שינויים

'''הערה:'''עבור <math>A</math> קבוצה ויחס סדר חלקי עליה. נסמן <math>(Aחזרה ל[[83-116,\leq )</math> את הקבוצה עם היחסבדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]].

'''הגדרות.סימון מקובל:''' יהיו A קבוצה, B קבוצה המוכלת בה וR יחס סדר חלקי:*חסם מלעיל של B הוא איבר אם <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(y,x)\in R </math>*חסם מלרע של B הוא איבר יחס שקילות מסמנים גם <math>x\in Asim y</math> כך שמתקיים עבור <math>\forall y\in B:(x,y)\in R </math>*החסם העליון (סופרמום) של B הינו המינימום של קבוצת חסמי המלעיל (אם קיים). מסומן <math>sup(B)</math>*החסם התחתון (אינפימום) של B הינו המקסימום של קבוצת חסמי המלרע (אם קיים). מסומן <math>inf(B)</math>

נביט בקבוצה <math>AxQy\iff x-y=\{1,2,3,4,5\}17</math> ונגדיר עליה יחס סדר חלקי:

<math>R=xRy\iff x-y\in \mathbb{N}\cup \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(2,4),(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)0\}</math>

נביט בתת הקבוצה המכילה את המספרים האי זוגיים בלבד <math>B=xTy\{1,3,5iff x-y\}</math>. קבוצת חסמי המלעיל של B הינה <math>in \mathbb{2,4\Z}</math>. המינימום של קבוצה זו הוא 2 ולכן הוא החסם העליון של B. אין חסם מלרע ל-B ולכן בוודאי אין לה חסם תחתון.

'''הגדרה.''' יהי R בדקו עבור כל אחד מהם האם הוא יחס סדר חלקי על A. אם לכל שני איברים a,b בA מתקיים <math>[(a,b)\in R]\or[(b,a)\in R]</math> אזי R נקרא '''יחס סדר מלא'''שקילות.

<math>Q</math> לא כיון שלא רפלקסיבי, שהרי לכל <math>x\in \mathbb{R}</math> (ובפרט קיים לפחות אחד) <math>x-x===יחסי שקילות===הגדרה: תהא A קבוצה ו-R יחס עליה0\neq 17</math>. R יקרה יחס שקילות אם הוא#רפלקסיבי#סימטרי#טרנזיטיבי

אם R יחס שקילות מסמנים גם <math>x \sim yS</math> עבור לא טרנזיטיבי: <math>(x,y)2S6\in Rland 6S3</math> אבל לא נכון ש-<math>2S3</math>.

וכן נסמן <math>(A,\sim)T</math> את הקבוצה עם כן יחס השקילותשקילות:

דוגמא נוספתרפלקסיביות:יהי <math>x\in \mathbb{R}</math>, אז <math>x-x=0\in \mathbb{Z}</math>.

נגדיר יחס שקילות R על סימטריות: <math>xTy\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z}</math> ע"י <math>3|(:x-y) =a \Rightarrow y-x=-a\in \mathbb{Z} \Leftrightarrow xRyRightarrow yTx</math>.

טענהטרנזיטיביות: R אכן יחס שקילות<math>xTy\land yTz\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z}: x-y=a \land \exists b\in \mathbb{Z}: y-z=b\\ \Rightarrow x-z=x-y+y-z=a+b\in \mathbb{Z}</math>.

1הגדרה: תהא <math>A</math> קבוצה. רפלקסיביות - נניח '''חלוקה''' של <math>A</math> היא אוסף של תת קבוצות זרות של <math>A</math> המכסות את <math>A</math>. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>כך שמתקיים:* <math>\forall xi\in I: A_i \mathbbneq \varnothing </math>.* <math>\bigcup _{Zi\in I}:3|0A_i =x-xA </math> לכן כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה.* הקבוצות <math>xRxA_i</math> הן '''זרות בזוגות'''. כלומר החיתוך בין כל שתי תת קבוצות הוא ריק (<math>\forall i\ne j\in I : A_i\cap A_j = \varnothing</math>).

3. טרנזיטיביות - נניח יהא <math>[(x,y)\in R] \and [(y,z)\in R]</math> אזי יחס שקילות על <math>3|(x-y)\and 3|(y-z) </math> ולכן גם <math>3|(z-x)=(z-y)+(y-x)A</math>אזי

הגדרה: תהא A קבוצה. '''חלוקה''' של A היא חלוקה של A לקבוצות זרות. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות # לכל <math>\{A_i\}_{ix\in I}A</math>כך ש:* מוגדרת '''מחלקת השקילות של <math>\forall i\in I: A_i \neq \emptyset x</math>* ''' להיות <math>\cup _bar{ix}=[x]_R:=\{y\in I} A_i =A | (x,y)\in R\}</math> כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה .* הקבוצות <math>A_i</math> הן # '''זרותקבוצת המנה ''' זו לו = החיתוך בין כל שתי תתי קבוצות הוא ריק (מוגדרת <math>A/R := \forall i\not= j{ [x]_R | x\in I : A_iA\cap A_j = \phi } </math>).

'''משפט''': יהא <math>R </math> יחס שקילות על <math>A </math> אזי# לכל <math>x,y\in A</math> מתקיים <math>[x]=[y]</math> או <math>[x]\cap [y] =\varnothing </math> (כלומר מחלקות השקילות זרות).# <math>A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x]</math> (כלומר איחוד מחלקות השקילות הוא כל <math>A</math>).הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של <math>A</math>.

למשל, בדוגמא הראשונה <math>A_1,A_2,A_3</math> הן מחלקות השקילותחידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת. קבוצת המנה היא <math>A/R=\{A_1,A_2,A_3\}</math>

בדוגמא השניה מחלקת השקילות של 0 היא <math>[0]_R=\{ 0 \pm 3 \pm 6 \dots \}</math> וקבוצת המנה היא===תרגיל====ראינו לעיל יחס <math>T\subseteq \mathbb{ZR}/R= \times \mathbb{[0]_R,[1]_R,[2]_R\R}</math> (כלומר כל השאריות האפשריות בחלוקה ב-3)והראינו שהוא יחס שקילות.הוכיחו:

משפט: יהא R יחס שקילות על A אזי# לכל ב. אם <math>x,y\in A</math> מתקיים <math>[x]=[y]0,1)</math> או שונים אז <math>[x]_T\cap neq [y] =\phi _T</math> (כלומר מחלקות השקילות זרות)# <math>A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x]</math> כלומר (איחוד מחלקות השקילות תתן את כל A)הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של A.

מסקנה:=====פתרון=====תהא A קבוצה אזי יש התאמה {א.נוכיח בשלילה: יהי <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math> יחס שקילות על A ונניח בשלילה שקיים <math>q\in \mathbb{Q} \cap [x]_T</math>. נקבל שקיים <math>a\leftrightarrowin \mathbb{Z}</math> כך ש <math>x-q=a</math> ולכן <math>x=a+q\in \mathbb{חלוקות של AQ}</math> בסתירה (סגירות הרציונאליים).

חידודב. בהינתן כל <math>x>y</math> ולכן <math>x-y>0</math> ומאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל <math>x-y<1</math>, ולכן ההפרש בהכרח לא שלם, ולכן הם לא שקולים. ג. כל מספר כשמחסרים ממנו את הערך השלם התחתון שלו מקבלים משהו בין 0 ל-1, והם שקולים כי ההפרש הוא הערך השלם התחתון, שהוא, מהגדרתו, מספר שלם. ====תרגיל==== על <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> נגדיר יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>: מהותו העיקרית של  <math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>. קל לראות שזהו יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים שקילות. מהי, מבחינה גיאומטרית מחלקת השקילות של <math>(כמו שיוויון0,1) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת</math>? ומהי, מבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה? =====פתרון===== מעגל עם רדיוס 1 מסביב לראשית. קבוצת המנה - אוסף המעגלים מסביב לראשית.