הבדלים בין גרסאות בדף "תרגול 12 תשעז"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏פונקציות)
שורה 1: שורה 1:
 +
חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]].
 +
 
==פונקציות==
 
==פונקציות==
 
'''הגדרה:''' יהיו A,B קבוצות וR יחס בינהן. אזי:
 
'''הגדרה:''' יהיו A,B קבוצות וR יחס בינהן. אזי:

גרסה מ־17:38, 24 באוקטובר 2017

חזרה לדף מערכי התרגול.

פונקציות

הגדרה: יהיו A,B קבוצות וR יחס בינהן. אזי:

  • התחום של R הינו dom(R)=\{a\in A|\exists b\in B:(a,b)\in R\}=\{(*,\;),(*,\;)\dots \}
  • התמונה של R הינה im(R)=\{b\in B|\exists a\in A:(a,b)\in R\}=\{(\;,*),(\; ,*)\dots \}

הערה: ישירות מהגדרה מתקיים כי dom(R)\subseteq A, Im(R)\subseteq B

דוגמא:

  • R=\{(1,a),(2,b),(3,a),(a,1)\} אזי התחום הוא dom(R)=\{a,1,2,3\} והתמונה הינה im(R)=\{1,a,b\}

הגדרה:

  • יחס R מ-A ל-B נקרא על אם \forall b\in B \exists a\in A:(a,b)\in R כלומר im(R)=B
  • יחס R מ-A ל-B נקרא מלא אם \forall a\in A \exists b\in B:(a,b)\in R כלומר dom(R)=A
  • יחס R נקרא חד ערכי אם [(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b) כלומר אין איבר מ A שמתאים ל-2 איברים שונים מ B.


הגדרה:

יחס חד ערכי ומלא נקרא פונקציה; נסמן במקרה זה (a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a). ובאופן כללי f:A\to B \;\; , a \mapsto f(a). (A נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה. ו B נקרא הטווח של הפונקציה)

פונקציה נקראת חד-חד ערכי אם בנוסף היחס ההפוך הוא חד ערכי.

כלומר:

f חח"ע אמ"מ f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 אמ"מ x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)


הגדרה:

תהא A קבוצה. פונקציית הזהות היא פונקציה f:A \to A המקיימת \forall a\in A: f(a)=a. נהוג לסמנה: id_A פונקציית הזהות היא חח"ע ועל.

למשל:

  • f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z} כאשר f(p)=p^2 ( חח"ע ואינה על)
  • f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} כאשר f(x)=x-1 ( לא מוגדר כי f(1)=?)

תרגיל

יהיו A ו-B קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכח שכל פונקציה מ-A ל-B הינה על אם"ם היא חח"ע

הוכחה: נסמן f:A\to B, A=\{a_1,\dots a_n\},B=\{b_1,\dots b_n\} . כאשר כל האיברים ב A שונים זה מזה וכנ"ל ל B

נניח f חח"ע אזי |\{f(a_1),\dots f(a_n)\}|=n כיוון ש \{f(a_1),\dots f(a_n)\}\subseteq B ובשניהם יש אותו מספר איברים, מתקיים שיוון ולכן f על.

נניח f על. נניח בשלילה ש f אינה חח"ע אזי |\{f(a_1),\dots f(a_n)\}|<n (כי יש שני איברים שנשלחים לאותו מקום) ואז f אינה על -סתירה.

הערה: הדבר אינו נכון אם A וB קבוצות אינסופיות. (מצאו דוגמא)

הרכבת פונקציות

הגדרה: יהיו f:A\to B, g:B\to C שתי פונקציות אזי ההרכבה של g על f היא פונקציה g \circ f:A\to C המוגדרת על ידי הכלל g \circ f(a)=g(f(a))

הערה: אם מתיחסים לפונקציות כאל יחסים - מקבלים את ההגדרה של הרכבת יחסים.

משפט:

  • אם g \circ f חח"ע אזי f חח"ע.
  • אם g \circ f על אזי g על.

פונקציות הפיכות

הערה: לכל פונקציה f מתקיים f\circ id =f וגם id \circ f =f

הגדרה: תהי f פונקציה f:A\rightarrow B. פונקציה g:B\rightarrow A תיקרא הפונקציה ההופכית ל-f אם f\circ g = id_B וגם g\circ f = id_A. במקרה זה נסמן את g על ידי f^{-1}, ונאמר שהפונקציה f היא הפיכה.

תרגיל.

הוכח כי f הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל.

הוכחה:

אם f הפיכה, אזי f\circ f^{-1} = id_B וגם f^{-1}\circ f = id_A. מכיוון שהזהות הינה חח"ע ועל, נובע ש-f חח"ע ועל לפי המשפט הקודם.

אם f חח"ע ועל, אז נגדיר g:B\to A ע"י: עבור a\in A קיים (כי f על) יחיד (כי f חח"ע) b\in B כך ש f(a)=b . נגדיר g(b):=a. תרגיל: בדקו ש g ההופכית של f.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=תרגול_12_תשעז&oldid=72784