שינויים
אם <math>f</math> חח"ע ועל, אז נגדיר <math>g:B\to A</math> ע"י: עבור <math>a\in A </math> קיים (כי <math>f</math> על) <math>b\in B</math> יחיד (כי <math>f</math> חח"ע) כך ש-<math>f(a)=b</math> . נגדיר <math>g(b):=a</math>. תרגיל: בדקו כי <math>g</math> היא ההופכית של <math>f</math>.
===דוגמאות===
# פונקציות <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> המוגדרות לפי:
## <math>f(x)=x+1</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(x) = x-1 </math>.
## <math>f(x)=x^3</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(x) = x^{1/3} </math>.
## <math>f(x)=\sin (x)</math> אינה הפיכה כי איננה חח"ע למשל <math>\sin(0) =\sin(2\pi k)</math> לכל <math>k\in\mathbb{Z}</math>.
# תהא <math>A</math> קבוצה. פונקציות <math>f:P(A)\to P(A)</math> המוגדרות לפי:
## <math>f(B)= B^c</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(B) = B^c </math>.
## תהא <math>C\subseteq A</math> תת קבוצה. <math>f(B)= B \triangle C</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(B) = B \triangle C </math>.
# תהא <math>A</math> קבוצה. אזי אפשר (בעזרת חומר שראינו בתרגול על יחסי שקילות)
להגדיר <math>f:\{R \; | \; R \text{ Equivalence relation }\}\to \{\text{Partitions of }A\}</math> ע"י <math>f(R)=A/R</math> והיא תהיה חח"ע ועל, וכבר ראינו את הפונקציה ההופכית לה.
===תרגיל ===
יהיו <math>f_1,\dots f_k:A\to A</math> שכולן הפיכות\חח"ע\על. הוכיחו שההרכבה <math>f_k \circ \dots \circ f_1</math> הפיכה\חח"ע\על.
====פתרון====
למעשה אפשר לעשות אינדוקציה על המשפט מן ההרצאה.
חח"ע: נניח <math>(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> אזי מחח"ע של <math>f_k</math>
נקבל כי <math>(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> באופן דומה נמשיך (או באינדוקציה) ונקבל <math>x_1=x_2</math>.
על: יהא <math>y\in A</math> כיוון ש-<math>f_k</math> על, קיים <math>a_k\in A</math> כך ש-<math>f_k(a_k)= y</math>
באותו אופן קיים <math>a_{k-1}</math> כך ש <math>f_{k-1}(a_{k-1})=a_k</math> נמשיך באופן דומה (או באינקודציה)
ונקבל <math>(f_k \circ \dots \circ f_1)(a_1)=(f_k \circ \dots \circ f_2)(a_2)=\\ \dots =f_k\circ f_{k-1} (a_{k-1}) = f_k(a_k)=y</math>
הפיכות: נובע מחח"ע יחד עם על.
===תרגיל ===
הוכיחו כי אם <math>g\circ f \circ g =\mathrm{id}</math> אז <math>f</math> הפיכה.
הוכחה:
הרכבה של פונקציה חח"ע <math>(g\circ f) \circ g =\mathrm{id}</math> גורר שהפונקציה <math>g</math> הימנית חח"ע.
הרכבה של פונקציה על <math>g\circ (f \circ g) =\mathrm{id}</math> גורר שהפונקציה <math>g</math> השמאלית על.
קיבלנו ש-<math>g</math> חח"ע ועל, כלומר הפיכה. נכפול את הנתון ב-<math>g^{-1}</math> מימין ומשמאל ונקבל כי <math>f=g^{-1}\circ g^{-1}</math> ואז <math>f</math> הפיכה כהרכבה של פונקציות הפיכות.
===תרגיל===
תהיינה <math>f,g:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}</math> פונקציות כך ש-<math>f(n)=g(3n-1)</math>.
הוכיחו שאם <math>f</math> על, אז <math>g</math> לא חח"ע.
====פתרון====
נסמן <math>g(1)=k</math> כיון ש-<math>f</math> על אזי קיים <math>n\in \mathbb{N}</math> כך ש<math>f(n)=k</math>. מהנתון נקבל ש-<math>g(3n-1)=k</math>. כעת, כיון ש- <math>n\in \mathbb{N}</math> אזי ברור ש-<math>1\neq 3n-1</math>, ולכן אילו שני איברים שונים שנשלחים לאותו איבר. לכן <math>g</math> לא חח"ע.
