שינויים
== מכניקה אנליטית ==
=== פונקציונלים ===
* '''פונקציונל:''' פונקציה <math>S</math> ממרחב פונקציות מסוים לקבוצת סקלרים. בקורס זה נעסוק רק בפונקציונלים מהצורה <math>S(\vec q)=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q,t\right)\mathrm dt</math> כאשר <math>\mathcal L</math> היא ''הלגראנז׳יאן'' של הבעיה.
* '''מינימיזציה:''' נרצה למצוא את הפונקציה <math>\vec q</math> שעבורה <math>\vec q(t_1)=\vec a\ \and\ \vec q(t_2)=\vec b</math> ו־<math>S(\vec q)</math> מקבל ערך קיצון מקומי, כאשר <math>\vec q</math> דיפרנציאבילית ו־<math>\mathcal L</math> גזירה חלקית ברציפות. אזי תנאי הכרחי שעליה לקיים הוא שלכל <math>i</math> מתקיימת ''משוואת אוילר–לגראנז׳'': <math>\frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0</math>.
* תהי <math>\vec pq'=\vec pq'(\vec q)</math> התמרת קואורדינטות מ־<math>\vec q</math> ל־<math>\vec pq'</math>. אם <math>\vec q_0</math> מקיימת את משוואת אוילר–לגראנז׳ ל־<math>\frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0</math> אזי גם <math>\vec p_0q'_0:=\vec pq'(\vec q_0)</math> מקיימת אותה ל־<math>\frac{\partial\mathcal L}{\partial p_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot p_i}=0</math>.
* '''פעולה:''' הפונקציונל <math>S(\vec r):=\int_{t_1}^{t_2}\left({E_k}_\vec v\!\left(\dot\vec r\right)-U_\vec r(\vec r)\right)\mathrm dt</math>. הלגראנז׳יאן נקרא ''הלגראנז׳יאן הפיזיקלי של המערכת''.
* '''עקרון המילטון/הפעולה המינימלית:''' הלגראנז׳יאן הפיזיקלי מקיים את משוואת אוילר–לגראנז׳ לכל <math>\vec r</math>.
* <math>\frac{\partial g}{\partial s}=x</math>.
* התמרת לז׳נדר של התמרת לז׳נדר היא הפונקציה המקורית.
* '''המילטוניאן:''' התמרת לז׳נדר של הלגראנז׳יאן הפיזיקלי: <math>\mathcal H(\vec p,\vec q)=\vec p\cdot\dot\vec q(\vec p,\vec q)-\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q(\vec p,\vec q),t\right)</math> כאשר <math>\vec p</math> התנע המוכלל ו־<math>\mathcal L=E_k-U</math>.
* <math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i}=\dot q_i\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i}=-\dot p_i</math>.
* בקואורדינטות קרטזיות <math>\vec q=(x,y,z)</math> התנע המוכלל שווה לתנע הרגיל וההמילטוניאן שווה לאנרגיה הכללית.
== דוגמאות חשובות ==
* '''מתנד (אוסצילטור) הרמוני:''' מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו.
** '''קפיץחוק הוק:''' נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה <math>\vec r_\text{loose}r_0</math> במצב רפוי ובנקודה <math>\vec r</math> בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני ''כוח אלסטי'' <math>\vec F=-k\Delta xl\cdot\sgn(\vec r-\vec r_\text{loose}r_0)</math> כאשר <math>k>0</math> הוא ''קבוע האלסטיות של הקפיץ'' ו־<math>\Delta xl</math> השינוי באורך התוספת לאורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.*** אם נניח שלקצה השני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־<math>x</math> בלבד וש־<math>x(0)=0</math> היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־<math>x</math> על הגוף תהא <math>F_x=-kx=m\ddot x</math> ולכן <math>x(t)=A\sin(\omega t+\phi)</math> כש־<math>m</math> מסת הגוף, <math>\omega=\sqrt\frac km</math>, ו־<math>A</math> היא ''משרעת'' התנודה. את המשרעת ואת <math>\phi</math> ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה.<br />נגדיר נבחר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא <math>U=-\int_0^x-kx'\mathrm dx'=\frac{kx^2}2</math>.
* '''מטוטלת מתמטית:''' חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע ועל הקצה השני מופעל ''כוח מתיחות'' <math>\vec T=-T\hat\mathbf n</math> כאשר <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־<math>T</math> גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע.<br />אם מטוטלת מוצבת בקצה החופשי ומישור התנועה אנכי אז האנרגיה הקינטית היא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2</math> כאשר <math>R</math> אורך החוט והאנרגיה הפוטנציאלית היא <math>-mgR\cos(\theta)</math>. לכן הלגראנז׳יאן הפיזיקלי הוא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2+mgR\cos(\theta)</math> ומשוואת אוילר–לגראנז׳ נותנת <math>mR^2\ddot\theta+mgR\sin(\theta)=0</math>.
* '''כוח נורמלי:''' משטח מפעיל ''כוח נורמלי'' <math>\vec N</math> על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
* '''כוח חיכוך:'''
:* '''חיכוך סטטי''' מתקיים כשאין תנועה. ''מקדם החיכוך הסטטי'' של חומר מסומן <math>\mu_s</math> ומקיים <math>\vec f^s\le\mu_s\cdot vec N</math> כש־<math>\vec f^s</math> כוח החיכוך הסטטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי.:* '''חיכוך קינטי''' מתקיים כשיש תנועה. ''מקדם החיכוך הקינטי'' של חומר מסומן <math>\mu_k</math> ומקיים <math>\vec f^k=\mu_k\cdot vec N</math> כש־<math>\vec f^k</math> כוח החיכוך הקינטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי.
:* בקורס זה כל חומר מקיים <math>\mu_k<\mu_s</math>.
* '''החוק הרביעי של ניוטון:''' בהנתן שני גופים 1,2 מפעיל גוף 2 על גוף 1 ''כוח כבידה'' משמר <math>\vec F_{12}=-\frac{Gm_1m_2(\vec r_1-\vec r_2)}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}</math>.<br />אם נבחר את האינסוף להיות נקודת הייחוס אז הפוטנציאל הגרביטציוני הוא <math>U=-\frac{Gm_1m_2}{|\vec r_1-\vec r_2|}</math>.
** כדה״א מפעיל בקרבתו כוח כבידה <math>-mg\hat\mathbf z</math> כאשר <math>m</math> מסת הגוף ו־<math>\hat\mathbf z</math> וקטור יחידה בכיוון מעלה.<br />אם נגדיר נבחר את נקודת הייחוס בראשית הצירים אז <math>U=-\int_{\vec0}^{z\cdot\hat\mathbf z}-mg\hat\mathbf z\mathrm d\vec r=mgz</math>.
* '''כוח מרכזי:''' כוח שפועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב. כל כוח מרכזי הוא משמר.
* '''התנגשות פלסטית:''' הגופים נמצמדים זה לזה לאחר התנגשות. את המהירות המשותפת ניתן למצוא לפי חוק שימור התנע.
* '''התנגשות אלסטית:''' הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שלא פועלים על הגופים כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא <math>\vec v_i</math> ואחריה <math>\vec u_i</math>. אזי משימור התנע מקבלים <math>m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec u_1+m_2\vec u_2</math>. אם בנוסף הגופים נעים במימד אחד אז מחוק שימור האנרגיה נובע <math>v_1+u_1=v_2+u_2</math>, ומשתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.
* אורך המסלול שעבר גוף הוא <math>s=\int v\mathrm dt</math>. לכן <math>\mathrm ds=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2}</math> ו־<math>\mathrm dt=\mathrm ds/v</math>, עובדה שימושית לצורך הבעת זמן תנועת הגוף לפי <math>x,y,z</math>.
