הבדלים בין גרסאות בדף "תרגול 12 תשעז"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏תרגיל)
 
(21 גרסאות ביניים של 4 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
−
==פונקציות==
+
חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]].
−
'''הגדרה:''' יהיו A,B קבוצות וR יחס בינהן. אזי:
+
−
*התחום של R הינו <math>dom(R)=\{a\in A|\exists b\in B:(a,b)\in R\}=\{(*,\;),(*,\;)\dots \}</math>
+
−
*התמונה של R הינה <math>im(R)=\{b\in B|\exists a\in A:(a,b)\in R\}=\{(\;,*),(\; ,*)\dots \}</math>
+
  
−
'''הערה''': ישירות מהגדרה  מתקיים כי <math>dom(R)\subseteq A, Im(R)\subseteq B</math>
+
==הגדרות בסיסיות לפונקציות==
 +
'''הגדרה:''' יהיו <math>A,B</math> קבוצות ו-<math>R</math> יחס בינהן. אזי:
 +
*התחום של R הינו <math>\mathrm{dom}(R)=\{a\in A|\exists b\in B,(a,b)\in R\}=\{(*,\;),(*,\;)\dots \}</math>
 +
*התמונה של R הינה <math>\mathrm{im}(R)=\{b\in B|\exists a\in A,(a,b)\in R\}=\{(\;,*),(\; ,*)\dots \}</math>
  
−
'''דוגמא:'''
+
'''הערה''': ישירות מהגדרה  מתקיים כי <math>\mathrm{dom}(R)\subseteq A, \mathrm{im}(R)\subseteq B</math>.
−
*<math>R=\{(1,a),(2,b),(3,a),(a,1)\}</math> אזי התחום הוא <math>dom(R)=\{a,1,2,3\}</math> והתמונה הינה <math>im(R)=\{1,a,b\}</math>
+
 
 +
'''דוגמה:'''
 +
*<math>R=\{(1,a),(2,b),(3,a),(a,1)\}</math> אזי התחום הוא <math>\mathrm{dom}(R)=\{a,1,2,3\}</math> והתמונה הינה <math>\mathrm{im}(R)=\{1,a,b\}</math>.
  
 
'''הגדרה:'''  
 
'''הגדרה:'''  
−
*יחס R מ-A ל-B נקרא '''על''' אם <math>\forall b\in B \exists a\in A:(a,b)\in R</math> כלומר <math>im(R)=B</math>
+
*יחס <math>R</math> מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> נקרא '''שלם''' אם <math>\forall a\in A \exists b\in B:(a,b)\in R</math> כלומר <math>\mathrm{dom}(R)=A</math>
−
*יחס R מ-A ל-B נקרא '''מלא''' אם <math>\forall a\in A \exists b\in B:(a,b)\in R</math> כלומר <math>dom(R)=A</math>
+
*יחס <math>R</math> נקרא '''חד ערכי''' אם <math>[(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b)</math> כלומר אין איבר מ-<math>A</math> שמתאים לשני איברים שונים מ-<math>B</math>.
−
*יחס R נקרא '''חד ערכי''' אם <math>[(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b)</math> כלומר אין איבר מ A שמתאים ל-2 איברים שונים מ B.
+
  
  
שורה 19: שורה 20:
 
יחס חד ערכי ושלם נקרא '''פונקציה'''; נסמן במקרה זה <math>(a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a)</math>.  
 
יחס חד ערכי ושלם נקרא '''פונקציה'''; נסמן במקרה זה <math>(a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a)</math>.  
 
ובאופן כללי <math>f:A\to B \;\; , a \mapsto f(a)</math>.  
 
ובאופן כללי <math>f:A\to B \;\; , a \mapsto f(a)</math>.  
−
(A נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה. ו B נקרא הטווח של הפונקציה)
+
(<math>A</math> נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה ו-<math>B</math> נקרא הטווח של הפונקציה.)
  
−
פונקציה נקראת '''חד-חד''' ערכי אם בנוסף היחס ההפוך הוא חד ערכי.
+
פונקציה נקראת '''חד-חד ערכית''' אם בנוסף היחס ההפוך הוא חד ערכי.
  
 
כלומר:  
 
כלומר:  
  
−
<math>f</math> חח"ע אמ"מ <math>f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2</math> אמ"מ <math>x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)</math>
+
<math>f</math> חח"ע אמ"מ <math>f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2</math> אמ"מ <math>x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)</math>.
  
 +
פונקציה נקראת '''על''' אם <math>Im(f)=B</math>.
  
 
'''הגדרה:'''
 
'''הגדרה:'''
  
−
תהא A קבוצה. '''פונקציית הזהות''' היא פונקציה <math>f:A \to A</math> המקיימת <math>\forall a\in A: f(a)=a</math>. נהוג לסמנה: <math>id_A</math> פונקציית הזהות היא חח"ע ועל.
+
תהא <math>A</math> קבוצה. '''פונקציית הזהות''' היא פונקציה <math>f:A \to A</math> המקיימת <math>\forall a\in A: f(a)=a</math>. נהוג לסמנה <math>\mathrm{id}_A</math>. פונקציית הזהות היא חח"ע ועל.
  
−
למשל:
+
===דוגמאות===
−
*<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(p)=p^2</math> ( חח"ע ואינה על)
+
באופן רשלני (וחסכוני), כאשר אנחנו מגדירים פונקציה לא תמיד נשתמש בכמת "לכל" לגבי איברי תחום ההגדרה.
−
*<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> ( לא מוגדר כי <math>f(1)=?</math>)
+
*<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(p)=p^2</math> חח"ע ואינה על.
 +
*<math>f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(p)=p^2</math> אינה חח"ע ואינה על.
 +
*<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> לא מוגדרת כי <math>f(1)=?</math>.
 +
*<math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> חח"ע ועל.
 +
*<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} \cup \{ 0\}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> חח"ע ועל.
 +
*<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> חח"ע ואינה על.
 +
* תהא פונקציה <math>f:A\to B</math> אזי <math>g:A\to \mathrm{im}(f) </math> המוגדרת לכל <math>a\in A</math> לפי <math>g(a)=f(a)</math> היא על (במילים: פשוט חושבים על הטווח של <math>g</math> להיות התמונה של <math>f</math>).
 +
* תהא <math>A\subseteq B</math>  אזי הפונקציה <math>i : A\to B </math> המוגדרת לכל <math>a\in A</math> לפי  <math>i(a)=a</math> נקראת פונקציה ההכלה (אם <math>A=B</math> זו פונקצית הזהות). פונקצית ההכלה היא חח"ע.
  
 
===תרגיל===
 
===תרגיל===
−
יהיו A ו-B קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכח שכל פונקציה מ-A ל-B הינה על אם"ם היא חח"ע
+
תהיינה <math>f,g:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}</math> פונקציות כך ש-<math>f(n)=g(3n-1)</math>.
  
−
'''הוכחה:'''
+
הוכיחו שאם <math>f</math> על, אז <math>g</math> לא חח"ע.
−
נסמן <math>f:A\to B, A=\{a_1,\dots a_n\},B=\{b_1,\dots b_n\} </math> . כאשר כל האיברים ב A שונים זה מזה וכנ"ל ל B
+
  
−
נניח  <math>f </math> חח"ע אזי <math>|\{f(a_1),\dots f(a_n)\}|=n</math>  
+
====פתרון====
−
כיוון ש <math>\{f(a_1),\dots f(a_n)\}\subseteq B </math> ובשניהם יש אותו מספר איברים, מתקיים שיוון ולכן <math>f </math> על.
+
נסמן <math>g(1)=k</math> כיון ש-<math>f</math> על אזי קיים <math>n\in \mathbb{N}</math> כך ש<math>f(n)=k</math>. מהנתון נקבל ש-<math>g(3n-1)=k</math>. כעת, כיון ש- <math>n\in \mathbb{N}</math> אזי ברור ש-<math>1\neq 3n-1</math>, ולכן אילו שני איברים שונים שנשלחים לאותו איבר. לכן <math>g</math> לא חח"ע.
  
−
נניח  <math>f </math> על. נניח בשלילה ש <math>f </math> אינה חח"ע אזי <math>|\{f(a_1),\dots f(a_n)\}|<n</math> (כי יש שני איברים שנשלחים לאותו מקום)
+
===תרגיל===
−
ואז <math>f </math> אינה על -סתירה.  
+
נסמן ב-<math>\mathbb{N}^{\mathbb{N}}</math> את אוסף הפונקציות מהטבעיים לעצמם.
  
−
הערה: הדבר אינו נכון אם  A וB קבוצות אינסופיות. (מצאו דוגמא)
+
נתבונן בפונקציה <math>f:\mathbb{N}^{\mathbb{N}} \rightarrow \mathbb{N} \times \mathbb{N}</math> המוגדרת ע"י <math>f(g)=(g(1),g(2))</math> האם היא חח"ע? האם היא על?
  
−
===הרכבת פונקציות===
+
====פתרון====
 +
הפונקציה לא חח"ע כי יש הרבה פונקציות שנותנות ל-1,2 (יחד!) את אותם ערכים.
  
 +
היא כן על: לכל זוג סדור <math>(n,m)</math> הפונקציה ששולחת את 1 ל-<math>n</math>, ואת 2 ל-<math>m</math>, היא המקור (את שאר הטבעיים נשלח לאן שנרצה).
 +
 +
===תרגיל===
 +
תהיינה <math>A</math> ו-<math>B</math> קבוצות סופיות לא ריקות. הוכיחו: <math>|A|\geq |B|</math> אם ורק אם קיימת <math>f:A\to B</math> על.
 +
 +
====הוכחה====
 +
נסמן <math>f:A\to B, A=\{a_1,\dots, a_n\},B=\{b_1,\dots, b_m\} </math> . כאשר כל האיברים ב-<math>A</math> שונים זה מזה וכנ"ל ב-<math>B</math>.
 +
 +
===תרגיל===
 +
תהא <math>A</math> קבוצה. נגדיר פונקציה <math>f:P(A)\rightarrow P(P(A))</math> ע"י: <math>f(X)=\{ B\subseteq A|X\subseteq B\}</math> האם היא חח"ע? על?
 +
 +
====פתרון====
 +
חח"ע: כן. תהיינה <math>X,Y\in P(A), X\neq Y</math> אם <math>X\subsetneq  Y\lor (X\nsubseteq Y\land Y\nsubseteq X)</math> אזי <math>X\in f(X)\setminus f(Y)</math>. אחרת <math>Y\in f(Y)\setminus f(X)</math>. כלומר <math>f(X)\neq f(Y)</math>.
 +
 +
על: לא. נבחר <math>A=\{1,\dots,7\}</math>. למשל לקבוצה <math>\{ \{ 1,2\}, \{ 3,4\} \}\in P(P(A))</math> אין מקור. אין תת קבוצה שהאוסף הזה הוא בדיוק אוסף הקבוצות המכילות אותה.
 +
 +
==הרכבת פונקציות והפיכות==
  
 
'''הגדרה:'''
 
'''הגדרה:'''
−
יהיו  <math>f:A\to B, g:B\to C </math> שתי פונקציות אזי '''ההרכבה של <math>g</math> על <math>f</math>''' היא פונקציה  <math>g \circ f:A\to C </math> המוגדרת על ידי הכלל <math>g \circ f(a)=g(f(a)) </math>
+
יהיו  <math>f:A\to B, g:B\to C </math> שתי פונקציות אזי '''ההרכבה של <math>g</math> על <math>f</math>''' היא פונקציה  <math>g \circ f:A\to C </math> המוגדרת על ידי הכלל <math>g \circ f(a)=g(f(a)) </math>.
  
−
הערה: אם מתיחסים לפונקציות כאל יחסים - מקבלים את ההגדרה של הרכבת יחסים.
+
הערה: אם מתייחסים לפונקציות כאל יחסים - מקבלים את ההגדרה של הרכבת יחסים.
  
 
'''משפט:'''
 
'''משפט:'''
−
*אם <math>g \circ f</math> חח"ע אזי f חח"ע.
+
*אם <math>g \circ f</math> חח"ע אזי <math>f</math> חח"ע.
−
*אם <math>g \circ f</math> על אזי g על.
+
*אם <math>g \circ f</math> על אזי <math>g</math> על.
 +
*מסקנה: אם <math>g \circ f</math> חח"ע ועל אזי <math>f</math> חח"ע ו-<math>g</math> על.
 +
 
 +
תכונות של הרכבת פונקציות:
 +
# הרכבה היא קיבוצית. כלומר <math>f_3 \circ (f_2 \circ f_1) = (f_3 \circ f_2) \circ f_1 </math>.
 +
# הרכבה '''אינה''' (בהכרח) חילופית כלומר לא מתקיים בהכרח כי <math>f_2 \circ f_1 = f_2 \circ  f_1 </math>. למשל לפונקציות מעל הטבעיים <math>f(x) =x^2 , g(x) = x+1</math>  אזי <math>f(g(2))=f(3)=9, g(f(2))=g(4)=5</math> ולכן <math>f\circ g \neq g \circ f</math>.
 +
#לכל פונקציה <math>f</math> מתקיים <math>f\circ \mathrm{id} =f</math> וגם <math>\mathrm{id} \circ f =f</math>. שימו לב לתחומי ההגדרה והטווחים של הפונקציות שנדרשים כדי שהטענות האלו יהיו נכונות.
  
 
===פונקציות הפיכות===
 
===פונקציות הפיכות===
−
'''הערה:''' לכל פונקציה <math>f</math> מתקיים <math>f\circ id =f</math> וגם <math>id \circ f =f</math>
+
'''הגדרה:''' תהי <math>f</math> פונקציה <math>f:A\rightarrow B</math>. פונקציה <math>g:B\rightarrow A</math> תקרא '''הפונקציה ההופכית ל-<math>f</math>''' אם <math>f\circ g = \mathrm{id}_B</math> וגם <math>g\circ f = \mathrm{id}_A</math>. במקרה זה נסמן את <math>g</math> על ידי <math>f^{-1}</math>, ונאמר שהפונקציה <math>f</math> היא '''הפיכה'''.
  
−
'''הגדרה:''' תהי <math>f</math> פונקציה <math>f:A\rightarrow B</math>. פונקציה <math>g:B\rightarrow A</math> תיקרא '''הפונקציה ההופכית ל-<math>f</math>''' אם <math>f\circ g = id_B</math> וגם <math>g\circ f = id_A</math>. במקרה זה נסמן את <math>g</math> על ידי <math>f^{-1}</math>, ונאמר שהפונקציה <math>f</math> היא '''הפיכה'''.
+
שימו לב שאם <math>f</math> פונקציה הפיכה, אז גם <math>f^{-1}</math> היא פונקציה הפיכה, ומתקיים <math>(f^{-1})^{-1}=f</math>.
  
−
'''תרגיל.'''
+
===תרגיל===
 +
(לדלג, היה בהרצאה): הוכיחו כי פונקציה <math>f</math> הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל.
  
−
הוכח כי f הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל.
+
====פתרון====
 +
אם <math>f</math> הפיכה, אזי <math>f\circ f^{-1} = \mathrm{id}_B</math> וגם <math>f^{-1}\circ f = \mathrm{id}_A</math>. מכיוון שפונקציית הזהות הינה חח"ע ועל, נובע ש-<math>f</math> חח"ע ועל לפי משפט קודם.
  
−
'''הוכחה:'''
+
אם <math>f</math> חח"ע ועל, אז נגדיר <math>g:B\to A</math> ע"י: עבור <math>a\in A </math> קיים (כי <math>f</math> על) <math>b\in B</math> יחיד (כי <math>f</math> חח"ע) כך ש-<math>f(a)=b</math> . נגדיר <math>g(b):=a</math>. תרגיל: בדקו כי <math>g</math> היא ההופכית של <math>f</math>.
  
−
אם f הפיכה, אזי <math>f\circ f^{-1} = id_B</math> וגם <math>f^{-1}\circ f = id_A</math>. מכיוון שהזהות הינה חח"ע ועל, נובע ש-f חח"ע ועל לפי המשפט הקודם.
+
===דוגמאות===
 +
# פונקציות <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> המוגדרות לפי:
 +
## <math>f(x)=x+1</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(x) = x-1 </math>.
 +
## <math>f(x)=x^3</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(x) = x^{1/3} </math>.
 +
## <math>f(x)=\sin (x)</math> אינה הפיכה כי איננה חח"ע למשל <math>\sin(0) =\sin(2\pi k)</math> לכל <math>k\in\mathbb{Z}</math>.
 +
# תהא <math>A</math> קבוצה. פונקציות <math>f:P(A)\to P(A)</math> המוגדרות לפי:
 +
## <math>f(B)= B^c</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(B) = B^c </math>.
 +
## תהא <math>C\subseteq A</math> תת קבוצה. <math>f(B)= B \triangle C</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(B) = B \triangle C </math>.
 +
# תהא <math>A</math> קבוצה. אזי אפשר (בעזרת חומר שראינו בתרגול על יחסי שקילות)
 +
להגדיר <math>f:\{R \; | \; R \text{ Equivalence relation }\}\to \{\text{Partitions of }A\}</math> ע"י <math>f(R)=A/R</math> והיא תהיה חח"ע ועל, וכבר ראינו את הפונקציה ההופכית לה.
 +
 
 +
===תרגיל ===
 +
יהיו <math>f_1,\dots f_k:A\to A</math> שכולן הפיכות\חח"ע\על. הוכיחו שההרכבה <math>f_k \circ \dots \circ f_1</math> הפיכה\חח"ע\על.
 +
 
 +
====פתרון====
 +
 
 +
למעשה אפשר לעשות אינדוקציה על המשפט מן ההרצאה. עבור שתי פונקציות זה בהרצאה. נניח נכונות ל<math>k-1</math> ונוכיח ל<math>k</math>.
 +
 
 +
חח"ע: נניח <math>(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> אזי מחח"ע של <math>f_k</math>
 +
נקבל כי <math>(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> מהנחת האינדוקציה עבור <math>k-1</math>  פונקציות נקבל שההרכבה חח"ע ולכן <math>x_1=x_2</math>.
 +
 
 +
על: יהא <math>y\in A</math> כיוון ש-<math>f_k</math> על, קיים <math>a\in A</math> כך ש-<math>f_k(a) = y</math>.
 +
בנוסף, מהנחת האינדוקציה קיים <math>b\in A</math> כך ש <math>f_{k-1}\circ \dots \circ f_1(b)=a</math> ולכן נקבל
 +
<math>f_k\circ \dots \circ f_1(b) = f_k\circ (f_{k-1}\circ \dots \circ f_1)(b)=f_k(a)=y</math>. מש"ל.
 +
 
 +
הפיכות: נובע מחח"ע יחד עם על.
 +
 
 +
===תרגיל ===
 +
הוכיחו כי אם <math>g\circ f \circ g =\mathrm{id}</math> אז <math>f</math> הפיכה.
 +
 
 +
הוכחה:
 +
 
 +
הרכבה של פונקציה חח"ע <math>(g\circ f) \circ g =\mathrm{id}</math> גורר שהפונקציה <math>g</math> הימנית חח"ע.
 +
 
 +
הרכבה של פונקציה על <math>g\circ (f \circ g) =\mathrm{id}</math> גורר שהפונקציה <math>g</math> השמאלית על.
 +
 
 +
קיבלנו ש-<math>g</math> חח"ע ועל, כלומר הפיכה. נכפול את הנתון ב-<math>g^{-1}</math> מימין ומשמאל ונקבל כי <math>f=g^{-1}\circ g^{-1}</math> ואז <math>f</math> הפיכה כהרכבה של פונקציות הפיכות.
 +
 
 +
== פונקציות המכבדות יחס שקילות ==
 +
'''הגדרה.''' תהי <math>f:A\rightarrow B</math> פונקציה, ויהי <math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math>. אומרים כי '''<math>f</math> מוגדרת היטב על <math>A/R</math>''' אם <math>\forall a,b\in A:(a,b)\in R\Rightarrow f(a)=f(b)</math>
 +
 
 +
כלומר אם <math>a</math> שקול ל <math>b</math> אזי <math>f(a)=f(b)</math>.
 +
 
 +
למה זה טוב?
 +
כדי שנוכל להגדיר פונקציה על קבוצת המנה <math>g:A/R \to B </math> ע"י <math>[a]_R \mapsto f(a) </math>
 +
 
 +
טענה: <math>g</math> אכן פונקציה
 +
 
 +
הוכחה:
 +
 
 +
1. <math>g</math> שלמה - "לפי העיניים". כלל ההתאמה מנוסח כך שהיחס הוא שלם.
 +
 
 +
2. <math>g</math> חד ערכית- נניח <math>[a]=[b]</math>, צ"ל <math>g([a])=g([b])</math>. מהנתון ש <math>[a]=[b]</math> נובע ש <math>(a,b)\in R</math>,  ולכן, לפי הגדרת <math>f</math> כמוגדרת היטב על קבוצת המנה, מתקיים <math>f(a)=f(b)</math>, ולפי הגדרת <math>g</math> מתקיים <math>g([a])=f(a)=f(b)=g([b])</math>.
 +
 
 +
 
 +
'''דוגמא לחידוד'''
 +
 
 +
ראינו מעל <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>:
 +
 
 +
<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>.
 +
 
 +
ראינו (שקל לראות) שזהו יחס שקילות. ושמבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה היא אוסף המעגלים עם רדיוס חיובי והראשית.
 +
 
 +
נגדיר פונקציה <math>f:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}</math> ע"י: <math>f((a,b))=a\cdot b</math>. האם היא מוגדרת היטב על קבוצת המנה? לא! למשל <math>f((\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}))=\frac{1}{2}\neq 0=f((1,0))</math>, אך הם שקולים לפי היחס.
 +
 
 +
תנו דוגמא לפונקציה שכן מוגדרת היטב. למשל המרחק מהראשית (או כל פונקציה של זה).
 +
 
 +
==תמונות חלקיות==
 +
 
 +
'''הגדרה.''' תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, ויהיו תת קבוצות <math>A\subseteq X,B\subseteq Y</math>. אזי '''התמונה החלקית של A תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f[A]=\{f(a)|a\in A\}</math>, ו'''התמונה החלקית ההפוכה של B תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f^{-1}[B]=\{a\in X|f(a)\in B\}</math>.
 +
 
 +
שימו לב להבדל בין התמונה ההפוכה <math>f^{-1}[B]</math> לבין הפונקציה ההופכית <math>f^{-1}(y)</math>. התמונה ההפוכה איננה מניחה כי הפונקציה f הפיכה. הדרך להבחין בין פונקציה הפיכה לתמונה ההפוכה היא לבדוק האם בין הסוגריים נמצא ''איבר'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זהו <math>y \in Y</math>) או שנמצאת ''תת-קבוצה'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זו <math>B\subseteq Y</math>).
 +
 
 +
==== דוגמאות ====
 +
תהא <math>D:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> פונקצית דריכלה. אזי <math>D[\mathbb{Q}]=\{1\},D^{-1}[\{1\}]=\mathbb{Q}=D^{-1}[(0.5, 18)]</math>
 +
 
 +
תהא <math>f:X\to Y</math> פונקצית . אזי <math>f^{-1}[Y]=X</math>
 +
 
 +
תהא <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{Z}</math> פונקצית הערך השלם התחתון. אזי <math>f[(-0.5,3/4)]=\{-1,0\},f^{-1}[\{1\}]=[1,2)</math>
 +
 
 +
 
 +
===תרגיל===
 +
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math>  ותהי <math>A\subseteq X</math>. הוכח <math>A \subseteq f^{-1}[f[A]]</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> חח"ע
 +
 
 +
====פתרון====
 +
 
 +
יהא <math>a\in A</math> אזי <math>f(a)\in f[A]</math> ולכן <math>a\in f^{-1}[f[A]]</math>.  
 +
 
 +
נראה את ההכלה בכיוון השני אם <math>f</math> חח"ע:
 +
 
 +
יהא <math>x\in f^{-1}[f[A]]</math> לכן  <math>f(x) \in f[A]</math> לכן <math>\exists a\in A : f(x)=f(a)</math>. כיוון ש <math>f</math> חח"ע נובע כי <math>x=a\in A</math>
 +
 
 +
דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1,2\}\to \{1\}</math> (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר <math>A=\{2\}</math> ומתקיים <math> f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A</math>
 +
 
 +
===תרגיל===
  
−
אם f חח"ע ועל, אז נגדיר <math>g:B\to A</math> ע"י: עבור <math>a\in A </math> קיים (כי f על) יחיד (כי f חח"ע)
+
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, ותהיינה <math>A,B\subseteq X</math>. הוכיחו: <math>f[A\triangle B]=f[A]\triangle f[B]</math> <math>\iff</math> <math>f</math> חח"ע
−
<math>b\in B</math> כך ש <math>f(a)=b</math> . נגדיר <math>g(b):=a</math>. תרגיל: בדקו ש g ההופכית של f.
+

גרסה אחרונה מ־15:51, 14 בינואר 2020

חזרה לדף מערכי התרגול.

הגדרות בסיסיות לפונקציות

הגדרה: יהיו A,B קבוצות ו-R יחס בינהן. אזי:

  • התחום של R הינו \mathrm{dom}(R)=\{a\in A|\exists b\in B,(a,b)\in R\}=\{(*,\;),(*,\;)\dots \}
  • התמונה של R הינה \mathrm{im}(R)=\{b\in B|\exists a\in A,(a,b)\in R\}=\{(\;,*),(\; ,*)\dots \}

הערה: ישירות מהגדרה מתקיים כי \mathrm{dom}(R)\subseteq A, \mathrm{im}(R)\subseteq B.

דוגמה:

  • R=\{(1,a),(2,b),(3,a),(a,1)\} אזי התחום הוא \mathrm{dom}(R)=\{a,1,2,3\} והתמונה הינה \mathrm{im}(R)=\{1,a,b\}.

הגדרה:

  • יחס R מ-A ל-B נקרא שלם אם \forall a\in A \exists b\in B:(a,b)\in R כלומר \mathrm{dom}(R)=A
  • יחס R נקרא חד ערכי אם [(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b) כלומר אין איבר מ-A שמתאים לשני איברים שונים מ-B.


הגדרה:

יחס חד ערכי ושלם נקרא פונקציה; נסמן במקרה זה (a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a). ובאופן כללי f:A\to B \;\; , a \mapsto f(a). (A נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה ו-B נקרא הטווח של הפונקציה.)

פונקציה נקראת חד-חד ערכית אם בנוסף היחס ההפוך הוא חד ערכי.

כלומר:

f חח"ע אמ"מ f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 אמ"מ x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2).

פונקציה נקראת על אם Im(f)=B.

הגדרה:

תהא A קבוצה. פונקציית הזהות היא פונקציה f:A \to A המקיימת \forall a\in A: f(a)=a. נהוג לסמנה \mathrm{id}_A. פונקציית הזהות היא חח"ע ועל.

דוגמאות

באופן רשלני (וחסכוני), כאשר אנחנו מגדירים פונקציה לא תמיד נשתמש בכמת "לכל" לגבי איברי תחום ההגדרה.

  • f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z} כאשר f(p)=p^2 חח"ע ואינה על.
  • f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z} כאשר f(p)=p^2 אינה חח"ע ואינה על.
  • f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} כאשר f(x)=x-1 לא מוגדרת כי f(1)=?.
  • f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} כאשר f(x)=x-1 חח"ע ועל.
  • f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} \cup \{ 0\} כאשר f(x)=x-1 חח"ע ועל.
  • f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R} כאשר f(x)=x-1 חח"ע ואינה על.
  • תהא פונקציה f:A\to B אזי g:A\to \mathrm{im}(f) המוגדרת לכל a\in A לפי g(a)=f(a) היא על (במילים: פשוט חושבים על הטווח של g להיות התמונה של f).
  • תהא A\subseteq B אזי הפונקציה i : A\to B המוגדרת לכל a\in A לפי i(a)=a נקראת פונקציה ההכלה (אם A=B זו פונקצית הזהות). פונקצית ההכלה היא חח"ע.

תרגיל

תהיינה f,g:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N} פונקציות כך ש-f(n)=g(3n-1).

הוכיחו שאם f על, אז g לא חח"ע.

פתרון

נסמן g(1)=k כיון ש-f על אזי קיים n\in \mathbb{N} כך שf(n)=k. מהנתון נקבל ש-g(3n-1)=k. כעת, כיון ש- n\in \mathbb{N} אזי ברור ש-1\neq 3n-1, ולכן אילו שני איברים שונים שנשלחים לאותו איבר. לכן g לא חח"ע.

תרגיל

נסמן ב-\mathbb{N}^{\mathbb{N}} את אוסף הפונקציות מהטבעיים לעצמם.

נתבונן בפונקציה f:\mathbb{N}^{\mathbb{N}} \rightarrow \mathbb{N} \times \mathbb{N} המוגדרת ע"י f(g)=(g(1),g(2)) האם היא חח"ע? האם היא על?

פתרון

הפונקציה לא חח"ע כי יש הרבה פונקציות שנותנות ל-1,2 (יחד!) את אותם ערכים.

היא כן על: לכל זוג סדור (n,m) הפונקציה ששולחת את 1 ל-n, ואת 2 ל-m, היא המקור (את שאר הטבעיים נשלח לאן שנרצה).

תרגיל

תהיינה A ו-B קבוצות סופיות לא ריקות. הוכיחו: |A|\geq |B| אם ורק אם קיימת f:A\to B על.

הוכחה

נסמן f:A\to B, A=\{a_1,\dots, a_n\},B=\{b_1,\dots, b_m\} . כאשר כל האיברים ב-A שונים זה מזה וכנ"ל ב-B.

תרגיל

תהא A קבוצה. נגדיר פונקציה f:P(A)\rightarrow P(P(A)) ע"י: f(X)=\{ B\subseteq A|X\subseteq B\} האם היא חח"ע? על?

פתרון

חח"ע: כן. תהיינה X,Y\in P(A), X\neq Y אם X\subsetneq Y\lor (X\nsubseteq Y\land Y\nsubseteq X) אזי X\in f(X)\setminus f(Y). אחרת Y\in f(Y)\setminus f(X). כלומר f(X)\neq f(Y).

על: לא. נבחר A=\{1,\dots,7\}. למשל לקבוצה \{ \{ 1,2\}, \{ 3,4\} \}\in P(P(A)) אין מקור. אין תת קבוצה שהאוסף הזה הוא בדיוק אוסף הקבוצות המכילות אותה.

הרכבת פונקציות והפיכות

הגדרה: יהיו f:A\to B, g:B\to C שתי פונקציות אזי ההרכבה של g על f היא פונקציה g \circ f:A\to C המוגדרת על ידי הכלל g \circ f(a)=g(f(a)) .

הערה: אם מתייחסים לפונקציות כאל יחסים - מקבלים את ההגדרה של הרכבת יחסים.

משפט:

  • אם g \circ f חח"ע אזי f חח"ע.
  • אם g \circ f על אזי g על.
  • מסקנה: אם g \circ f חח"ע ועל אזי f חח"ע ו-g על.

תכונות של הרכבת פונקציות:

  1. הרכבה היא קיבוצית. כלומר f_3 \circ (f_2 \circ f_1) = (f_3 \circ f_2) \circ f_1 .
  2. הרכבה אינה (בהכרח) חילופית כלומר לא מתקיים בהכרח כי f_2 \circ f_1 = f_2 \circ f_1 . למשל לפונקציות מעל הטבעיים f(x) =x^2 , g(x) = x+1 אזי f(g(2))=f(3)=9, g(f(2))=g(4)=5 ולכן f\circ g \neq g \circ f.
  3. לכל פונקציה f מתקיים f\circ \mathrm{id} =f וגם \mathrm{id} \circ f =f. שימו לב לתחומי ההגדרה והטווחים של הפונקציות שנדרשים כדי שהטענות האלו יהיו נכונות.

פונקציות הפיכות

הגדרה: תהי f פונקציה f:A\rightarrow B. פונקציה g:B\rightarrow A תקרא הפונקציה ההופכית ל-f אם f\circ g = \mathrm{id}_B וגם g\circ f = \mathrm{id}_A. במקרה זה נסמן את g על ידי f^{-1}, ונאמר שהפונקציה f היא הפיכה.

שימו לב שאם f פונקציה הפיכה, אז גם f^{-1} היא פונקציה הפיכה, ומתקיים (f^{-1})^{-1}=f.

תרגיל

(לדלג, היה בהרצאה): הוכיחו כי פונקציה f הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל.

פתרון

אם f הפיכה, אזי f\circ f^{-1} = \mathrm{id}_B וגם f^{-1}\circ f = \mathrm{id}_A. מכיוון שפונקציית הזהות הינה חח"ע ועל, נובע ש-f חח"ע ועל לפי משפט קודם.

אם f חח"ע ועל, אז נגדיר g:B\to A ע"י: עבור a\in A קיים (כי f על) b\in B יחיד (כי f חח"ע) כך ש-f(a)=b . נגדיר g(b):=a. תרגיל: בדקו כי g היא ההופכית של f.

דוגמאות

  1. פונקציות f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} המוגדרות לפי:
    1. f(x)=x+1 הפיכה וההופכית היא f^{-1}(x) = x-1 .
    2. f(x)=x^3 הפיכה וההופכית היא f^{-1}(x) = x^{1/3} .
    3. f(x)=\sin (x) אינה הפיכה כי איננה חח"ע למשל \sin(0) =\sin(2\pi k) לכל k\in\mathbb{Z}.
  2. תהא A קבוצה. פונקציות f:P(A)\to P(A) המוגדרות לפי:
    1. f(B)= B^c הפיכה וההופכית היא f^{-1}(B) = B^c .
    2. תהא C\subseteq A תת קבוצה. f(B)= B \triangle C הפיכה וההופכית היא f^{-1}(B) = B \triangle C .
  3. תהא A קבוצה. אזי אפשר (בעזרת חומר שראינו בתרגול על יחסי שקילות)

להגדיר f:\{R \; | \; R \text{ Equivalence relation }\}\to \{\text{Partitions of }A\} ע"י f(R)=A/R והיא תהיה חח"ע ועל, וכבר ראינו את הפונקציה ההופכית לה.

תרגיל

יהיו f_1,\dots f_k:A\to A שכולן הפיכות\חח"ע\על. הוכיחו שההרכבה f_k \circ \dots \circ f_1 הפיכה\חח"ע\על.

פתרון

למעשה אפשר לעשות אינדוקציה על המשפט מן ההרצאה. עבור שתי פונקציות זה בהרצאה. נניח נכונות לk-1 ונוכיח לk.

חח"ע: נניח (f_k \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_2) אזי מחח"ע של f_k נקבל כי (f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_2) מהנחת האינדוקציה עבור k-1 פונקציות נקבל שההרכבה חח"ע ולכן x_1=x_2.

על: יהא y\in A כיוון ש-f_k על, קיים a\in A כך ש-f_k(a) = y. בנוסף, מהנחת האינדוקציה קיים b\in A כך ש f_{k-1}\circ \dots \circ f_1(b)=a ולכן נקבל f_k\circ \dots \circ f_1(b) = f_k\circ (f_{k-1}\circ \dots \circ f_1)(b)=f_k(a)=y. מש"ל.

הפיכות: נובע מחח"ע יחד עם על.

תרגיל

הוכיחו כי אם g\circ f \circ g =\mathrm{id} אז f הפיכה.

הוכחה:

הרכבה של פונקציה חח"ע (g\circ f) \circ g =\mathrm{id} גורר שהפונקציה g הימנית חח"ע.

הרכבה של פונקציה על g\circ (f \circ g) =\mathrm{id} גורר שהפונקציה g השמאלית על.

קיבלנו ש-g חח"ע ועל, כלומר הפיכה. נכפול את הנתון ב-g^{-1} מימין ומשמאל ונקבל כי f=g^{-1}\circ g^{-1} ואז f הפיכה כהרכבה של פונקציות הפיכות.

פונקציות המכבדות יחס שקילות

הגדרה. תהי f:A\rightarrow B פונקציה, ויהי R יחס שקילות על A. אומרים כי f מוגדרת היטב על A/R אם \forall a,b\in A:(a,b)\in R\Rightarrow f(a)=f(b)

כלומר אם a שקול ל b אזי f(a)=f(b).

למה זה טוב? כדי שנוכל להגדיר פונקציה על קבוצת המנה g:A/R \to B ע"י [a]_R \mapsto f(a)

טענה: g אכן פונקציה

הוכחה:

1. g שלמה - "לפי העיניים". כלל ההתאמה מנוסח כך שהיחס הוא שלם.

2. g חד ערכית- נניח [a]=[b], צ"ל g([a])=g([b]). מהנתון ש [a]=[b] נובע ש (a,b)\in R, ולכן, לפי הגדרת f כמוגדרת היטב על קבוצת המנה, מתקיים f(a)=f(b), ולפי הגדרת g מתקיים g([a])=f(a)=f(b)=g([b]).


דוגמא לחידוד

ראינו מעל \mathbb{R}\times \mathbb{R} יחס \sim לפי זה שלכל (x_1,y_1),(x_2,y_2):

(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2.

ראינו (שקל לראות) שזהו יחס שקילות. ושמבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה היא אוסף המעגלים עם רדיוס חיובי והראשית.

נגדיר פונקציה f:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} ע"י: f((a,b))=a\cdot b. האם היא מוגדרת היטב על קבוצת המנה? לא! למשל f((\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}))=\frac{1}{2}\neq 0=f((1,0)), אך הם שקולים לפי היחס.

תנו דוגמא לפונקציה שכן מוגדרת היטב. למשל המרחק מהראשית (או כל פונקציה של זה).

תמונות חלקיות

הגדרה. תהי f:X\rightarrow Y פונקציה, ויהיו תת קבוצות A\subseteq X,B\subseteq Y. אזי התמונה החלקית של A תחת f היא התת-קבוצה f[A]=\{f(a)|a\in A\}, והתמונה החלקית ההפוכה של B תחת f היא התת-קבוצה f^{-1}[B]=\{a\in X|f(a)\in B\}.

שימו לב להבדל בין התמונה ההפוכה f^{-1}[B] לבין הפונקציה ההופכית f^{-1}(y). התמונה ההפוכה איננה מניחה כי הפונקציה f הפיכה. הדרך להבחין בין פונקציה הפיכה לתמונה ההפוכה היא לבדוק האם בין הסוגריים נמצא איבר של התמונה (בדוגמאות לעיל זהו y \in Y) או שנמצאת תת-קבוצה של התמונה (בדוגמאות לעיל זו B\subseteq Y).

דוגמאות

תהא D:\mathbb{R}\to \mathbb{R} פונקצית דריכלה. אזי D[\mathbb{Q}]=\{1\},D^{-1}[\{1\}]=\mathbb{Q}=D^{-1}[(0.5, 18)]

תהא f:X\to Y פונקצית . אזי f^{-1}[Y]=X

תהא f:\mathbb{R}\to \mathbb{Z} פונקצית הערך השלם התחתון. אזי f[(-0.5,3/4)]=\{-1,0\},f^{-1}[\{1\}]=[1,2)


תרגיל

תהי f:X\rightarrow Y ותהי A\subseteq X. הוכח A \subseteq f^{-1}[f[A]]. וקיים שיוויון אם f חח"ע

פתרון

יהא a\in A אזי f(a)\in f[A] ולכן a\in f^{-1}[f[A]].

נראה את ההכלה בכיוון השני אם f חח"ע:

יהא x\in f^{-1}[f[A]] לכן f(x) \in f[A] לכן \exists a\in A : f(x)=f(a). כיוון ש f חח"ע נובע כי x=a\in A

דוגמא שלא מתקיים שיוויון f:\{1,2\}\to \{1\} (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר A=\{2\} ומתקיים f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A

תרגיל

תהי f:X\rightarrow Y פונקציה, ותהיינה A,B\subseteq X. הוכיחו: f[A\triangle B]=f[A]\triangle f[B] \iff f חח"ע

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=תרגול_12_תשעז&oldid=83372