שינויים

תהא <math>B\subseteq A</math> קבוצה ותת קבוצה. נגדיר יחס <math>~\sim \subseteq P(A)\times P(A)</math> ע"י <math>C~\sim D\iff C\cup cap B=D\cup cap B</math>. א. הוכח שזהו יחס שקילות. ב. מצא את <math>P(A)/\sim</math>

א. רפלקסיביות: כמובן ש- <math>\forall C\subseteq A:C\cap B=C\cap B</math>, ולכן <math>C\sim C</math>. סימטריות: נניח <math>C\sim D</math> אזי <math>C\cap B=D\cap B\iff D\cap B=C\cap B</math>, ולכן <math>D\sim C</math>. טרנזיטיביות: נניח <math>C\sim D\land D\sim E</math> אזי <math>C\cap B=D\cap B\land D\cap B=E\cap B</math> ומטרנזיטיביות יחס השיוויון נקבל הדרוש. ב. פיתרון: <math>P(A)/\sim =P(B)</math>. הוכחה: מחד כל תת קבוצה של <math>B</math> מגדירה מחלקת שקילות שונה, כי אם <math>C\neq D\subseteq B</math> אז <math>C\cap B\neq D\cap B</math>, ולכן <math>[C]\neq [D]</math>. מצד שני, מכל מחלקת שקילות נוכל לבחור תת קבוצה של <math>B</math> כנציג: כי <math>\forall C\in P(A):[c]=\{ D\subseteq A|C\cap B=D\cap B\}</math>, וכיון ש- <math>C\cap B\subseteq B</math> נקבל <math>[C]=[C\cap B]</math>.