שינויים
המשך יבוא
* '''קבוע הגרביטציה האוניברסלי:''' <math>G\approx6.67\cdot10^{-11}\mathrm\frac{m^3}{kg\cdot s^2}</math>
* '''קבוע פלאנק:''' <math>\hbar\approx1.05\times10^{-34}\mathrm{J\cdot s}</math>
* '''מהירות האור בריק:''' <math>c=299792458\mathrm\frac ms</math>
=== תזכורות ונוסחאות ===
* כל מערכת נייחת היא אינרציאלית.
* '''טרנספורמציות גליליי:''' טרנספורמציות לינארית בין מערכות ייחוס. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>S'</math> מתקבלת מ־<math>S</math> ע״י טרנספורמציית גליליי אז <math>S'</math> אינרציאלית.
** {{הערה|מקרים פרטיים:}} <math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>; <math>\dot\vec r=\dot\vec r\,'+\vec v_0</math>; <math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math> כאשר <math>\mathbf R</math> היא מטריצת סיבוב קבועה; <math>\vec r=-\vec r\,'</math>; <math>t=t'+t_0</math>; <math>t=-t'</math>. ההרכבות של המקרים הפרטיים הללו יוצרות את חבורת גליליי, שאבריה שאיבריה הם טרנספורמציות גליליי.
* '''מערכת מואצת:''' <math>\ddot\vec r=\ddot\vec r\,'+\vec a_0</math>. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>\vec a_0\ne\vec0</math> אז <math>S'</math> אינה אינרציאלית, כי <math>\vec F\,'=\vec F-m\vec a_0</math>. אם נדמיין שפועל ''כוח מדומה'' <math>-m\vec a_0</math> על הגוף ב־<math>S'</math> אז נקבל מערכת <math>S''</math> שאינרציאלית אם <math>S</math> אינרציאלית.
* '''מערכת מסתובבת:''' <math>\vec r=\mathbf R(\omega t)\vec r\,'</math> כש־<math>\mathbf R(\omega t)</math> היא מטריצת סיבוב סביב ציר מסוים בזווית <math>\omega t</math>. אינרציאליות אינה נשמרת. אם הסיבוב הוא סביב ציר ה־<math>z</math> ו־<math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> אז ניתן לתקן זאת באמצעות שני כוחות מדומים: ''הכוח הצנטריפוגלי'' <math>-m\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r\,')</math> ו''כוח קוריוליס'' <math>-2m\vec\omega\times\vec v\,'</math>.
** <math>c_{l(m+1)}^-=(c_{lm}^+)^*</math>
-->
== תורת היחסות הפרטית ==
* במכניקה הניוטונית הזמן לא תלוי בצופה אבל הקואורדינטות <math>x,y,z</math> כן. תורת היחסות מבטלת הפרדה זו. אם <math>|\vec r(t_2)-\vec r(t_1)|=c|t_2-t_1|</math> כאשר <math>\vec r</math> וקטור הקואורדינטות של קרן אור עם זמן <math>t</math> אז עבור צופה מהצד עם זמן <math>t'</math> מתקיים <math>|\vec r(t_2')-\vec r(t_1')|=c|t_2'-t_1'|</math>. כלומר, מהירות האור – ולא הזמן – אינווריאנטית לכל צופה.
=== מערכות ייחוס בתורת היחסות ===
* המשוואה הקודמת נשמרת תחת סיבובים קבועים (<math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math>), הזזות קבועות במיקום (<math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>) והזזות קבועות בזמן (<math>t=t'+t_0</math>).
* נדון במרחב חד־ממדי, כלומר עם ציר ה־<math>x</math> וציר הזמן <math>t</math>. נגדיר קואורדינטה חדשה <math>T=ct</math> ונגדיר <math>\vec R=\begin{pmatrix}x\\T\end{pmatrix}</math>.
* '''הנורמה של המרחב''' היא <math>s^2=T^2-x^2</math>, אף שאינה נורמה במובן המתמטי.
* '''המטריקה של המרחב''' היא <math>\eta=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}</math>, אף שאינה מטריקה במובן המתמטי. היא מקיימת <math>s^2=\vec R^\top\eta\vec R</math>.
* עבור <math>u</math> נתון, <math>\Lambda=\Lambda(u)</math> היא המטריצה <math>\begin{pmatrix}\cosh(u)&\sinh(u)\\\sinh(u)&\cosh(u)\end{pmatrix}</math>. קבוצת המטריצות הללו מסומנת <math>\mbox{SO}(1,1)</math>.
* <math>\Lambda(u_1)\cdot\Lambda(u_2)=\Lambda(u_1+u_2)</math>.
* <math>\Lambda^\top\eta\Lambda=\eta</math>.
* אם <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'</math> אז <math>s^2=(s')^2</math>.
* נגדיר <math>\beta=\tanh(u)</math> ו־<math>\gamma=\frac1\sqrt{1-\beta^2}</math>.
* <math>\Lambda=\begin{pmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{pmatrix}</math>.
== דוגמאות חשובות ==
* '''התנגשות אלסטית:''' הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שלא פועלים על הגופים כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא <math>\vec v_i</math> ואחריה <math>\vec u_i</math>. אזי משימור התנע מקבלים <math>m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec u_1+m_2\vec u_2</math>. אם בנוסף הגופים נעים במימד אחד אז מחוק שימור האנרגיה נובע <math>v_1+u_1=v_2+u_2</math>, ומשתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.
* אורך המסלול שעבר גוף הוא <math>s=\int v\mathrm dt</math>. לכן <math>\mathrm ds=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2}</math> ו־<math>\mathrm dt=\mathrm ds/v</math>, עובדה שימושית לצורך הבעת זמן תנועת הגוף לפי הקואורדינטות.
* '''בור פוטנציאל אינסופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(0,a)</math> ואינסופית בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן, כל פונקציה <math>\psi</math> עצמית מתאפסת לכל <math>x\notin(0,a)</math>, ובאותו אופן מראים שהיא סינוסיאלית שווה ל־<math>\sqrt\frac2a\sin(kx)</math> בקטע <math>(0,a)</math>כאשר <math>k=\sqrt\frac{2mE}{\hbar^2}</math> כלשהו. הפונקציה צריכה להיות רציפה ולכן מתאפסת בקצוות, ונובע ש־<math>k=\frac{\pi n}a</math> עבור <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו. אזי לפיכך ערכי האנרגיה המותרים הם <math>E=\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}n^2</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math>.* '''בור פוטנציאל סופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(-a,a)</math> ושווה ל־<math>V</math> בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן בקטע <math>(-a,a)</math> נקבל <math>\psi=C_1\sin(kx)+C_2\cos(kx)</math> ל־<math>k=\sqrt\frac{2mE}{\hbar^2}</math>. אם <math>E<V</math> אז בקטע <math>(-\infty,a)</math> נקבל <math>\psi=C_3\exp(\alpha x)+C_4\exp(-\alpha x)</math> כאשר <math>\alpha=\sqrt\frac{2m(V-E)}{\hbar^2}</math>. מהתנאי <math>\psi\in L^2</math> נובע <math>\lim_{x\to-\infty}\psi(x)=0</math> ולכן <math>C_4=0</math>, ובאותו אופן <math>\psi=C_5\exp(-\alpha x)</math> בקטע <math>(a,\infty)</math>. לבסוף, נדרוש ש־<math>\psi</math> גזירה ברציפות לפי <math>x</math>, ובפרט רציפה. מדרישות אלה נובע ש־<math>\psi\equiv0</math>, אלא אם המשוואות של הדרישות תלויות, כלומר: <math>\begin{vmatrix}-\exp(\alpha a)&\cos(-ka)&\sin(-ka)&0\\0&\cos(ka)&\sin(ka)&-\exp(-\alpha a)\\-\alpha\exp(-\alpha a)&-k\sin(-ka)&k\cos(-ka)&0\\0&-k\sin(ka)&k\cos(ka)&\alpha\exp(-\alpha a)\end{vmatrix}=0</math>. רק ערכי <math>E</math> הפותרים משוואה זו הם ע״ע עם פונקציה עצמית מתאימה. בסוף נותר רק לנרמל את <math>\psi</math>.
