'''הגדרה.''' יהי R יחס סדר חלקי על A. אם לכל שני איברים a,b בA מתקיים <math>[(a,b)\in R]\or[(b,a)\in R]</math> אזי R נקרא '''יחס סדר מלא'''.
=== תרגיל (ממבחן קיץ תשעה מועד ב) ===תהא <math>X<למשל: היחס 'קטן שווה' על השלמים/math> קבוצת כל הסדרות הבינאריות (סדרה בינארית היא <math>a_1a_2a_3\dots</math> כאשר <math>a_n\in \{0,1\}</math>)הממשיים הוא יחס סדר מלא. נגדיר יחס <math>R</math> על <math>X</math> כך:עבור <math>a=a_1a_2\dots ,b=b_1b_2\dots \in X</math> שימו לב כי זו דוגמא ליחס סדר בלי איברים מינימליים או מקסימליים.
<math>aRb \iff \; \forall n\; a_n===יחסי שקילות===הגדרה: תהא A קבוצה ו-b_n \neq (-1)^n</math>R יחס עליה. R יקרה יחס שקילות אם הוא#רפלקסיבי#סימטרי#טרנזיטיבי
א. הוכיחו ש דוגמא: תהא <math>RA=\{1,2,3,4,5,6\}</math> יחס סדר על . נגדיר תת הקבוצות <math>XA_1=\{1,3\},A_2=\{2,4,5\},A_3=\{6\}</math>
ב. קבעו האם <math>נגדיר יחס R</math> יחס סדר '''מלא''' על A כך <math>X\exist 1\leq i \leq 3 : x,y\in A_i \Leftrightarrow xRy</math>
ג. מצאו (אם קיימים) איבר קטן וגדול ביותר ב <math>X</math> (ביחס ל <math>טענה R</math>)יחס שקילות
==== פתרון ==== דרך שקולה לתאר את היחס שמפשטת את השאלה היא כךהוכחה:
1. רפלקסיביות - נניח <math>aRb x\iff \bigin A</math> לכן x שייך ל <math>A_i</math> עבור i מסוים ( \forall k \; a_{2k}=1 \Rightarrow b_{2k}=1שכן האיחוד שלהן שווה לA) ולכן <math>(x, \; a_{2k-1}=0\Rightarrow b_{2k-1}=0\bigx)\in R</math>.
כלומר במיקומים הזוגיים2. סימטריות - נניח <math>(x, אם a שווה 1 אז זה גורר ש b שווה 1y)\in R</math> אזי <math>x,y\in A_i</math> עבור i מסוים, מכיוון שאין משמעות לסדר שייכות לקבוצה, נובע שגם <math>(y,x)\in R</math>.
ובמיקומים האי זוגיים3. טרנזיטיביות - נניח <math>[(x, אם a שווה 0 אז זה גורר y)\in R] \and [(y,z)\in R]</math> אזי קיימים i,j כך ש b שווה 0<math>x,y\in Aֹ_i</math> וגם <math>y,z\in A_j</math>. לכן <math>y\in A_i\cap A_j</math>. מכיוון שהחיתוך בין תתי הקבוצות הוא ריק מוכרח להיות ש<math>A_i=A_j</math> ולכן <math>x,y,z\in A_i</math> ולכן <math>(x,z)\in R</math> כפי שרצינו.
א. תרגיל לבד!
בהגדרה: תהא A קבוצה. לא סדר מלא, למשל '''חלוקה''' של A היא חלוקה של A לקבוצות זרות. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות <math>a\{A_i\}_{i\in I}</math>כך ש:* <math>\forall i\in I: A_i \neq \emptyset </math>* <math>\cup _{i\in I} A_i =000A </math> כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה * הקבוצות <math>A_i</math> הן '''זרות''' זו לו = החיתוך בין כל שתי תתי קבוצות הוא ריק (<math>\dots, bforall i\not=111j\dots in I : A_i\cap A_j = \phi </math> לא מתייחסים זה לזה.)
גכפי שראינו בדוגמה הקודמת חלוקה של A מגדירה יחס שקילות (אמנם זה "רק" דוגמא אבל ניתן להוכיח את המקרה הכללי באותו אופן). קימיים, <math>M=010101\dots</math> הינו איבר הגדול ביותר כי לכל <math>a</math> מתקים <math>aRM</math>
דוגמא נוספת: נגדיר יחס שקילות R על <math>m\mathbb{Z}</math> ע"י <math>3|(x-y) \Leftrightarrow xRy</math> טענה: R אכן יחס שקילות הוכחה: 1. רפלקסיביות - נניח <math>\forall x\in \mathbb{Z}:3|0=101010x-x</math> לכן <math>xRx</math> 2. סימטריות - נניח <math>(x,y)\in R</math> אזי <math>3|(x-y)</math> ולכן גם <math>3|(y-x)=-(x-y)</math> 3. טרנזיטיביות - נניח <math>[(x,y)\in R] \and [(y,z)\in R]</math> אזי <math>3|(x-y)\and 3|(y-z) </math> ולכן גם <math>3|(z-x)=(z-y)+(y-x)</math> הגדרה: יהא R יחס שקילות על A אזי # לכל <math>x\in A</math> מוגדרת '''מחלקת השקילות של x ''' להיות <math>\bar{x}=[x]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\} </math># ''' קבוצת המנה ''' מוגדרת <math>A/R := \{ [x]_R | x\in A\} </math> למשל, בדוגמא הראשונה <math>A_1,A_2,A_3</math> הן מחלקות השקילות. קבוצת המנה היא <math>A/R=\{A_1,A_2,A_3\}</math> בדוגמא השניה מחלקת השקילות של 0 היא <math>[0]_R=\{ 0 \pm 3 \pm 6 \dots\}</math> הינו איבר קטן ביותר כי וקבוצת המנה היא<math>\mathbb{Z}/R= \{[0]_R,[1]_R,[2]_R\}</math> (כלומר כל השאריות האפשריות בחלוקה ב-3). משפט: יהא R יחס שקילות על A אזי# לכל <math>ax,y\in A</math> מתקים מתקיים <math>mRa[x]=[y]</math> או <math>[x]\cap [y] =\phi </math> (כלומר מחלקות השקילות זרות)# <math>A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x]</math> כלומר (איחוד מחלקות השקילות תתן את כל A)הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של A מסקנה:תהא A קבוצה אזי יש התאמה {<math>R</math> יחס שקילות על A } <math>\leftrightarrow</math>{חלוקות של A} חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת.
