שינויים
* לכל וקטור <math>\vec u</math> נסמן כ־<math>u=|\vec u|</math> את גודלו וכ־<math>\hat u=\sgn(\vec u)</math> את כיוונו.
* נזכיר שלכל פונקציה <math>f</math> מגדירים <math>f[A]:=\mbox{Im}(f|_A)=\{f(x):\ x\in A\}</math>.
== הקדמה ==
=== קבועים ===
* '''גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א:''' <math>g\approx9.8\mathrm\frac ms</math>
* '''קבוע הגרביטציה האוניברסלי:''' <math>G\approx6.67\cdot10^{-11}\mathrm\frac{m^3}{kg\cdot s^2}</math>
=== תזכורות ונוסחאות ===
* '''מכפלה וקטורית:''' <math>\vec u\times\vec v:=\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x\end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}</math>
* '''גרדיאנט:''' <math>\nabla f:=\frac{\partial f}{\partial x}\hat\mathbf x+\frac{\partial f}{\partial y}\hat\mathbf y+\frac{\partial f}{\partial z}\hat\mathbf z</math>
* '''דיברגנץ:''' <math>\nabla\cdot \vec F:=\frac{\mathrm dF_xd\vec F_x}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm dF_yd\vec F_y}{\mathrm dy}+\frac{\mathrm dF_zd\vec F_z}{\mathrm dz}</math>* '''רוטור/קרל:''' <math>\nabla\times \vec F=\left(\frac{\partial \vec F_z}{\partial y}-\frac{\partial \vec F_y}{\partial z}\right)\hat\mathbf x+\left(\frac{\partial \vec F_x}{\partial z}-\frac{\partial \vec F_z}{\partial x}\right)\hat\mathbf y+\left(\frac{\partial \vec F_y}{\partial x}-\frac{\partial \vec F_x}{\partial y}\right)\hat\mathbf z</math>
* '''לפלסיאן:''' <math>\nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>
* <math>\vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v</math>.
* '''התדירות הזוויתית:''' <math>\omega:=\dot\theta</math>.
* '''התנע:''' <math>\vec p:=m\vec v</math>.* '''תנועה במהירות קבועה:''' <math>\vec v(t)\equiv\vec v_0text{const.}</math>. אזי <math>\vec r=\vec v_0tv(0)t+\vec r_0r(0)</math>.* '''תנועה בתאוצה קבועה:''' <math>\vec a(t)\equiv\vec a_0text{const.}</math>. אזי <math>\vec v=\vec a_0ta(0)t+\vec v_0v(0)</math> ו־<math>\vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v_0tv(0)t+\vec r_0r(0)</math>.
* '''תנועה בגודל מהירות קבוע:''' <math>|\vec v|\equiv\text{const.}</math>. זה קורה אם״ם <math>\vec a\perp\vec v</math>.
* '''תנועה כללית במעגל:''' אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור <math>xy</math> שרדיוסו <math>R</math> אזי <math>\vec r=R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, <math>\vec v=\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, ו־<math>\vec a=\vec a_R+\vec a_T</math> כאשר <math>\vec a_R=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}=-\omega^2\vec r</math> נקראת '''התאוצה הרדיאלית''' והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־<math>\vec a_T=\dot\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}=\frac\dot\omega\omega\vec v</math> נקראת '''התאוצה הטנגנטית/משיקית''' והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן <math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> נקבל <math>\vec v=\vec\omega\times\vec r</math> ו־<math>\vec a_R=\vec\omega\times\vec v\ \and\ \vec a_T=\dot\vec\omega\times\vec r</math>.
:* '''תנועה קצובה במעגל:''' תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־<math>\omega(t)\equiv\text{const.}</math>. לכן <math>\theta=\omega t+\theta_0theta(0)</math> ו־<math>\vec a_T=\vec0\ \and\ a_R=\frac{v^2}R</math>. התאוצה נקראת צנטריפטלית.
::* '''התדירות''' מוגדרת כ־<math>f:=\frac\omega{2\pi}</math>.
::* '''זמן המחזור''' מוגדר כ־<math>T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega</math>.
== מכניקה ניוטונית ==
=== חוקי התנועה של ניוטון ===
# גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: <math>\vec v\equiv\text{const.}</math>.
# הכוח שפועל על גוף שמסתו <math>m</math> ופועל עליו כוח נתון הוא <math>\vec F=\dot\vec p</math>.
# אם גוף 1 מפעיל כוח <math>\vec F_{21}</math> על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח <math>\vec F_{12}=-\vec F_{21}</math> על גוף 1.
=== כוחות נפוצים אנרגיה ===* '''כוח אלסטי:האנרגיה הקינטית''' נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה של גוף היא <math>E_k:=\vec r_\textfrac{loosem v^2}2</math> במצב רפוי ובנקודה .* '''העבודה''' שמבצע כוח <math>\vec rF</math> בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני כוח בין הזמנים <math>t_1</math> עד <math>t_2</math> היא <math>W:=\int_{\vec F=-kr[[t_1,t_2]]}\Delta xvec F_\sgnvec r(\vec r-)\mathrm d\vec r_r=\textint_{looset_1}^{t_2}\vec F(t)\cdot\vec v(t)\mathrm dt</math> כאשר <math>k>0</math> הוא ''קבוע האלסטיות של הקפיץ'' ו־.* <math>W=\Delta xE_k=E_k(t_2)-E_k(t_1)</math> השינוי באורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.:* '''מתנד (אוסצילטור) הרמוניכוח משמר:''' מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו. המערכת הנ״ל היא דוגמה למערכת כזו.:* {{הערה|דוגמה:}} אם נניח שלקצה ההשני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־<math>x\vec F</math> וש־המוגדר בתחום פשוט־קשר ומקיים את התנאים השקולים הבאים לכל <math>x_0=0t_1,t_2</math> היא הנקודה בה הקפיץ רפוי אזי משוואת הכוחות בציר ה־:*# האינטגרל <math>x\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> על הגוף תהא אינו תלוי במסלול אלא רק בנקודות ההתחלה והסיום <math>F_x=-kx=m\ddot xvec r(t_1),\vec r(t_2)</math> ולכן .*# לכל מסלול סגור מתקיים <math>x(t)=A\sin(oint_{\omega t+vec r[[t_1,t_2]]}\phivec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=0</math> כש־.*# קיימת פונקציה <math>mU</math> מסת הגוף, בתחום כך ש־<math>\omega=int_{\sqrtvec r[[t_1,t_2]]}\frac kmvec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=U(t_1)-U(t_2)</math>, לכל מסלול שעובר דרך נקודות ההתחלה והסיום.*# קיימת פונקציה <math>AU_\vec r</math> בתחום כך ש־<math>\vec F_\vec r(\vec r)=-\nabla U_\vec r(\vec r)</math> היא ''משרעת'' התנודה. את המשרעת ואת *# מתקיים <math>\phiforall\vec r:\ \nabla\times\vec F_\vec r(\vec r)=\vec 0</math> ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה.* '''כוח מתיחות:אנרגיה פוטנציאלית/פוטנציאל''' בהנתן חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע מופעל על הקצה השני של גוף עליו פועל כוח משמר <math>\vec TF</math> היא <math>U(t):=-T\hatint_{\mathbf nvec r_0}^{\vec r(t)}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> כאשר <math>\hat\mathbf nvec r_0</math> וקטור יחידה בכיוון החוט היא ''נקודת הייחוס''.* אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>U(כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השניt_1)-U(t_2)=\Delta E_k=E_k(t_2)-E_k(t_1), ו־</math>T.* '''אנרגיה כללית''' של גוף עליו פועל כוח משמר היא <math>E:=E_k+U</math> גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע.* '''כוח נורמליחוק שימור האנרגיה:''' משטח מפעיל אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>E\vec Nequiv\text{const.}</math> על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח, כלומר האנרגיה הכללית קבועה.* '''כוח הכובדפוטנציאל אפקטיבי:''' בקרבת כדה״א מופעל כוח הגרביטציה האנרגיה הכללית של גוף הנע במישור <math>-mgxy</math> היא <math>E=\hatfrac{m\mathbf zleft(\dot\rho^2+\rho^2\omega^2\right)}2+U</math> כאשר . גודל התנע הזוויתי הוא <math>L=m\rho^2\omega</math> מסת הגוף ו־ולכן <math>E=\hatfrac{m\mathbf zdot\rho^2}2+U_\text{eff}</math> וקטור יחידה כאשר <math>U_\text{eff}:=\frac{L^2}{2m\rho^2}+U</math> הוא הפוטנציאל האפקטיבי. הוא מאפשר להתייחס לבעיה של תנועת הגוף בכיוון מעלההרדיאלי בלבד כבעיה חד־ממדית אשר הפוטנציאל בה הוא הפוטנציאל האפקטיבי.
=== חוקי השימור מערכות גופים ===תהא מערכת ובה הגופים <math>1,2,\dots,n</math>. נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף <math>i</math> כ־<math>\vec F_{ie}</math>. מסת הגוף <math>i</math> מסומנת <math>m_i</math>, מיקומו <math>\vec r_i</math> והתנע שלו – <math>\vec p_i</math>.
* '''המסה הכוללת''' של המערכת מוגדרת כ־<math>M:=\sum_{i=1}^n m_i</math>.
* '''מרכז המסה''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec R:=\frac{\sum_{i=1}^n m_i\vec r_i}M</math>.
* '''התנע הכולל''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec p:=\sum_{i=1}^n\vec p_i</math>. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־<math>M\dot\vec R</math>.
* לפי החוק השלישי של ניוטון <math>\dot\vec p=\sum_{i=1}^n\dot\vec p_i=\sum_{i=1}^n\vec F_{ie}</math>.* '''חוק שימור התנע:''' אם שקול הכוחות החיצוניים הוא <math>\vec 0</math> אז <math>\dot\vec p=\vec 0</math>, כלומר התנע הכולל קבוע.
:* אם התנע קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם שקול הכוחות של המערכת הוא כוח משמר אז <math>\sum_{i=1}^n\Big(E_{ki}+U_i\Big)\equiv\text{const.}</math>.
=== תנע זוויתי ===
* '''התנע הזוויתי''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec L:=\vec r\times\vec p</math>.
* '''הטורק/מומנט הפיתול''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec\tau:=\vec r\times\vec F=\dot\vec L</math>.
* '''חוק שימור התנע הזוויתי:''' אם שקול הכוחות פועל במקביל ל־<math>\vec r</math> אז <math>\vec L\equiv\text{const.}</math>.
== דוגמאות חשובות ==
* '''מתנד (אוסצילטור) הרמוני:''' מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו. המערכת הנ״ל היא דוגמה למערכת כזו.
** '''קפיץ:''' נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה <math>\vec r_\text{loose}</math> במצב רפוי ובנקודה <math>\vec r</math> בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני ''כוח אלסטי'' <math>\vec F=-k\Delta x\sgn(\vec r-\vec r_\text{loose})</math> כאשר <math>k>0</math> הוא ''קבוע האלסטיות של הקפיץ'' ו־<math>\Delta x</math> השינוי באורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
*** אם נניח שלקצה ההשני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־<math>x</math> וש־<math>x(0)=0</math> היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־<math>x</math> על הגוף תהא <math>F_x=-kx=m\ddot x</math> ולכן <math>x(t)=A\sin(\omega t+\phi)</math> כש־<math>m</math> מסת הגוף, <math>\omega=\sqrt\frac km</math>, <math>A</math> היא ''משרעת'' התנודה. את המשרעת ואת <math>\phi</math> ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה.<br />נגדיר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא <math>U=-\int_0^x-kx'\mathrm dx'=\frac{kx^2}2</math>.
* '''מתיחות:''' בהנתן חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע מופעל על הקצה השני ''כוח מתיחות'' <math>\vec T=-T\hat\mathbf n</math> כאשר <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־<math>T</math> גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע.
* '''כוח נורמלי:''' משטח מפעיל ''כוח נורמלי'' <math>\vec N</math> על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
* '''החוק הרביעי של ניוטון:''' בהנתן שני גופים 1,2 מפעיל גוף 2 על גוף 1 ''כוח כבידה'' משמר <math>\vec F_{12}=-\frac{Gm_1m_2(\vec r_1-\vec r_2)}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}</math>.<br />אם נבחר את האינסוף להיות נקודת הייחוס אז הפוטנציאל הגרביטציוני הוא <math>U=-\frac{Gm_1m_2}{|\vec r_1-\vec r_2|}</math>.
** בקרבתו מפעיל כדה״א כוח הכבידה <math>-mg\hat\mathbf z</math> כאשר <math>m</math> מסת הגוף ו־<math>\hat\mathbf z</math> וקטור יחידה בכיוון מעלה.<br />אם נגדיר את נקודת הייחוס בראשית הצירים אז <math>U=-\int_0^z-mg\hat\mathbf z\mathrm d\vec r=mgz</math>.
* '''כוח מרכזי:''' כוח שפועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב.
* '''התנגשות פלסטית:''' הגופים <math>1,2,\dots,n</math> נמצמדים זה לזה לאחר התנגשות. המהירות המשותפת לאחר ההתנגשות היא <math>\frac{\sum_{i=1}^n m_i\vec v_i}M</math> אם שקול הכוחות החיצוניים הוא <math>\vec 0</math>.
* '''התנגשות אלסטית:''' הגופים <math>1,2</math> נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שעל הגופים לא פועלים כוחות חיצוניים ושגודל מהירותם לפני ההתנגשות הוא <math>v_i</math> ואחריה <math>u_i</math>. אזי משימור התנע מקבלים <math>m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2</math> וביחד עם שימור האנרגיה מקבלים <math>v_1+u_1=v_2+u_2</math>. משתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.
