שינויים

* '''פונקציונל:''' פונקציה <math>S</math> ממרחב פונקציות מסוים לקבוצת סקלרים. בקורס זה נעסוק רק בפונקציונלים מהצורה <math>S(\vec q)=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q,t\right)\mathrm dt</math> כאשר <math>\mathcal L</math> היא ''הלגראנז׳יאן'' של הבעיה.

* '''מינימיזציה:''' נרצה למצוא את הפונקציה <math>\vec q</math> שעבורה <math>\vec q(t_1)=\vec a\ \and\ \vec q(t_2)=\vec b</math> ו־<math>S(\vec q)</math> מקבל ערך קיצון מקומי, כאשר <math>\vec q</math> דיפרנציאבילית ו־<math>\mathcal L</math> גזירה חלקית ברציפות. אזי תנאי הכרחי שעליה לקיים הוא שלכל <math>i</math> מתקיימת ''משוואת אוילר–לגראנז׳'': <math>\frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0</math>.

* '''פעולה:''' הפונקציונל <math>S(\vec r):=\int_{t_1}^{t_2}\left(T_\vec v\!\left(\dot\vec r\right)-U_\vec r(\vec r)\right)\mathrm dt</math>. הלגראנז׳יאן נקרא ''הלגראנז׳יאן הפיזיקלי של המערכת'', והוא אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.

* '''עקרון המילטון/הפעולה המינימלית:''' הלגראנז׳יאן הפיזיקלי מקיים את משוואת אוילר–לגראנז׳ לכל <math>\vec r</math>.

* מתקיים <math>\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\{A,\mathcal H\}</math> כאשר <math>\frac{\partial A}{\partial t}</math> הוא השינוי ב־<math>A</math> לפי תלות מפורשת בזמן, בניגוד לתלות ע״י <math>\vec p(t),\vec q(t)</math>.

* '''מרחב פאזה:''' בהנתן מערכת עם <math>m</math> גופים במרחב <math>n</math>־מימדי, משוואות המילטון נותנות <math>2nm</math> משוואות ב־<math>2nm</math> נעלמים <math>q_{ij},p_{ij}</math> (כש־<math>\vec q_j</math> וקטורי קואורדינטות ו־<math>\vec p_j</math> תנעים צמודים להם). מרחב הפאזה המתאים הוא מרחב <math>2nm</math>־מימדי שכל נקודה בו מתוארת באמצעות <math>q_{ij},p_{ij}</math> כקואורדינטות. כל נקודה כזו מתארת את מצבה של המערכת כולה, וקו במרחב הפאזה מתאר את מצב המערכת לאורך הזמן. אם משוואות המילטון נותנות פתרון יחיד לכל תנאי התחלה אזי בכל נקודה במרחב הפאזה עובר קו כנ״ל יחיד.

== דוגמאות חשובות ==