שינויים

'''הגדרה:''' יהיו <math>A,B </math> קבוצות וR ו-<math>R</math> יחס בינהן. אזי:*התחום של R הינו <math>\mathrm{dom}(R)=\{a\in A|\exists b\in B:,(a,b)\in R\}=\{(*,\;),(*,\;)\dots \}</math>*התמונה של R הינה <math>\mathrm{im}(R)=\{b\in B|\exists a\in A:,(a,b)\in R\}=\{(\;,*),(\; ,*)\dots \}</math>

'''הערה''': ישירות מהגדרה מתקיים כי <math>\mathrm{dom}(R)\subseteq A, Im\mathrm{im}(R)\subseteq B</math>.

'''דוגמאדוגמה:'''*<math>R=\{(1,a),(2,b),(3,a),(a,1)\}</math> אזי התחום הוא <math>\mathrm{dom}(R)=\{a,1,2,3\}</math> והתמונה הינה <math>\mathrm{im}(R)=\{1,a,b\}</math>.

*יחס <math>R </math> מ-<math>A </math> ל-<math>B </math> נקרא '''על''' אם <math>\forall b\in B \exists a\in A:(a,b)\in R</math> כלומר <math>\mathrm{im}(R)=B</math>.*יחס <math>R </math> מ-<math>A </math> ל-<math>B </math> נקרא '''מלא''' אם <math>\forall a\in A \exists b\in B:(a,b)\in R</math> כלומר <math>\mathrm{dom}(R)=A</math>*יחס <math>R </math> נקרא '''חד ערכי''' אם <math>[(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b)</math> כלומר אין איבר מ -<math>A </math> שמתאים ל-2 לשני איברים שונים מ -<math>B</math>.

(<math>A </math> נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה. ו -<math>B </math> נקרא הטווח של הפונקציה.)

פונקציה נקראת '''חד-חדערכית''' ערכי אם בנוסף היחס ההפוך הוא חד ערכי.

<math>f</math> חח"ע אמ"מ <math>f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2</math> אמ"מ <math>x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)</math>.

תהא <math>A </math> קבוצה. '''פונקציית הזהות''' היא פונקציה <math>f:A \to A</math> המקיימת <math>\forall a\in A: f(a)=a</math>. נהוג לסמנה: <math>id_A\mathrm{id}_A</math> . פונקציית הזהות היא חח"ע ועל.

למשלדוגמאות: *<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(p)=p^2</math> ( חח"ע ואינה על).*<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> ( לא מוגדר מוגדרת כי <math>f(1)=?</math>).

יהיו <math>A </math> ו-<math>B </math> קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכח הוכיחו שכל פונקציה מ-<math>A </math> ל-<math>B </math> הינה על אם"ם היא חח"ע.

נסמן <math>f:A\to B, A=\{a_1,\dots , a_n\},B=\{b_1,\dots , b_n\} </math> . כאשר כל האיברים ב -<math>A </math> שונים זה מזה וכנ"ל ל ב-<math>B</math>.

נניח <math>f </math> חח"ע אזי <math>|\{f(a_1),\dots , f(a_n)\}|=n</math> כיוון ש -<math>\{f(a_1),\dots , f(a_n)\}\subseteq B </math> ובשניהם יש אותו מספר איברים, מתקיים שיוון ולכן <math>f </math> על.

נניח <math>f </math> על. נניח בשלילה ש -<math>f </math> אינה חח"ע אזי <math>|\{f(a_1),\dots , f(a_n)\}|<n</math> (כי יש שני איברים שנשלחים לאותו מקום)ואז <math>f </math> אינה על -, שזו סתירה.

הערה: הדבר אינו נכון אם <math>A וB </math> ו-<math>B</math> קבוצות אינסופיות. (מצאו דוגמא)נסו למצוא דוגמה.

יהיו <math>f:A\to B, g:B\to C </math> שתי פונקציות אזי '''ההרכבה של <math>g</math> על <math>f</math>''' היא פונקציה <math>g \circ f:A\to C </math> המוגדרת על ידי הכלל <math>g \circ f(a)=g(f(a)) </math>.

הערה: אם מתיחסים מתייחסים לפונקציות כאל יחסים - מקבלים את ההגדרה של הרכבת יחסים.

*אם <math>g \circ f</math> חח"ע אזי <math>f </math> חח"ע.*אם <math>g \circ f</math> על אזי <math>g </math> על.*מסקנה: אם <math>g \circ f</math> חח"ע ועל אזי <math>f</math> חח"ע ו-<math>g</math> על.