==יחסי שקילות==
הגדרה: תהא <math>A </math> קבוצה ו-<math>R </math> יחס עליה. <math>R יקרה </math> יקרא '''יחס שקילות ''' (יח"ש) אם הוא
#רפלקסיבי
#סימטרי
'''סימון מקובל:'''
אם <math>R</math> יחס שקילות מסמנים גם <math>x \sim y</math> עבור <math>(x,y)\in R</math>.
אם R יחס שקילות מסמנים גם וכן נסמן <math>x (A,\sim y</math> עבור <math>(x,y)\in R</math>את הקבוצה עם יחס השקילות.
וכן נסמן <math>(A,\sim)</math> את הקבוצה עם יחס השקילות====תרגיל====
דוגמא נוספתעל <math>\mathbb{R}</math> נגדיר ארבעה יחסים <math>Q,R,S,T</math> באופן הבא: לכל <math>x,y\in \mathbb{R}</math>:
נגדיר יחס שקילות R על <math>xQy\mathbb{Z}</math> ע"י <math>3|(iff x-y) \Leftrightarrow xRy=17</math>
טענה: R אכן יחס שקילות<math>xRy\iff x-y\in \mathbb{N}\cup \{0\}</math>
הוכחה:<math>xSy\iff x-y\in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}</math>.
1. רפלקסיביות - נניח <math>xTy\forall iff x-y\in \mathbb{Z}:3|0=x-x</math> לכן <math>xRx</math> .
2בדקו עבור כל אחד מהם האם הוא יחס שקילות. סימטריות - נניח <math>(x,y)\in R</math> אזי <math>3|(x-y)</math> ולכן גם <math>3|(y-x)=-(x-y)</math>
3. טרנזיטיביות - נניח <math>[(x,y)\in R] \and [(y,z)\in R]</math> אזי <math>3|(x-y)\and 3|(y-z) </math> ולכן גם <math>3|(z-x)=(z-y)+(y-x)</math>====פתרון=====
הגדרה: תהא A קבוצה. '''חלוקה''' של A היא חלוקה של A לקבוצות זרות. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות <math>\{A_i\}_{i\in I}Q</math>כך ש:* לא כיון שלא רפלקסיבי, שהרי לכל <math>\forall ix\in I: A_i \neq \emptyset </math>* <math>\cup _mathbb{i\in IR} A_i =A </math> כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה * הקבוצות <math>A_i</math> הן '''זרות''' זו לו = החיתוך בין כל שתי תתי קבוצות הוא ריק (ובפרט קיים לפחות אחד) <math>\forall i\notx-x= j0\in I : A_i\cap A_j = \phi neq 17</math>).
הגדרה:<math>R</math> אמנם רפלקסיבי, אך לא סימטרי.
יהא R יחס שקילות על A אזי<math>S</math> לא טרנזיטיבי: <math>2S6\land 6S3</math> אבל לא נכון ש-<math>2S3</math>.
# לכל <math>x\in AT</math> מוגדרת '''מחלקת השקילות של x ''' להיות <math>\bar{x}=[x]_Rכן יחס שקילות:=\{y\in A | (x,y)\in R\} </math># ''' קבוצת המנה ''' מוגדרת <math>A/R := \{ [x]_R | x\in A\} </math>
רפלקסיביות: יהי <math>x\in \mathbb{R}</math>, אז <math>x-x=0\in \mathbb{Z}</math>.
למשל, בדוגמא הראשונה סימטריות: <math>A_1,A_2,A_3</math> הן מחלקות השקילות. קבוצת המנה היא <math>A/R=xTy\Rightarrow \exists a\in \mathbb{A_1,A_2,A_3Z} :x-y=a \Rightarrow y-x=-a\in \mathbb{Z}\Rightarrow yTx</math>.
בדוגמא השניה מחלקת השקילות של 0 היא טרנזיטיביות: <math>[0]_R=xTy\{ 0 land yTz\pm 3 Rightarrow \pm 6 exists a\dots in \mathbb{Z}</math> וקבוצת המנה היא<math>: x-y=a \land \exists b\in \mathbb{Z}/R: y-z= b\{[0]_R,[1]_R,[2]_R\\Rightarrow x-z=x-y+y-z=a+b\in \mathbb{Z}</math> (כלומר כל השאריות האפשריות בחלוקה ב-3).
===מחלקות שקילות וחלוקה===
הגדרה: תהא <math>A</math> קבוצה. '''חלוקה''' של <math>A</math> היא אוסף של תת קבוצות זרות של <math>A</math> המכסות את <math>A</math>. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>כך שמתקיים:* <math>\forall i\in I: A_i \neq \varnothing </math>.* <math>\bigcup _{i\in I} A_i =A </math> כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה.* הקבוצות <math>A_i</math> הן '''זרות בזוגות'''. כלומר החיתוך בין כל שתי תת קבוצות הוא ריק (<math>\forall i\ne j\in I : A_i\cap A_j = \varnothing</math>). הגדרה: יהא <math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math> אזי # לכל <math>x\in A</math> מוגדרת '''מחלקת השקילות של <math>x</math>''' להיות <math>\bar{x}=[x]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\}</math>.# ''' קבוצת המנה ''' מוגדרת <math>A/R := \{ [x]_R | x\in A\} </math>. '''משפט''': יהא <math>R </math> יחס שקילות על <math>A </math> אזי# לכל <math>x,y\in A</math> מתקיים <math>[x]=[y]</math> או <math>[x]\cap [y] =\phi varnothing </math> (כלומר מחלקות השקילות זרות).# <math>A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x]</math> כלומר (כלומר איחוד מחלקות השקילות תתן את הוא כל <math>A</math>).הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של <math>A</math>.
מסקנה:
תהא <math>A </math> קבוצה אזי יש התאמה {<math>R</math> יחס שקילות על <math>A </math>} <math>\leftrightarrow</math> {חלוקות של <math>A</math>}.
חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת.
====תרגיל====
ראינו לעיל יחס <math>T\subseteq \mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> והראינו שהוא יחס שקילות. הוכיחו:
א. <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}\Rightarrow [x]_T\subseteq \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math>.
ב. אם <math>x,y\in [0,1)</math> שונים אז <math>[x]_T\neq [y]_T</math>.
ג. <math>\forall x\in \mathbb{R} \exists y\in [0,1): [x]_T=[y]_T</math>.
=====פתרון=====
א.נוכיח בשלילה: יהי <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math> ונניח בשלילה שקיים <math>q\in \mathbb{Q}\cap [x]_T</math>. נקבל שקיים <math>a\in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>x-q=a</math> ולכן <math>x=a+q\in \mathbb{Q}</math> בסתירה (סגירות הרציונאליים).
ב. בהינתן כל <math>x>y</math> ולכן <math>x-y>0</math> ומאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל <math>x-y<1</math>, ולכן ההפרש בהכרח לא שלם, ולכן הם לא שקולים.
ג. כל מספר כשמחסרים ממנו את הערך השלם התחתון שלו מקבלים משהו בין 0 ל-1, והם שקולים כי ההפרש הוא הערך השלם התחתון, שהוא, מהגדרתו, מספר שלם.
====תרגיל====
על <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> נגדיר יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>:
<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>.
קל לראות שזהו יחס שקילות. מהי, מבחינה גיאומטרית מחלקת השקילות של <math>(0,1)</math>? ומהי, מבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה?
=====פתרון=====
מעגל עם רדיוס 1 מסביב לראשית. קבוצת המנה - אוסף המעגלים מסביב לראשית.