שינויים
להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
* <math>\vec r, \vec v, \vec a, m</math> פונקציות הן המיקום, המהירות והתאוצה , התאוצה והמסה כפונקציה של הזמן <math>t</math> בהתאמה.
* לכל פונקציה <math>f</math> של הזמן נסמן <math>f_0=f(0)</math> ערך הפונקציה בזמן ההתחלה.
* לכל וקטור <math>\vec u</math> נסמן כ־<math>u=\left|\vec u\right|</math> את גודלו וכ־<math>\hat u=\sgn\!\left(\vec u\right)</math> את כיוונו.
== הקדמה ==
== קינמטיקה ==
* <math>\vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v\ \and\ </math>.* '''התדירות הזוויתית:''' <math>\omega:=\dot\theta</math>.* '''התנע:''' <math>\vec p=m\vec v</math>.
* '''תנועה במהירות קבועה:''' <math>\vec v(t)\equiv\vec v_0</math>. אזי <math>\vec r=\vec v_0t+\vec r_0</math>.
* '''תנועה בתאוצה קבועה:''' <math>\vec a(t)\equiv\vec a_0</math>. אזי <math>\vec v=\vec a_0t+\vec v_0</math> ו־<math>\vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v_0t+\vec r_0</math>.
::* '''התדירות''' מוגדרת כ־<math>f:=\frac\omega{2\pi}</math>.
::* '''זמן המחזור''' מוגדר כ־<math>T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega</math>.
== מכניקה ==
=== חוקי התנועה של ניוטון ===
# גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: <math>\vec v\equiv\text{const.}</math>.
# גוף שמסתו <math>m</math> ופועל עליו כוח <math>\vec F=\dot\vec p</math>.
# אם גוף 1 מפעיל כוח <math>\vec F_{21}</math> על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח <math>\vec F_{12}=-\vec F_{21}</math> על גוף 1.
=== כוחות נפוצים ===
* '''כוח אלסטי:''' נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה <math>\vec r_\text{loose}</math> במצב רפוי ובנקודה <math>\vec r</math> בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני כוח <math>\vec F=-k\Delta x\sgn(\vec r-\vec r_\text{loose})</math> כאשר <math>k>0</math> הוא ''קבוע האלסטיות של הקפיץ'' ו־<math>\Delta x</math> השינוי באורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
:* '''מתנד (אוסצילטור) הרמוני:''' מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו. המערכת הנ״ל היא דוגמה למערכת כזו.
:* {{הערה|דוגמה:}} אם נניח שלקצה ההשני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־<math>x</math> וש־<math>x_0=0</math> היא הנקודה בה הקפיץ רפוי אזי משוואת הכוחות בציר ה־<math>x</math> על הגוף תהא <math>F_x=-kx=m\ddot x</math> ולכן <math>x(t)=A\sin(\omega t+\phi)</math> כש־<math>m</math> מסת הגוף, <math>\omega=\sqrt\frac km</math>, <math>A</math> היא ''משרעת'' התנודה. את המשרעת ואת <math>\phi</math> ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה.
* '''כוח מתיחות:''' בהנתן חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע מופעל על הקצה השני כוח <math>\vec T=-T\hat\mathbf n</math> כאשר <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־<math>T</math> גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע.
* '''כוח נורמלי:''' משטח מפעיל כוח <math>\vec N</math> על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
* '''כוח הכובד:''' בקרבת כדה״א מופעל כוח הגרביטציה <math>-mg\hat\mathbf z</math> כאשר <math>m</math> מסת הגוף ו־<math>\hat\mathbf z</math> וקטור יחידה בכיוון מעלה.
=== חוקי השימור ===
תהא מערכת ובה הגופים <math>1,2,\dots,n</math>. נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף <math>i</math> כ־<math>\vec F_{ie}</math>. מסת הגוף <math>i</math> מסומנת <math>m_i</math>, מיקומו <math>\vec r_i</math> והתנע שלו – <math>\vec p_i</math>.
* '''המסה הכוללת''' של המערכת מוגדרת כ־<math>M:=\sum_{i=1}^n m_i</math>.
* '''מרכז המסה''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec R:=\frac{\sum_{i=1}^n m_i\vec r_i}M</math>.
* '''התנע הכולל''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec p:=\sum_{i=1}^n\vec p_i</math>. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־<math>M\dot\vec R</math>.
* לפי החוק השלישי של ניוטון <math>\dot\vec p=\sum_{i=1}^n\dot\vec p_i=\sum_{i=1}^n\vec F_{ie}</math>.
* '''חוק שימור התנע:''' אם שקול הכוחות החיצוניים הוא <math>\vec 0</math> אז <math>\dot\vec p=0</math>, כלומר התנע הכולל קבוע.
:* אם התנע קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).
