שינויים
להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
* <math>\vec r, \vec v, \vec a</math> פונקציות המיקום, המהירות והתאוצה כפונקציה של הזמן <math>t</math> בהתאמה.
* לכל פונקציה <math>f</math> של הזמן נסמן <math>f_0=f(0)</math> ערך הפונקציה בזמן ההתחלה.
* לכל וקטור <math>\vec u</math> נסמן כ־<math>u=\left|\vec u\right|</math> את גודלו וכ־<math>\hat u=\sgn\!\left(\vec u\right)</math> את כיוונו.
== הקדמה ==
=== יחידות ===
* '''כוח – ניוטון:''' <math>\mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}}</math>
* '''אנרגיה – ג׳אול:''' <math>\mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m}</math>
* '''תדירות – הרץ:''' <math>\mathrm{Hz=s^{-1}}</math>
=== קבועים ===
* '''גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א:''' <math>g\approx9.8\mathrm\frac ms</math>
=== תזכורות ונוסחאות ===
* '''מכפלה וקטורית:''' {{left|<math>\begin{align}\mathbf vec u\times\mathbf vec v&:=(\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y)\hat\mathbf x+(u_zv_x-u_xv_z)\hat\mathbf y+(u_xv_y-u_yv_x)\hat\mathbf z\\&end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}\end{align}</math>}}
* '''גרדיאנט:''' <math>\nabla f:=\frac{\partial f}{\partial x}\hat\mathbf x+\frac{\partial f}{\partial y}\hat\mathbf y+\frac{\partial f}{\partial z}\hat\mathbf z</math>
* '''דיברגנץ:''' <math>\nabla\cdot F:=\frac{\mathrm dF_x}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm dF_y}{\mathrm dy}+\frac{\mathrm dF_z}{\mathrm dz}</math>
=== קואורדינטות ===
עבור <math>x,y,z\in(-\infty,\infty)\ \and\ r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \varphitheta\in(-\pi,\pi]\ \and\ \thetavarphi\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math>קואורדינטות כפונקציות של הזמן מתקיים:
{| border="1" class="wikitable"
|-
|- align="left"
! קרטזיות
|| <math>\begin{array}{l} r\rho=\sqrt{x^2+y^2}\\\varphitheta=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array}</math>| <math>\begin{array}{l} \rhor=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\varphitheta=\mbox{atan2}(y,x)\\\thetavarphi=\arccos(z/\rhor)\end{array}</math>
|- align="left"
! גליליות
| <math>\begin{array}{l} x=r\rho\cos(\varphitheta)\\y=r\rho\sin(\varphitheta)\\z=z\end{array}</math>
|
| <math>\begin{array}{l} \rhor=\sqrt{r\rho^2+z^2}\\\varphitheta=\varphitheta\\\thetavarphi=\arctan(r\rho/z)\end{array}</math>
|- align="left"
! כדוריות
| <math>\begin{array}{l} x=\rhor\sin(\thetavarphi)\cos(\varphitheta)\\y=\rhor\sin(\thetavarphi)\sin(\varphitheta)\\z=\rhor\cos(\thetavarphi)\end{array}</math>| <math>\begin{array}{l} r=\rho=r\sin(\thetavarphi)\\\varphitheta=\varphitheta\\z=\rhor\cos(\thetavarphi)\end{array}</math>
|
|}
כאשר <math>\mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> ו־<math>\mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x>0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x<0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases}</math>.
כמו כן, <math>\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz=r\rho\mathrm drd\rho\mathrm d\varphitheta\mathrm dz=\rhor^2\sin(\thetavarphi)\mathrm dr\mathrm d\rhovarphi\mathrm d\theta</math>. == קינמטיקה ==* <math>\mathrm dvec v=\varphidot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v\ \and\ \omega=\dot\theta</math>.* '''תנועה במהירות קבועה:''' <math>\vec v(t)\equiv\vec v_0</math>. אזי <math>\vec r=\vec v_0t+\vec r_0</math>.* '''תנועה בתאוצה קבועה:''' <math>\vec a(t)\equiv\vec a_0</math>. אזי <math>\vec v=\vec a_0t+\vec v_0</math> ו־<math>\vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v_0t+\vec r_0</math>.* '''תנועה בגודל מהירות קבוע:''' <math>|\vec v|\equiv\text{const.}</math>. זה קורה אם״ם <math>\vec a\perp\vec v</math>.* '''תנועה כללית במעגל:''' אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור <math>xy</math> שרדיוסו <math>R</math> אזי <math>\vec r=R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, <math>\vec v=\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, ו־<math>\vec a=\vec a_R+\vec a_T</math> כאשר <math>\vec a_R=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}=-\omega^2\vec r</math> נקראת '''התאוצה הרדיאלית''' והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־<math>\vec a_T=\dot\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}=\frac\dot\omega\omega\vec v</math> נקראת '''התאוצה הטנגנטית/משיקית''' והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן <math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> נקבל <math>\vec v=\vec\omega\times\vec r</math> ו־<math>\vec a_R=\vec\omega\times\vec v\ \and\ \vec a_T=\dot\vec\omega\times\vec r</math>.:* '''תנועה קצובה במעגל:''' תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־<math>\omega(t)\equiv\text{const.}</math>. לכן <math>\theta=\omega t+\theta_0</math> ו־<math>\vec a_T=\vec0\ \and\ a_R=\frac{v^2}R</math>. התאוצה נקראת צנטריפטלית.::* '''התדירות''' מוגדרת כ־<math>f:=\frac\omega{2\pi}</math>.::* '''זמן המחזור''' מוגדר כ־<math>T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega</math>.
