שינויים

הגדרה: תהא <math>A </math> קבוצה ו-<math>R </math> יחס עליה. <math>R יקרה </math> יקרא '''יחס שקילות ''' (יח"ש) אם הוא

אם R יחס שקילות מסמנים גם <math>x \sim y</math> עבור <math>(x,y)\in R</math> וכן נסמן <math>(A,\sim)</math> את הקבוצה עם יחס השקילות.

<math>xRy\iff \exists ax-y\in \mathbb{N}\cup \{0\}:x-y=a</math>

<math>xSy\exists aiff x-y\in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}:x-y=a</math>.

<math>xTy\iff \exists ax-y\in \mathbb{Z}:x-y=a</math>.

בדקו עבור כל אחד מהם האם <math>S</math> הוא יחס שקילות? האם <math>T</math> יחס שקילות?.

<math>S</math> לא טרנזיטיבי: <math>2S6\land 6S3</math> אבל לא נכון ש -<math>2S3</math>.

<math>T</math> כןיחס שקילות:

רפלקסיביות: יהי <math>x\in \mathbb{R}</math>, ניקח <math>a=0</math> ואז אז <math>x-x=0=a\in \mathbb{Z}</math>.

טרנזיטיביות: <math>xTy\land yTz\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z}: x-y=a \land \exists b\in \mathbb{Z}: y-z=b \\ \Rightarrow x-z=x-y+y-z=a+b\in \mathbb{Z}</math>.

הגדרה: תהא <math>A </math> קבוצה. '''חלוקה''' של <math>A </math> היא חלוקה אוסף של A לקבוצות תת קבוצות זרותשל <math>A</math> המכסות את <math>A</math>. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>כך ששמתקיים:* <math>\forall i\in I: A_i \neq \emptyset varnothing </math>.* <math>\cup bigcup _{i\in I} A_i =A </math> כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה .* הקבוצות <math>A_i</math> הן '''זרותבזוגות''' זו לו = . כלומר החיתוך בין כל שתי תתי תת קבוצות הוא ריק (<math>\forall i\not= ne j\in I : A_i\cap A_j = \phi varnothing</math>).

יהא <math>R </math> יחס שקילות על <math>A </math> אזי

# לכל <math>x\in A</math> מוגדרת '''מחלקת השקילות של <math>x </math>''' להיות <math>\bar{x}=[x]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\} </math>.# ''' קבוצת המנה ''' מוגדרת <math>A/R := \{ [x]_R | x\in A\} </math>.

'''משפט''': יהא <math>R </math> יחס שקילות על <math>A </math> אזי# לכל <math>x,y\in A</math> מתקיים <math>[x]=[y]</math> או <math>[x]\cap [y] =\phi varnothing </math> (כלומר מחלקות השקילות זרות).# <math>A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x]</math> כלומר (כלומר איחוד מחלקות השקילות תתן את הוא כל <math>A</math>).הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של <math>A</math>.

תהא <math>A </math> קבוצה אזי יש התאמה {<math>R</math> יחס שקילות על <math>A </math>} <math>\leftrightarrow</math> {חלוקות של <math>A</math>}.

ראינו לעיל יחס <math>T\subseteq \mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> והראינו שהוא יחס שקילות. הוכיחו:

א. נוכיח בשלילה: יהי <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math> ונניח בשלילה שקיים <math>q\in \mathbb{Q}\cap [x]_T</math>. נקבל שקיים <math>a\in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>x-q=a</math> ולכן <math>x=a+q\in \mathbb{Q}</math> בסתירה (סגירות הרציונאליים).

ב. בה"כ בהינתן כל <math>x>y</math> ולכן <math>x-y>0</math> ומאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל <math>x-y<1</math>, ולכן ההפרש בהכרח לא שלם, לכן ולכן הם לא שקולים.