathbf y+(u_xv_y-u_yv_x)\hat\mathbf z\\&\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}\end{align}</math>}}
* '''גרדיאנט:''' <math>\nabla f:=\frac{\partial f}{\partial x}\hat\mathbf x+\frac{\partial f}{\partial y}\hat\mathbf y+\frac{\partial f}{\partial z}\hat\mathbf z</math>
* '''דיברגנץ:''' <math>\nabla\cdot F:=\frac{\mathrm dF_x}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm dF_y}{\mathrm dy}+\frac{\mathrm dF_z}{\mathrm dz}</math>
* '''רוטור/קרל:''' <math>\nabla\times F=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat\mathbf x+\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat\mathbf y+\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat\mathbf z</math>
* '''לפלסיאן:''' <math>\nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>
=== קואורדינטות ===
עבור <math>r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \varphi\in(-\pi,\pi]\ \and\ \theta\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math>:
{| border="1" class="wikitable"
|-
! מ־↓ ל־←
! קרטזיות
! גליליות
! כדוריות
|- align="left"
! קרטזיות
|
| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2}\\\varphi=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\varphi=\mbox{atan2}(y,x)\\\theta=\arccos(z/\rho)\end{array}</math>
|- align="left"
! גליליות
| <math>\begin{array}{l} x=r\cos(\varphi)\\y=r\sin(\varphi)\\z=z\end{array}</math>
|
| <math>\begin{array}{l} \rho=\sqrt{r^2+z^2}\\\varphi=\varphi\\\theta=\arctan(r/z)\end{array}</math>
|- align="left"
! כדוריות
| <math>\begin{array}{l} x=\rho\sin(\theta)\cos(\varphi)\\y=\rho\sin(\theta)\sin(\varphi)\\z=\rho\cos(\theta)\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} r=\rho\sin(\theta)\\\varphi=\varphi\\z=\rho\cos(\theta)\end{array}</math>
|
|}
כאשר <math>\mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> ו־<math>\mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x>0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x<0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases}</math>.
כמו כן, <math>\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz=r\mathrm dr\mathrm d\varphi\mathrm dz=\rho^2\sin(\theta)\mathrm d\rho\mathrm d\theta\mathrm d\varphi</math>.
