תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הערות:

  • לכל שתי פונקציות פיזיקליות f,g של הזמן נסמן f_g:=f\circ g^{-1}. למשל, \vec v_\vec r(\vec r(t))=\vec v(t), כלומר \vec v_\vec r היא פונקציה של המהירות לפי המיקום.
  • לפעמים נסמן f במקום f(t).
  • לכל וקטור \vec u נסמן כ־u=|\vec u| את גודלו וכ־\hat u=\sgn(\vec u) את כיוונו.
  • נזכיר שלכל פונקציה f מגדירים f[A]:=\mbox{Im}(f|_A)=\{f(x):\ x\in A\}.

הקדמה

יחידות

  • זמן – שנייה: \mathrm s
  • מרחק – מטר: \mathrm m
  • מסה – קילוגרם: \mathrm{kg}
  • כוח – ניוטון: \mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}}
  • אנרגיה – ג׳אול: \mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m}
  • תדירות – הרץ: \mathrm{Hz=s^{-1}}

קבועים

  • גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א: g\approx9.8\mathrm\frac ms
  • קבוע הגרביטציה האוניברסלי: G\approx6.67\cdot10^{-11}\mathrm\frac{m^3}{kg\cdot s^2}

תזכורות ונוסחאות

  • מכפלה וקטורית: \vec u\times\vec v:=\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x\end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}
  • דל: \nabla:=\begin{pmatrix}\partial/\partial x\\\partial/\partial y\\\partial/\partial z\end{pmatrix}. הגרדיאנט הוא \nabla f, הדיברגנץ הוא \nabla\cdot\vec F, הרוטור/קרל\nabla\times\vec F, והלפלסיאן\Delta f:=\nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.

קואורדינטות

  • עבור x,y,z\in(-\infty,\infty)\ \and\ r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \theta\in(-\pi,\pi]\ \and\ \varphi\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] קואורדינטות כפונקציות של הזמן מתקיים:
    מ־← ל־↓ קרטזיות גליליות כדוריות
    קרטזיות \begin{array}{l} x=\rho\cos(\theta)\\y=\rho\sin(\theta)\\z=z\end{array} \begin{array}{l} x=r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y=r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=r\cos(\varphi)\end{array}
    גליליות \begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array} \begin{array}{l} \rho=r\sin(\varphi)\\\theta=\theta\\z=r\cos(\varphi)\end{array}
    כדוריות \begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\\varphi=\arccos(z/r)\end{array} \begin{array}{l} r=\sqrt{\rho^2+z^2}\\\theta=\theta\\\varphi=\arctan(\rho/z)\end{array}

    כאשר \mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] ו־\mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x>0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x<0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and\ y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases}.

  • \mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz=\rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz=r^2\sin(\varphi)\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta.
  • קינמטיקה

    • \vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v.
    • התדירות הזוויתית: \omega:=\dot\theta.
    • התנע: \vec p:=m\vec v.
    • תנועה במהירות קבועה: \vec v(t)\equiv\text{const.}. אזי \vec r=\vec v(0)t+\vec r(0).
    • תנועה בתאוצה קבועה: \vec a(t)\equiv\text{const.}. אזי \vec v=\vec a(0)t+\vec v(0) ו־\vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v(0)t+\vec r(0).
    • תנועה בגודל מהירות קבוע: |\vec v|\equiv\text{const.}. זה קורה אם״ם \vec a\perp\vec v.
    • תנועה כללית במעגל: אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור xy שרדיוסו R אזי \vec r=R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}, \vec v=\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}, ו־\vec a=\vec a_R+\vec a_T כאשר \vec a_R=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}=-\omega^2\vec r נקראת התאוצה הרדיאלית והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־\vec a_T=\dot\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}=\frac\dot\omega\omega\vec v נקראת התאוצה הטנגנטית/משיקית והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן \vec\omega:=\omega\hat\mathbf z נקבל \vec v=\vec\omega\times\vec r ו־\vec a_R=\vec\omega\times\vec v\ \and\ \vec a_T=\dot\vec\omega\times\vec r.
    • תנועה קצובה במעגל: תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־\omega(t)\equiv\text{const.}. לכן \theta=\omega t+\theta(0) ו־\vec a_T=\vec0\ \and\ a_R=\frac{v^2}R. התאוצה נקראת צנטריפטלית.
    • התדירות מוגדרת כ־f:=\frac\omega{2\pi}.
    • זמן המחזור מוגדר כ־T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega.

    מכניקה ניוטונית

    חוקי התנועה של ניוטון

    1. גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: \vec v\equiv\text{const.}.
    2. הכוח שפועל על גוף נתון הוא \vec F=\dot\vec p.
    3. אם גוף 1 מפעיל כוח \vec F_{21} על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח \vec F_{12}=-\vec F_{21} על גוף 1.

    אנרגיה

    • האנרגיה הקינטית של גוף היא E_k:=\frac{m v^2}2.
    • העבודה שמבצע כוח \vec F בין הזמנים t_1 עד t_2 היא W:=\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t)\cdot\vec v(t)\mathrm dt.
    • W=\Delta E_k=E_k(t_2)-E_k(t_1).
    • כוח משמר: כוח \vec F המוגדר בתחום פשוט־קשר ומקיים את התנאים השקולים הבאים לכל t_1,t_2:
      1. האינטגרל \int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r אינו תלוי במסלול אלא רק בנקודות ההתחלה והסיום \vec r(t_1),\vec r(t_2).
      2. לכל מסלול סגור מתקיים \oint_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=0.
      3. קיימת פונקציה U בתחום כך ש־\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=U(t_1)-U(t_2) לכל מסלול שעובר דרך נקודות ההתחלה והסיום.
      4. קיימת פונקציה U_\vec r בתחום כך ש־\vec F_\vec r(\vec r)=-\nabla U_\vec r(\vec r).
      5. מתקיים \forall\vec r:\ \nabla\times\vec F_\vec r(\vec r)=\vec 0.
    • אנרגיה פוטנציאלית/פוטנציאל של גוף עליו פועל כוח משמר \vec F היא U(t):=-\int_{\vec r_0}^{\vec r(t)}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r כאשר \vec r_0 היא נקודת הייחוס.
    • אם על גוף פועל כוח משמר אז U(t_1)-U(t_2)=\Delta E_k=E_k(t_2)-E_k(t_1).
    • אנרגיה כללית של גוף עליו פועל כוח משמר היא E:=E_k+U.
    • חוק שימור האנרגיה: אם על גוף פועל כוח משמר אז E\equiv\text{const.}, כלומר האנרגיה הכללית קבועה.
    • פוטנציאל אפקטיבי: האנרגיה הכללית של גוף הנע במישור xy היא E=\frac{m\left(\dot\rho^2+\rho^2\omega^2\right)}2+U. גודל התנע הזוויתי הוא L=m\rho^2\omega ולכן E=\frac{m\dot\rho^2}2+U_\text{eff} כאשר U_\text{eff}:=\frac{L^2}{2m\rho^2}+U הוא הפוטנציאל האפקטיבי. הוא מאפשר להתייחס לבעיה של תנועת הגוף בכיוון הרדיאלי בלבד כבעיה חד־ממדית אשר הפוטנציאל בה הוא הפוטנציאל האפקטיבי.

    מערכות גופים

    תהא מערכת ובה הגופים 1,2,\dots,n. נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף i כ־\vec F_{ie}.

    • המסה הכוללת של המערכת מוגדרת כ־M:=\sum_{i=1}^n m_i.
    • מרכז המסה של המערכת מוגדר כ־\vec R:=\frac{\sum_{i=1}^n m_i\vec r_i}M.
    • התנע הכולל של המערכת מוגדר כ־\vec p:=\sum_{i=1}^n\vec p_i. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־M\dot\vec R.
    • לפי החוק השלישי של ניוטון \dot\vec p=\sum_{i=1}^n\vec F_{ie}.
    • חוק שימור התנע: אם שקול הכוחות החיצוניים הוא \vec 0 אז \dot\vec p=\vec 0, כלומר התנע הכולל קבוע.
    • אם התנע קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).
    • חוק שימור האנרגיה: אם שקול הכוחות של המערכת הוא כוח משמר אז \sum_{i=1}^n\Big(E_{ki}+U_i\Big)\equiv\text{const.}.

    תנע זוויתי

    • התנע הזוויתי של גוף מוגדר כ־\vec L:=\vec r\times\vec p.
    • הטורק/מומנט הפיתול של גוף מוגדר כ־\vec\tau:=\vec r\times\vec F=\dot\vec L.
    • חוק שימור התנע הזוויתי: אם שקול הכוחות פועל במקביל ל־\vec r אז \vec L\equiv\text{const.}.

    מכניקה אנליטית

    פונקציונלים

    • פונקציונל: פונקציה S ממרחב פונקציות מסוים לקבוצת סקלרים. בקורס זה נעסוק רק בפונקציונלים מהצורה S(q)=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q,t\right)\mathrm dt כאשר \mathcal L היא הלגראנז׳יאן של הבעיה.
    • מינימיזציה: נרצה למצוא את הפונקציה \vec q שעבורה \vec q(t_1)=\vec a\ \and\ \vec q(t_2)=\vec b ו־S(\vec q) מקבל ערך קיצון מקומי, כאשר \vec q דיפרנציאבילית ו־\mathcal L גזירה חלקית ברציפות. אזי תנאי הכרחי שעליה לקיים הוא שלכל i מתקיימת משוואת אוילר–לגראנז׳: \frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0.
    • תהי \vec p=\vec p(\vec q) התמרת קואורדינטות מ־\vec q ל־\vec p. אם \vec q_0 מקיימת את משוואת אוילר–לגראנז׳ \frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0 אזי גם \vec p_0:=\vec p(\vec q_0) מקיימת \frac{\partial\mathcal L}{\partial p_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot p_i}=0.
    • פעולה: הפונקציונל S(\vec r):=\int_{t_1}^{t_2}\left({E_k}_\vec v\!\left(\dot\vec r\right)-U_\vec r(\vec r)\right)\mathrm dt. הלגראנז׳יאן נקרא הלגראנז׳יאן הפיזיקלי של המערכת.
    • עקרון המילטון/הפעולה המינימלית: הלגראנז׳יאן הפיזיקלי מקיים את משוואת אוילר–לגראנז׳ לכל \vec r.
    • תנע מוכלל: הווקטור שרכיביו p_i:=\frac{\partial(E_k-U)}{\partial\dot q_i} כאשר \vec q וקטור קואורדינטות.
    • כוח מוכלל: הווקטור שרכיביו F_i:=\frac{\partial(E_k-U)}{\partial q_i} כאשר \vec q וקטור קואורדינטות.
    • ממשוואת אוילר–לגראנז׳ נובע ש־F_i=\dot p_i.
    • קואורדינטה ציקלית: קואורדינטה q_i שאינה מופיעה מפורשות בלגראנז׳יאן הפיזיקלי (אלא רק הנגזרת שלה). היא מקיימת F_i\equiv 0 ולכן p_i\equiv\text{const.}.

    מכניקה המילטונית

    • התמרת לז׳נדר: תהי פונקציה קמורה או קעורה של המשתנה x ונגדיר s(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x}. לכן s מונוטונית ובפרט קיימת לה פונקציה הופכית x(s). התמרת לז׳נדר של f מוגדר כ־g(s):=x(s)\cdot s-f(x(s)).
    • \frac{\partial g}{\partial s}=x.
    • התמרת לז׳נדר של התמרת לז׳נדר היא הפונקציה המקורית.
    • המילטוניאן: התמרת לז׳נדר של הלגראנז׳יאן הפיזיקלי: \mathcal H(\vec p,\vec q)=\vec p\cdot\dot\vec q(p,q)-\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q(\vec p,\vec q),t\right) כאשר \vec p התנע המוכלל ו־\mathcal L=E_k-U.
    • \frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i}=\dot q_i\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i}=-\dot p_i.
    • בקואורדינטות קרטזיות \vec q=(x,y,z) התנע המוכלל שווה לתנע הרגיל וההמילטוניאן שווה לאנרגיה הכללית.
    • סוגרי פואסון: בתנועת גוף ניתן להציג רבים מהגדלים הדינמיים (דהיינו, תלויים בתנועה) כפונקציות של הקואורדינטות ושל התנע המוכלל. סוגרי פואסון של שני גדלים A(\vec p,\vec q,t),B(\vec p,\vec q,t) מוגדרים כ־\{A,B\}:=\sum_i\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial B}{\partial q_i}\frac{\partial A}{\partial p_i}\right).
    • \{A,B\}=-\{B,A\}.
    • מתקיים \frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\{A,\mathcal H\} כאשר \partial A/\partial t הוא השינוי ב־A לפי תלות מפורשת בזמן (בניגוד לתלות ע״י \vec p(t),\vec q(t)).

    דוגמאות חשובות

    • מתנד (אוסצילטור) הרמוני: מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו.
      • קפיץ: נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה \vec r_\text{loose} במצב רפוי ובנקודה \vec r בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני כוח אלסטי \vec F=-k\Delta x\sgn(\vec r-\vec r_\text{loose}) כאשר k>0 הוא קבוע האלסטיות של הקפיץ ו־\Delta x השינוי באורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
        • אם נניח שלקצה השני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־x וש־x(0)=0 היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־x על הגוף תהא F_x=-kx=m\ddot x ולכן x(t)=A\sin(\omega t+\phi) כש־m מסת הגוף, \omega=\sqrt\frac km, A היא משרעת התנודה. את המשרעת ואת \phi ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה.
          נגדיר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא U=-\int_0^x-kx'\mathrm dx'=\frac{kx^2}2.
    • מטוטלת מתמטית: חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע ועל הקצה השני מופעל כוח מתיחות \vec T=-T\hat\mathbf n כאשר \hat\mathbf n וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־T גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע.
      אם מטוטלת מוצבת בקצה החופשי ומישור התנועה אנכי אז האנרגיה הקינטית היא \frac{mR^2\dot\theta^2}2 כאשר R אורך החוט והאנרגיה הפוטנציאלית היא -mgR\cos(\theta). לכן הלגראנז׳יאן הפיזיקלי הוא \frac{mR^2\dot\theta^2}2+mgR\cos(\theta) ומשוואת אוילר–לגראנז׳ נותנת mR^2\ddot\theta+mgR\sin(\theta)=0.
    • כוח נורמלי: משטח מפעיל כוח נורמלי \vec N על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
    • החוק הרביעי של ניוטון: בהנתן שני גופים 1,2 מפעיל גוף 2 על גוף 1 כוח כבידה משמר \vec F_{12}=-\frac{Gm_1m_2(\vec r_1-\vec r_2)}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}.
      אם נבחר את האינסוף להיות נקודת הייחוס אז הפוטנציאל הגרביטציוני הוא U=-\frac{Gm_1m_2}{|\vec r_1-\vec r_2|}.
      • כדה״א מפעיל בקרבתו כוח כבידה -mg\hat\mathbf z כאשר m מסת הגוף ו־\hat\mathbf z וקטור יחידה בכיוון מעלה.
        אם נגדיר את נקודת הייחוס בראשית הצירים אז U=-\int_0^z-mg\hat\mathbf z\mathrm d\vec r=mgz.
    • כוח מרכזי: כוח שפועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב.
    • התנגשות פלסטית: הגופים נמצמדים זה לזה לאחר התנגשות. את המהירות המשותפת ניתן למצוא לפי חוק שימור התנע.
    • התנגשות אלסטית: הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שהגופים נעים במימד אחד, שלא פועלים עליהם כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא v_i ואחריה u_i. אזי משימור התנע מקבלים m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2 וביחד עם שימור האנרגיה נובע v_1+u_1=v_2+u_2. משתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.