<math>xQy\iff x-y=17</math>
<math>xRy\iff \exists ax-y\in \mathbb{N}\cup \{0\}:x-y=a</math>
<math>xSy\iff \exists ax-y\in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}:x-y=a</math>.
<math>xTy\iff \exists ax-y\in \mathbb{Z}:x-y=a</math>.
בדקו עבור כל אחד מהם האם הוא יחס שקילות.
<math>T</math> כן יחס שקילות:
רפלקסיביות: יהי <math>x\in \mathbb{R}</math>, ניקח <math>a=0</math> ואז אז <math>x-x=0=a\in \mathbb{Z}</math>.
סימטריות: <math>xTy\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z} :x-y=a \Rightarrow y-x=-a\in \mathbb{Z} \Rightarrow yTx</math>.
=====פתרון=====
א. נוכיח בשלילה: יהי <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math> ונניח בשלילה שקיים <math>q\in \mathbb{Q}\cap [x]_T</math>. נקבל שקיים <math>a\in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>x-q=a</math> ולכן <math>x=a+q\in \mathbb{Q}</math> בסתירה (סגירות הרציונאליים).
ב. בה"כ בהינתן כל <math>x>y</math> ולכן <math>x-y>0</math> ומאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל <math>x-y<1</math>, ולכן ההפרש בהכרח לא שלם, ולכן הם לא שקולים.
ג. כל מספר כשמחסרים ממנו את הערך השלם התחתון שלו מקבלים משהו בין 0 ל-1, והם שקולים כי ההפרש הוא הערך השלם התחתון, שהוא, מהגדרתו, מספר שלם.
על <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> נגדיר יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>:
<math>(x_1,y_1)~\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>.
קל לראות שזהו יחס שקילות. מהי, מבחינה גיאומטרית מחלקת השקילות של <math>(0,1)</math>? ומהי, מבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה?
=====פתרון=====
מעגל עם רדיוס <math>1</math> מסביב לראשית. קבוצת המנה - אוסף המעגלים מסביב לראשית.