שינויים
חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]].
==פונקציותהגדרות בסיסיות לפונקציות==
'''הגדרה:''' יהיו <math>A,B</math> קבוצות ו-<math>R</math> יחס בינהן. אזי:
*התחום של R הינו <math>\mathrm{dom}(R)=\{a\in A|\exists b\in B,(a,b)\in R\}=\{(*,\;),(*,\;)\dots \}</math>
הערה: הדבר אינו נכון אם <math>A</math> ו-<math>B</math> קבוצות אינסופיות. נסו למצוא דוגמה.
'''הגדרה:'''
*מסקנה: אם <math>g \circ f</math> חח"ע ועל אזי <math>f</math> חח"ע ו-<math>g</math> על.
# הרכבה היא קיבוצית. כלומר <math>f_3 \circ (f_2 \circ f_1) = (f_3 \circ f_2) \circ f_1 </math>.
# הרכבה '''אינה''' (בהכרח) חילופית כלומר לא מתקיים בהכרח כי <math>f_2 \circ f_1 = f_2 \circ f_1 </math>. למשל לפונקציות מעל הטבעיים <math>f(x) =x^2 , g(x) = x+1</math> אזי <math>f(g(2))=f(3)=9, g(f(2))=g(4)=5</math> ולכן <math>f\circ g \neq g \circ f</math>.
#לכל פונקציה <math>f</math> מתקיים <math>f\circ \mathrm{id} =f</math> וגם <math>\mathrm{id} \circ f =f</math>. שימו לב לתחומי ההגדרה והטווחים של הפונקציות שנדרשים כדי שהטענות האלו יהיו נכונות.
===פונקציות הפיכות===
'''הערההגדרה:''' לכל תהי <math>f</math> פונקציה <math>f:A\rightarrow B</math> מתקיים . פונקציה <math>g:B\rightarrow A</math> תקרא '''הפונקציה ההופכית ל-<math>f</math>''' אם <math>f\circ g = \mathrm{id} =f_B</math> וגם <math>g\circ f = \mathrm{id} \circ _A</math>. במקרה זה נסמן את <math>g</math> על ידי <math>f =^{-1}</math>, ונאמר שהפונקציה <math>f</math>. שימו לב לתחומי ההגדרה והטווחים של הפונקציות שנדרשים כדי שהטענות האלו יהיו נכונותהיא '''הפיכה'''.
====פתרון====
אם <math>f</math> הפיכה, אזי <math>f\circ f^{-1} = \mathrm{id}_B</math> וגם <math>f^{-1}\circ f = \mathrm{id}_A</math>. מכיוון שפונקציית הזהות הינה חח"ע ועל, נובע ש-<math>f</math> חח"ע ועל לפי משפט קודם.
אם <math>f</math> חח"ע ועל, אז נגדיר <math>g:B\to A</math> ע"י: עבור <math>a\in A </math> קיים (כי <math>f</math> על) <math>b\in B</math> יחיד (כי <math>f</math> חח"ע) כך ש-<math>f(a)=b</math> . נגדיר <math>g(b):=a</math>. תרגיל: בדקו כי <math>g</math> היא ההופכית של <math>f</math>.
