הבדלים בין גרסאות בדף "תרגול 12 תשעז"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
שורה 105: שורה 105:
  
 
אם <math>f</math> חח"ע ועל, אז נגדיר <math>g:B\to A</math> ע"י: עבור <math>a\in A </math> קיים (כי <math>f</math> על) <math>b\in B</math> יחיד (כי <math>f</math> חח"ע) כך ש-<math>f(a)=b</math> . נגדיר <math>g(b):=a</math>. תרגיל: בדקו כי <math>g</math> היא ההופכית של <math>f</math>.
 
אם <math>f</math> חח"ע ועל, אז נגדיר <math>g:B\to A</math> ע"י: עבור <math>a\in A </math> קיים (כי <math>f</math> על) <math>b\in B</math> יחיד (כי <math>f</math> חח"ע) כך ש-<math>f(a)=b</math> . נגדיר <math>g(b):=a</math>. תרגיל: בדקו כי <math>g</math> היא ההופכית של <math>f</math>.
 +
 +
===דוגמאות===
 +
# פונקציות <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> המוגדרות לפי:
 +
## <math>f(x)=x+1</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(x) = x-1 </math>.
 +
## <math>f(x)=x^3</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(x) = x^{1/3} </math>.
 +
## <math>f(x)=\sin (x)</math> אינה הפיכה כי איננה חח"ע למשל <math>\sin(0) =\sin(2\pi k)</math> לכל <math>k\in\mathbb{Z}</math>.
 +
# תהא <math>A</math> קבוצה. פונקציות <math>f:P(A)\to P(A)</math> המוגדרות לפי:
 +
## <math>f(B)= B^c</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(B) = B^c </math>.
 +
## תהא <math>C\subseteq A</math> תת קבוצה. <math>f(B)= B \triangle C</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(B) = B \triangle C </math>.
 +
# תהא <math>A</math> קבוצה. אזי אפשר (בעזרת חומר שראינו בתרגול על יחסי שקילות)
 +
להגדיר <math>f:\{R \; | \; R \text{ Equivalence relation }\}\to \{\text{Partitions of }A\}</math> ע"י <math>f(R)=A/R</math> והיא תהיה חח"ע ועל, וכבר ראינו את הפונקציה ההופכית לה.
 +
 +
===תרגיל ===
 +
יהיו <math>f_1,\dots f_k:A\to A</math> שכולן הפיכות\חח"ע\על. הוכיחו שההרכבה <math>f_k \circ \dots \circ f_1</math> הפיכה\חח"ע\על.
 +
 +
====פתרון====
 +
 +
למעשה אפשר לעשות אינדוקציה על המשפט מן ההרצאה.
 +
 +
חח"ע: נניח <math>(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> אזי מחח"ע של <math>f_k</math>
 +
נקבל כי <math>(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> באופן דומה נמשיך (או באינדוקציה) ונקבל <math>x_1=x_2</math>.
 +
 +
על: יהא <math>y\in A</math> כיוון ש-<math>f_k</math> על, קיים <math>a_k\in A</math> כך ש-<math>f_k(a_k)= y</math>
 +
באותו אופן קיים <math>a_{k-1}</math> כך ש <math>f_{k-1}(a_{k-1})=a_k</math> נמשיך באופן דומה (או באינקודציה)
 +
ונקבל <math>(f_k \circ \dots \circ f_1)(a_1)=(f_k \circ \dots \circ f_2)(a_2)=\\ \dots =f_k\circ f_{k-1} (a_{k-1}) = f_k(a_k)=y</math>
 +
 +
הפיכות: נובע מחח"ע יחד עם על.
 +
 +
===תרגיל ===
 +
הוכיחו כי אם <math>g\circ f \circ g =\mathrm{id}</math> אז <math>f</math> הפיכה.
 +
 +
הוכחה:
 +
 +
הרכבה של פונקציה חח"ע <math>(g\circ f) \circ g =\mathrm{id}</math> גורר שהפונקציה <math>g</math> הימנית חח"ע.
 +
 +
הרכבה של פונקציה על <math>g\circ (f \circ g) =\mathrm{id}</math> גורר שהפונקציה <math>g</math> השמאלית על.
 +
 +
קיבלנו ש-<math>g</math> חח"ע ועל, כלומר הפיכה. נכפול את הנתון ב-<math>g^{-1}</math> מימין ומשמאל ונקבל כי <math>f=g^{-1}\circ g^{-1}</math> ואז <math>f</math> הפיכה כהרכבה של פונקציות הפיכות.
 +
 +
===תרגיל===
 +
תהיינה <math>f,g:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}</math> פונקציות כך ש-<math>f(n)=g(3n-1)</math>.
 +
 +
הוכיחו שאם <math>f</math> על, אז <math>g</math> לא חח"ע.
 +
 +
====פתרון====
 +
נסמן <math>g(1)=k</math> כיון ש-<math>f</math> על אזי קיים <math>n\in \mathbb{N}</math> כך ש<math>f(n)=k</math>. מהנתון נקבל ש-<math>g(3n-1)=k</math>. כעת, כיון ש- <math>n\in \mathbb{N}</math> אזי ברור ש-<math>1\neq 3n-1</math>, ולכן אילו שני איברים שונים שנשלחים לאותו איבר. לכן <math>g</math> לא חח"ע.

גרסה מ־20:15, 29 בדצמבר 2017

חזרה לדף מערכי התרגול.

הגדרות בסיסיות לפונקציות

הגדרה: יהיו A,B קבוצות ו-R יחס בינהן. אזי:

  • התחום של R הינו \mathrm{dom}(R)=\{a\in A|\exists b\in B,(a,b)\in R\}=\{(*,\;),(*,\;)\dots \}
  • התמונה של R הינה \mathrm{im}(R)=\{b\in B|\exists a\in A,(a,b)\in R\}=\{(\;,*),(\; ,*)\dots \}

הערה: ישירות מהגדרה מתקיים כי \mathrm{dom}(R)\subseteq A, \mathrm{im}(R)\subseteq B.

דוגמה:

  • R=\{(1,a),(2,b),(3,a),(a,1)\} אזי התחום הוא \mathrm{dom}(R)=\{a,1,2,3\} והתמונה הינה \mathrm{im}(R)=\{1,a,b\}.

הגדרה:

  • יחס R מ-A ל-B נקרא על אם \forall b\in B \exists a\in A:(a,b)\in R כלומר \mathrm{im}(R)=B.
  • יחס R מ-A ל-B נקרא מלא אם \forall a\in A \exists b\in B:(a,b)\in R כלומר \mathrm{dom}(R)=A
  • יחס R נקרא חד ערכי אם [(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b) כלומר אין איבר מ-A שמתאים לשני איברים שונים מ-B.


הגדרה:

יחס חד ערכי ומלא נקרא פונקציה; נסמן במקרה זה (a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a). ובאופן כללי f:A\to B \;\; , a \mapsto f(a). (A נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה ו-B נקרא הטווח של הפונקציה.)

פונקציה נקראת חד-חד ערכית אם בנוסף היחס ההפוך הוא חד ערכי.

כלומר:

f חח"ע אמ"מ f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 אמ"מ x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2).


הגדרה:

תהא A קבוצה. פונקציית הזהות היא פונקציה f:A \to A המקיימת \forall a\in A: f(a)=a. נהוג לסמנה \mathrm{id}_A. פונקציית הזהות היא חח"ע ועל.

דוגמאות

באופן רשלני (וחסכוני), כאשר אנחנו מגדירים פונקציה לא תמיד נשתמש בכמת "לכל" לגבי איברי תחום ההגדרה.

  • f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z} כאשר f(p)=p^2 חח"ע ואינה על.
  • f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z} כאשר f(p)=p^2 אינה חח"ע ואינה על.
  • f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} כאשר f(x)=x-1 לא מוגדרת כי f(1)=?.
  • f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} כאשר f(x)=x-1 חח"ע ועל.
  • f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} \cup \{ 0\} כאשר f(x)=x-1 חח"ע ועל.
  • f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R} כאשר f(x)=x-1 חח"ע ואינה על.
  • תהא פונקציה f:A\to B אזי g:A\to \mathrm{im}(f) המוגדרת לכל a\in A לפי g(a)=f(a) היא על (במילים: פשוט חושבים על הטווח של g להיות התמונה של f).
  • תהא A\subseteq B אזי הפונקציה i : A\to B המוגדרת לכל a\in A לפי i(a)=a נקראת פונקציה ההכלה (אם A=B זו פונקצית הזהות). פונקצית ההכלה היא חח"ע.

תרגיל

נסמן ב-\mathbb{N}^{\mathbb{N}} את אוסף הפונקציות מהטבעיים לעצמם.

נתבונן בפונקציה f:\mathbb{N}^{\mathbb{N}} \rightarrow \mathbb{N} \times \mathbb{N} המוגדרת ע"י f(g)=(g(1),g(2)) האם היא חח"ע? האם היא על?

פתרון

הפונקציה לא חח"ע כי יש הרבה פונקציות שנותנות ל-1,2 (יחד!) את אותם ערכים.

היא כן על: לכל זוג סדור (n,m) הפונקציה ששולחת את 1 ל-n, ואת 2 ל-m, היא המקור (את שאר הטבעיים נשלח לאן שנרצה).

תרגיל

תהא A קבוצה. נגדיר פונקציה f:P(A)\rightarrow P(P(A)) ע"י: f(X)=\{ B\subseteq A|X\subseteq B\} האם היא חח"ע? על?

פתרון

חח"ע: כן. תהיינה X,Y\in P(A), X\neq Y אם X\subsetneq Y\lor (X\nsubseteq Y\land Y\nsubseteq X) אזי X\in f(X)\setminus f(Y). אחרת Y\in f(Y)\setminus f(X). כלומר f(X)\neq f(Y).

על: לא. נבחר A=\{1,\dots,7\}. למשל לקבוצה \{ \{ 1,2\}, \{ 3,4\} \}\in P(P(A)) אין מקור. אין תת קבוצה שהאוסף הזה הוא בדיוק אוסף הקבוצות המכילות אותה.

תרגיל

יהיו A ו-B קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכיחו שכל פונקציה מ-A ל-B הינה על אם"ם היא חח"ע.

הוכחה: נסמן f:A\to B, A=\{a_1,\dots, a_n\},B=\{b_1,\dots, b_n\} . כאשר כל האיברים ב-A שונים זה מזה וכנ"ל ב-B.

נניח f חח"ע אזי |\{f(a_1),\dots, f(a_n)\}|=n כיוון ש-\{f(a_1),\dots, f(a_n)\}\subseteq B ובשניהם יש אותו מספר איברים, מתקיים שיוון ולכן f על.

נניח f על. נניח בשלילה ש-f אינה חח"ע אזי |\{f(a_1),\dots, f(a_n)\}|<n (כי יש שני איברים שנשלחים לאותו מקום) ואז f אינה על, שזו סתירה.

הערה: הדבר אינו נכון אם A ו-B קבוצות אינסופיות. נסו למצוא דוגמה.

הרכבת פונקציות והפיכות

הגדרה: יהיו f:A\to B, g:B\to C שתי פונקציות אזי ההרכבה של g על f היא פונקציה g \circ f:A\to C המוגדרת על ידי הכלל g \circ f(a)=g(f(a)) .

הערה: אם מתייחסים לפונקציות כאל יחסים - מקבלים את ההגדרה של הרכבת יחסים.

משפט:

  • אם g \circ f חח"ע אזי f חח"ע.
  • אם g \circ f על אזי g על.
  • מסקנה: אם g \circ f חח"ע ועל אזי f חח"ע ו-g על.

תכונות של הרכבת פונקציות:

  1. הרכבה היא קיבוצית. כלומר f_3 \circ (f_2 \circ f_1) = (f_3 \circ f_2) \circ f_1 .
  2. הרכבה אינה (בהכרח) חילופית כלומר לא מתקיים בהכרח כי f_2 \circ f_1 = f_2 \circ f_1 . למשל לפונקציות מעל הטבעיים f(x) =x^2 , g(x) = x+1 אזי f(g(2))=f(3)=9, g(f(2))=g(4)=5 ולכן f\circ g \neq g \circ f.
  3. לכל פונקציה f מתקיים f\circ \mathrm{id} =f וגם \mathrm{id} \circ f =f. שימו לב לתחומי ההגדרה והטווחים של הפונקציות שנדרשים כדי שהטענות האלו יהיו נכונות.

פונקציות הפיכות

הגדרה: תהי f פונקציה f:A\rightarrow B. פונקציה g:B\rightarrow A תקרא הפונקציה ההופכית ל-f אם f\circ g = \mathrm{id}_B וגם g\circ f = \mathrm{id}_A. במקרה זה נסמן את g על ידי f^{-1}, ונאמר שהפונקציה f היא הפיכה.

שימו לב שאם f פונקציה הפיכה, אז גם f^{-1} היא פונקציה הפיכה, ומתקיים (f^{-1})^{-1}=f.

תרגיל

(לדלג, היה בהרצאה): הוכיחו כי פונקציה f הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל.

פתרון

אם f הפיכה, אזי f\circ f^{-1} = \mathrm{id}_B וגם f^{-1}\circ f = \mathrm{id}_A. מכיוון שפונקציית הזהות הינה חח"ע ועל, נובע ש-f חח"ע ועל לפי משפט קודם.

אם f חח"ע ועל, אז נגדיר g:B\to A ע"י: עבור a\in A קיים (כי f על) b\in B יחיד (כי f חח"ע) כך ש-f(a)=b . נגדיר g(b):=a. תרגיל: בדקו כי g היא ההופכית של f.

דוגמאות

  1. פונקציות f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} המוגדרות לפי:
    1. f(x)=x+1 הפיכה וההופכית היא f^{-1}(x) = x-1 .
    2. f(x)=x^3 הפיכה וההופכית היא f^{-1}(x) = x^{1/3} .
    3. f(x)=\sin (x) אינה הפיכה כי איננה חח"ע למשל \sin(0) =\sin(2\pi k) לכל k\in\mathbb{Z}.
  2. תהא A קבוצה. פונקציות f:P(A)\to P(A) המוגדרות לפי:
    1. f(B)= B^c הפיכה וההופכית היא f^{-1}(B) = B^c .
    2. תהא C\subseteq A תת קבוצה. f(B)= B \triangle C הפיכה וההופכית היא f^{-1}(B) = B \triangle C .
  3. תהא A קבוצה. אזי אפשר (בעזרת חומר שראינו בתרגול על יחסי שקילות)

להגדיר f:\{R \; | \; R \text{ Equivalence relation }\}\to \{\text{Partitions of }A\} ע"י f(R)=A/R והיא תהיה חח"ע ועל, וכבר ראינו את הפונקציה ההופכית לה.

תרגיל

יהיו f_1,\dots f_k:A\to A שכולן הפיכות\חח"ע\על. הוכיחו שההרכבה f_k \circ \dots \circ f_1 הפיכה\חח"ע\על.

פתרון

למעשה אפשר לעשות אינדוקציה על המשפט מן ההרצאה.

חח"ע: נניח (f_k \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_2) אזי מחח"ע של f_k נקבל כי (f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_2) באופן דומה נמשיך (או באינדוקציה) ונקבל x_1=x_2.

על: יהא y\in A כיוון ש-f_k על, קיים a_k\in A כך ש-f_k(a_k)= y באותו אופן קיים a_{k-1} כך ש f_{k-1}(a_{k-1})=a_k נמשיך באופן דומה (או באינקודציה) ונקבל עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): (f_k \circ \dots \circ f_1)(a_1)=(f_k \circ \dots \circ f_2)(a_2)=\\ \dots =f_k\circ f_{k-1} (a_{k-1}) = f_k(a_k)=y


הפיכות: נובע מחח"ע יחד עם על.

תרגיל

הוכיחו כי אם g\circ f \circ g =\mathrm{id} אז f הפיכה.

הוכחה:

הרכבה של פונקציה חח"ע (g\circ f) \circ g =\mathrm{id} גורר שהפונקציה g הימנית חח"ע.

הרכבה של פונקציה על g\circ (f \circ g) =\mathrm{id} גורר שהפונקציה g השמאלית על.

קיבלנו ש-g חח"ע ועל, כלומר הפיכה. נכפול את הנתון ב-g^{-1} מימין ומשמאל ונקבל כי f=g^{-1}\circ g^{-1} ואז f הפיכה כהרכבה של פונקציות הפיכות.

תרגיל

תהיינה f,g:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N} פונקציות כך ש-f(n)=g(3n-1).

הוכיחו שאם f על, אז g לא חח"ע.

פתרון

נסמן g(1)=k כיון ש-f על אזי קיים n\in \mathbb{N} כך שf(n)=k. מהנתון נקבל ש-g(3n-1)=k. כעת, כיון ש- n\in \mathbb{N} אזי ברור ש-1\neq 3n-1, ולכן אילו שני איברים שונים שנשלחים לאותו איבר. לכן g לא חח"ע.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=תרגול_12_תשעז&oldid=74196