שינויים
* '''משפט נתר:''' נבחר משפחה חד־פרמטרית של חבורת לי של סימטריות שלא משנות את הלגראנזי׳אן. כלומר, נקח חבורה של טרנספורמציות שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי תחתן ושתלויות באופן רציף וגזיר חלקית בפרמטר <math>s\in\mathbb R</math> כלשהו, כאשר <math>\frac{\mathrm d\mathcal L}{\mathrm ds}=0</math>. אזי <math>\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\sum_i p_i\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\text{const.}</math>.
** {{הערה|הכללה:}} נניח שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי בסדר ראשון ב־<math>\vec\varepsilon</math> עבור טרנספורמציה <math>t\mapsto t+\sum_r\varepsilon_r T_r\ \and\ q_i\mapsto q_i+\sum_r\varepsilon_r Q_{ir}</math>, כאשר <math>\varepsilon_r</math> משתנים בלתי תלויים ו־<math>T_r,Q_{ir}</math> פונקציות של <math>\vec q,\dot\vec q,t</math>. אזי <math>\forall r:\ \left(\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\dot q_i-\mathcal L\right)T_r-\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}Q_{ir}\equiv\text{const.}</math>. אינווריאנטיות מסדר ראשון משמעה שאם נפעיל את הטרנספורמציה על הפרמטרים של הלגראנז׳יאן ונתייחס לכל חזקה גדולה מ־1 של <math>\varepsilon_r</math> כאל 0 אז נקבל את הלגראנז׳יאן המקורי.
== מכניקת הקוונטים ==
בפרק זה נסמן וקטורי עמודה כ־<math>|u\rangle</math>, אופרטורים ומטריצות כ־<math>\mathbf A</math>, צמוד הרמטי של מטריצה או אופרטור <math>\mathbf A^\dagger</math>, צמוד של סקלר <math>\lambda</math> בתור <math>\lambda*</math>, צמוד של וקטור <math>|v\rangle^\dagger=\langle v|</math> ומכפלה סקלרית בתור <math>|v\rangle\cdot|u\rangle=\langle v|u\rangle</math>.
* '''מרחב הילברט:''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb C</math> עם מכפלה פנימית <math>\langle v|u\rangle</math> כך שהמרחב שלם. כלומר:
::<math>\langle u|u\rangle\ge0</math> לכל <math>|u\rangle</math> ושיוויון מתקיים אם״ם <math>|u\rangle=0</math>.
::<math>\langle v|u\rangle=\langle u|v\rangle^*</math>.
::המכפלה הפנימית לינארית בגורם הימני, כלומר <math>\forall\lambda\in\mathbb C:\ \langle v|\lambda u\rangle=\lambda\langle v|u\rangle</math>.
::עבור <math>\Big\||v\rangle\Big\|:=\sqrt{\langle v|v\rangle}</math>, לכל סדרה <math>\{|v_n\rangle\}_{n=1}^\infty</math> עבורה <math>\lim_{n,m\to\infty}\Big\||v_m\rangle-|v_n\rangle\Big\|=0</math> (סדרת קושי) קיים <math>|v\rangle</math> כך ש־<math>|v_n\rangle\to|v\rangle</math>.
* '''אופרטור לינארי''' במרחב הילברט <math>\mathcal H</math> הוא העתקה לינארית <math>\mathbf A:\mathcal H\to\mathcal H</math>. פעולת האופרטור על <math>|u\rangle</math> תסומן בצורות <math>\mathbf A|u\rangle=|\mathbf A u\rangle</math>.
* '''אופרטור הרמטי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf A</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle v|\mathbf Au\rangle=\langle\mathbf Av|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf A^\dagger=\mathbf A</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור הרמטי הם ממשיים.
* מטריצה ממשית היא הרמטית אם״ם היא סימטרית.
* '''אופרטור אוניטרי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf U</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle \mathbf Uv|\mathbf Uu\rangle=\langle v|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf U^\dagger\mathbf U=\mathbf I</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור אוניטרי שווים בערכם המוחלט ל־1.
* '''אופרטור הטלה:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf P</math> כך ש־<math>\mathbf P^2=\mathbf P</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור הטלה הם 0,1.
* '''מכפלה חיצונית:''' אופרטור לינארי <math>|u\rangle\langle v|</math>. לכל וקטור <math>|w\rangle</math> מתקיים <math>|u\rangle\langle v||w\rangle=|u\rangle\langle v|w\rangle=\langle v|w\rangle|u\rangle</math>.
* הו״ע של מטריצה הרמטית סופית יוצרים בסיס אורתוגנלי של המרחב.
* '''המשפט הספקטרלי במימד סופי:''' אם <math>\mathbf A</math> אופרטור הרמטי ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) אזי <math>\mathbf A=\sum_{i=1}^d\lambda_i|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''קומוטטור''' של אופרטורים הוא <math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf A\mathbf B-\mathbf B\mathbf A</math>.
* ''תכונות של קומוטטורים:''
** '''אנטי־קומוטטיביות:''' <math>[\mathbf A,\mathbf B]=-[\mathbf B,\mathbf A]</math>.
** '''זהות יעקובי:''' <math>[[\mathbf A,\mathbf B],\mathbf C]+[[\mathbf B,\mathbf C],\mathbf A]+[[\mathbf C,\mathbf A],\mathbf B]=\mathbf O</math>.
* אם <math>\mathbf A,\mathbf B</math> אופרטורים הרמטיים אז <math>[\mathbf A,\mathbf B]</math> הוא אופרטור אנטי־הרמטי, כלומר <math>[\mathbf A,\mathbf B]^\dagger=-[\mathbf A,\mathbf B]</math>. לכן <math>\mathrm i[\mathbf A,\mathbf B]</math> הרמטי.
* יהיו <math>\mathbf A,\mathbf B</math> מטריצות הרמטיות. הן קומוטטיביות (<math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf O</math>) אם״ם קיים בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים משותפים של <math>\mathbf A,\mathbf B</math>, כלומר אם״ם קיימת מטריצה אוניטרית המלכסנת את שתיהן.
* אם <math>f</math>פונקציה הניתנת לפיתוח לטור חזקות נגדיר <math>f(\mathbf A)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}}{n!}\mathbf A^n</math> (ובאופן דומה אם לפיתוח של <math>f</math> יש חזקות שליליות).
* לכל אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math> ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) , אם <math>f(\mathbf A)</math> מוגדרת אז היא שווה ל־<math>\sum_{i=1}^d f(\lambda_i)|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''מרחב <math>L^2</math>:''' מרחב הפונקציות <math>\varphi:\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty |\varphi(x)|^2\mathrm dx</math> מתכנס. (שתי פונקציות נחשבות שקולות במרחב אם״ם הן שוות כמעט בכל מקום לפי מידת לבג.) יש לו מכפלה פנימית <math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\psi(x)\mathrm dx</math>. זה מרחב הילברט.
* '''אופרטור <math>x</math>:''' אופרטור המסומן <math>x</math> עבורו לכל <math>|\varphi\rangle</math>, <math>x|\varphi\rangle</math> היא פונקציה <math>\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}\ \and\ x\mapsto x\varphi(x)</math>. לכן <math>\langle\varphi|x|\psi\rangle=\int_{-\infty}^\infty\varphi*(x)x\psi(x)\mathrm dx</math>, ולפיכך הוא אינו מוגדר בכל <math>L^2</math>. זה אופרטור הרמטי.
* '''אופרטור הגזירה:''' אופרטור <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> עבורו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}|\varphi\rangle=\left|\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dx}\right\rangle</math>. הוא אינו מוגדר בכל <math>L^2</math>. אופרטור הגזירה הוא אנטי־הרמטי.
* <math>\left[x,-\mathrm i\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right]=\mathrm i</math>.
== דוגמאות חשובות ==
