חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]].
==פונקציותהגדרות בסיסיות לפונקציות=='''הגדרה:''' יהיו <math>A,B </math> קבוצות וR ו-<math>R</math> יחס בינהן. אזי:*התחום של R הינו <math>\mathrm{dom}(R)=\{a\in A|\exists b\in B:,(a,b)\in R\}=\{(*,\;),(*,\;)\dots \}</math>*התמונה של R הינה <math>\mathrm{im}(R)=\{b\in B|\exists a\in A:,(a,b)\in R\}=\{(\;,*),(\; ,*)\dots \}</math>
'''הערה''': ישירות מהגדרה מתקיים כי <math>\mathrm{dom}(R)\subseteq A, Im\mathrm{im}(R)\subseteq B</math>.
'''דוגמאדוגמה:'''*<math>R=\{(1,a),(2,b),(3,a),(a,1)\}</math> אזי התחום הוא <math>\mathrm{dom}(R)=\{a,1,2,3\}</math> והתמונה הינה <math>\mathrm{im}(R)=\{1,a,b\}</math>.
'''הגדרה:'''
*יחס <math>R </math> מ-A ל-B נקרא '''על''' אם <math>\forall b\in B \exists a\in A:(a,b)\in R</math> כלומר ל-<math>im(R)=B</math>*יחס R מ-A ל-B נקרא '''מלאשלם''' אם <math>\forall a\in A \exists b\in B:(a,b)\in R</math> כלומר <math>\mathrm{dom}(R)=A</math>*יחס <math>R </math> נקרא '''חד ערכי''' אם <math>[(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b)</math> כלומר אין איבר מ -<math>A </math> שמתאים ל-2 לשני איברים שונים מ -<math>B</math>.
'''הגדרה:'''
יחס חד ערכי ומלא ושלם נקרא '''פונקציה'''; נסמן במקרה זה <math>(a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a)</math>.
ובאופן כללי <math>f:A\to B \;\; , a \mapsto f(a)</math>.
(<math>A </math> נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה. ו -<math>B </math> נקרא הטווח של הפונקציה.)
פונקציה נקראת '''חד-חדערכית''' ערכי אם בנוסף היחס ההפוך הוא חד ערכי.
כלומר:
<math>f</math> חח"ע אמ"מ <math>f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2</math> אמ"מ <math>x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)</math>.
פונקציה נקראת '''על''' אם <math>Im(f)=B</math>.
'''הגדרה:'''
תהא <math>A </math> קבוצה. '''פונקציית הזהות''' היא פונקציה <math>f:A \to A</math> המקיימת <math>\forall a\in A: f(a)=a</math>. נהוג לסמנה: <math>id_A\mathrm{id}_A</math> . פונקציית הזהות היא חח"ע ועל.
למשל: ===דוגמאות===באופן רשלני (וחסכוני), כאשר אנחנו מגדירים פונקציה לא תמיד נשתמש בכמת "לכל" לגבי איברי תחום ההגדרה.*<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(p)=p^2</math> ( חח"ע ואינה על.*<math>f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(p)=p^2</math> אינה חח"ע ואינה על.*<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> ( לא מוגדר מוגדרת כי <math>f(1)=?</math>.*<math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> חח"ע ועל.*<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} \cup \{ 0\}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> חח"ע ועל.*<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> חח"ע ואינה על.* תהא פונקציה <math>f:A\to B</math> אזי <math>g:A\to \mathrm{im}(f) </math> המוגדרת לכל <math>a\in A</math> לפי <math>g(a)=f(a)</math> היא על (במילים: פשוט חושבים על הטווח של <math>g</math> להיות התמונה של <math>f</math>).* תהא <math>A\subseteq B</math> אזי הפונקציה <math>i : A\to B </math> המוגדרת לכל <math>a\in A</math> לפי <math>i(a)=a</math> נקראת פונקציה ההכלה (אם <math>A=B</math> זו פונקצית הזהות). פונקצית ההכלה היא חח"ע.
===תרגיל===
יהיו A ותהיינה <math>f,g:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}</math> פונקציות כך ש-B קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה<math>f(n)=g(3n-1)</math>. הוכח שכל פונקציה מ-A ל-B הינה על אם"ם היא חח"ע
'''הוכחה:'''נסמן הוכיחו שאם <math>f:A\to B, A=\{a_1</math> על,\dots a_n\},B=\{b_1,\dots b_n\} אז <math>g</math> . כאשר כל האיברים ב A שונים זה מזה וכנלא חח"ל ל Bע.
נניח ====פתרון====נסמן <math>g(1)=k</math> כיון ש-<math>f </math> חח"ע על אזי קיים <math>|n\in \mathbb{N}</math> כך ש<math>f(a_1n),\dots f(a_n)\}|=nk</math> כיוון . מהנתון נקבל ש -<math>\{fg(a_13n-1)=k</math>. כעת,כיון ש- <math>n\dots f(a_n)in \mathbb{N}</math> אזי ברור ש-<math>1\subseteq B neq 3n-1</math> ובשניהם יש אותו מספר איברים, מתקיים שיוון ולכן אילו שני איברים שונים שנשלחים לאותו איבר. לכן <math>f g</math> עללא חח"ע.
נניח ===תרגיל===נסמן ב-<math>f </math> על. נניח בשלילה ש <math>f </math> אינה חח"ע אזי <math>|\mathbb{N}^{f(a_1),\dots f(a_n)\mathbb{N}}|<n</math> (כי יש שני איברים שנשלחים לאותו מקום)ואז <math>f </math> אינה על -סתירהאת אוסף הפונקציות מהטבעיים לעצמם.
הערהנתבונן בפונקציה <math>f: הדבר אינו נכון אם A וB קבוצות אינסופיות. \mathbb{N}^{\mathbb{N}} \rightarrow \mathbb{N} \times \mathbb{N}</math> המוגדרת ע"י <math>f(מצאו דוגמאg)=(g(1),g(2))</math> האם היא חח"ע? האם היא על?
===הרכבת פונקציות=פתרון====הפונקציה לא חח"ע כי יש הרבה פונקציות שנותנות ל-1,2 (יחד!) את אותם ערכים.
היא כן על: לכל זוג סדור <math>(n,m)</math> הפונקציה ששולחת את 1 ל-<math>n</math>, ואת 2 ל-<math>m</math>, היא המקור (את שאר הטבעיים נשלח לאן שנרצה).
===תרגיל===
תהיינה <math>A</math> ו-<math>B</math> קבוצות סופיות לא ריקות. הוכיחו: <math>|A|\geq |B|</math> אם ורק אם קיימת <math>f:A\to B</math> על.
====הוכחה====
נסמן <math>f:A\to B, A=\{a_1,\dots, a_n\},B=\{b_1,\dots, b_m\} </math> . כאשר כל האיברים ב-<math>A</math> שונים זה מזה וכנ"ל ב-<math>B</math>.
===תרגיל===
תהא <math>A</math> קבוצה. נגדיר פונקציה <math>f:P(A)\rightarrow P(P(A))</math> ע"י: <math>f(X)=\{ B\subseteq A|X\subseteq B\}</math> האם היא חח"ע? על?
====פתרון====
חח"ע: כן. תהיינה <math>X,Y\in P(A), X\neq Y</math> אם <math>X\subsetneq Y\lor (X\nsubseteq Y\land Y\nsubseteq X)</math> אזי <math>X\in f(X)\setminus f(Y)</math>. אחרת <math>Y\in f(Y)\setminus f(X)</math>. כלומר <math>f(X)\neq f(Y)</math>.
על: לא. נבחר <math>A=\{1,\dots,7\}</math>. למשל לקבוצה <math>\{ \{ 1,2\}, \{ 3,4\} \}\in P(P(A))</math> אין מקור. אין תת קבוצה שהאוסף הזה הוא בדיוק אוסף הקבוצות המכילות אותה.
==הרכבת פונקציות והפיכות==
'''הגדרה:'''
יהיו <math>f:A\to B, g:B\to C </math> שתי פונקציות אזי '''ההרכבה של <math>g</math> על <math>f</math>''' היא פונקציה <math>g \circ f:A\to C </math> המוגדרת על ידי הכלל <math>g \circ f(a)=g(f(a)) </math>.
הערה: אם מתיחסים מתייחסים לפונקציות כאל יחסים - מקבלים את ההגדרה של הרכבת יחסים.
'''משפט:'''
*אם <math>g \circ f</math> חח"ע אזי <math>f </math> חח"ע.*אם <math>g \circ f</math> על אזי <math>g </math> על.*מסקנה: אם <math>g \circ f</math> חח"ע ועל אזי <math>f</math> חח"ע ו-<math>g</math> על. תכונות של הרכבת פונקציות:# הרכבה היא קיבוצית. כלומר <math>f_3 \circ (f_2 \circ f_1) = (f_3 \circ f_2) \circ f_1 </math>.# הרכבה '''אינה''' (בהכרח) חילופית כלומר לא מתקיים בהכרח כי <math>f_2 \circ f_1 = f_2 \circ f_1 </math>. למשל לפונקציות מעל הטבעיים <math>f(x) =x^2 , g(x) = x+1</math> אזי <math>f(g(2))=f(3)=9, g(f(2))=g(4)=5</math> ולכן <math>f\circ g \neq g \circ f</math>.#לכל פונקציה <math>f</math> מתקיים <math>f\circ \mathrm{id} =f</math> וגם <math>\mathrm{id} \circ f =f</math>. שימו לב לתחומי ההגדרה והטווחים של הפונקציות שנדרשים כדי שהטענות האלו יהיו נכונות.
===פונקציות הפיכות===
'''הערההגדרה:''' לכל תהי <math>f</math> פונקציה <math>f:A\rightarrow B</math> מתקיים . פונקציה <math>g:B\rightarrow A</math> תקרא '''הפונקציה ההופכית ל-<math>f</math>''' אם <math>f\circ g = \mathrm{id} =f_B</math> וגם <math>g\circ f = \mathrm{id} \circ _A</math>. במקרה זה נסמן את <math>g</math> על ידי <math>f =^{-1}</math>, ונאמר שהפונקציה <math>f</math>היא '''הפיכה'''.
'''הגדרה:''' תהי שימו לב שאם <math>f</math> פונקציה הפיכה, אז גם <math>f:A\rightarrow B</math>. פונקציה <math>g:B\rightarrow A</math> תיקרא '''הפונקציה ההופכית ל^{-<math>f</math>''' אם <math>f\circ g = \mathrm{id1}_B</math> וגם היא פונקציה הפיכה, ומתקיים <math>g\circ (f = \mathrm^{id-1}_A</math>. במקרה זה נסמן את <math>g</math> על ידי <math>f)^{-1}</math>, ונאמר שהפונקציה <math>=f</math> היא '''הפיכה'''.
'''===תרגיל''' ===(לדלג, היה בהרצאה): הוכיחו כי פונקציה <math>f</math> הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל. '''הוכחה:'''
====פתרון====
אם <math>f</math> הפיכה, אזי <math>f\circ f^{-1} = \mathrm{id}_B</math> וגם <math>f^{-1}\circ f = \mathrm{id}_A</math>. מכיוון שפונקציית הזהות הינה חח"ע ועל, נובע ש-<math>f</math> חח"ע ועל לפי משפט קודם.
אם <math>f</math> חח"ע ועל, אז נגדיר <math>g:B\to A</math> ע"י: עבור <math>a\in A </math> קיים (כי <math>f</math> על) <math>b\in B</math> יחיד (כי <math>f</math> חח"ע) כך ש-<math>f(a)=b</math> . נגדיר <math>g(b):=a</math>. תרגיל: בדקו כי <math>g</math> היא ההופכית של <math>f</math>.
===דוגמאות===
# פונקציות <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> המוגדרות לפי:
## <math>f(x)=x+1</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(x) = x-1 </math>.
## <math>f(x)=x^3</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(x) = x^{1/3} </math>.
## <math>f(x)=\sin (x)</math> אינה הפיכה כי איננה חח"ע למשל <math>\sin(0) =\sin(2\pi k)</math> לכל <math>k\in\mathbb{Z}</math>.
# תהא <math>A</math> קבוצה. פונקציות <math>f:P(A)\to P(A)</math> המוגדרות לפי:
## <math>f(B)= B^c</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(B) = B^c </math>.
## תהא <math>C\subseteq A</math> תת קבוצה. <math>f(B)= B \triangle C</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(B) = B \triangle C </math>.
# תהא <math>A</math> קבוצה. אזי אפשר (בעזרת חומר שראינו בתרגול על יחסי שקילות)
להגדיר <math>f:\{R \; | \; R \text{ Equivalence relation }\}\to \{\text{Partitions of }A\}</math> ע"י <math>f(R)=A/R</math> והיא תהיה חח"ע ועל, וכבר ראינו את הפונקציה ההופכית לה.
===תרגיל ===
יהיו <math>f_1,\dots f_k:A\to A</math> שכולן הפיכות\חח"ע\על. הוכיחו שההרכבה <math>f_k \circ \dots \circ f_1</math> הפיכה\חח"ע\על.
====פתרון====
למעשה אפשר לעשות אינדוקציה על המשפט מן ההרצאה. עבור שתי פונקציות זה בהרצאה. נניח נכונות ל<math>k-1</math> ונוכיח ל<math>k</math>.
חח"ע: נניח <math>(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> אזי מחח"ע של <math>f_k</math>
נקבל כי <math>(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> מהנחת האינדוקציה עבור <math>k-1</math> פונקציות נקבל שההרכבה חח"ע ולכן <math>x_1=x_2</math>.
על: יהא <math>y\in A</math> כיוון ש-<math>f_k</math> על, קיים <math>a\in A</math> כך ש-<math>f_k(a) = y</math>.
בנוסף, מהנחת האינדוקציה קיים <math>b\in A</math> כך ש <math>f_{k-1}\circ \dots \circ f_1(b)=a</math> ולכן נקבל
<math>f_k\circ \dots \circ f_1(b) = f_k\circ (f_{k-1}\circ \dots \circ f_1)(b)=f_k(a)=y</math>. מש"ל.
הפיכות: נובע מחח"ע יחד עם על.
===תרגיל ===
הוכיחו כי אם <math>g\circ f \circ g =\mathrm{id}</math> אז <math>f</math> הפיכה.
הוכחה:
הרכבה של פונקציה חח"ע <math>(g\circ f) \circ g =\mathrm{id}</math> גורר שהפונקציה <math>g</math> הימנית חח"ע.
הרכבה של פונקציה על <math>g\circ (f \circ g) =\mathrm{id}</math> גורר שהפונקציה <math>g</math> השמאלית על.
קיבלנו ש-<math>g</math> חח"ע ועל, כלומר הפיכה. נכפול את הנתון ב-<math>g^{-1}</math> מימין ומשמאל ונקבל כי <math>f=g^{-1}\circ g^{-1}</math> ואז <math>f</math> הפיכה כהרכבה של פונקציות הפיכות.
== פונקציות המכבדות יחס שקילות ==
'''הגדרה.''' תהי <math>f:A\rightarrow B</math> פונקציה, ויהי <math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math>. אומרים כי '''<math>f</math> מוגדרת היטב על <math>A/R</math>''' אם <math>\forall a,b\in A:(a,b)\in R\Rightarrow f(a)=f(b)</math>
כלומר אם <math>a</math> שקול ל <math>b</math> אזי <math>f(a)=f(b)</math>.
למה זה טוב?
כדי שנוכל להגדיר פונקציה על קבוצת המנה <math>g:A/R \to B </math> ע"י <math>[a]_R \mapsto f(a) </math>
טענה: <math>g</math> אכן פונקציה
הוכחה:
1. <math>g</math> שלמה - "לפי העיניים". כלל ההתאמה מנוסח כך שהיחס הוא שלם.
2. <math>g</math> חד ערכית- נניח <math>[a]=[b]</math>, צ"ל <math>g([a])=g([b])</math>. מהנתון ש <math>[a]=[b]</math> נובע ש <math>(a,b)\in R</math>, ולכן, לפי הגדרת <math>f</math> כמוגדרת היטב על קבוצת המנה, מתקיים <math>f(a)=f(b)</math>, ולפי הגדרת <math>g</math> מתקיים <math>g([a])=f(a)=f(b)=g([b])</math>.
'''דוגמא לחידוד'''
ראינו מעל <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>:
<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>.
ראינו (שקל לראות) שזהו יחס שקילות. ושמבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה היא אוסף המעגלים עם רדיוס חיובי והראשית.
נגדיר פונקציה <math>f:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}</math> ע"י: <math>f((a,b))=a\cdot b</math>. האם היא מוגדרת היטב על קבוצת המנה? לא! למשל <math>f((\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}))=\frac{1}{2}\neq 0=f((1,0))</math>, אך הם שקולים לפי היחס.
תנו דוגמא לפונקציה שכן מוגדרת היטב. למשל המרחק מהראשית (או כל פונקציה של זה).
==תמונות חלקיות==
'''הגדרה.''' תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, ויהיו תת קבוצות <math>A\subseteq X,B\subseteq Y</math>. אזי '''התמונה החלקית של A תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f[A]=\{f(a)|a\in A\}</math>, ו'''התמונה החלקית ההפוכה של B תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f^{-1}[B]=\{a\in X|f(a)\in B\}</math>.
שימו לב להבדל בין התמונה ההפוכה <math>f^{-1}[B]</math> לבין הפונקציה ההופכית <math>f^{-1}(y)</math>. התמונה ההפוכה איננה מניחה כי הפונקציה f הפיכה. הדרך להבחין בין פונקציה הפיכה לתמונה ההפוכה היא לבדוק האם בין הסוגריים נמצא ''איבר'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זהו <math>y \in Y</math>) או שנמצאת ''תת-קבוצה'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זו <math>B\subseteq Y</math>).
==== דוגמאות ====
תהא <math>D:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> פונקצית דריכלה. אזי <math>D[\mathbb{Q}]=\{1\},D^{-1}[\{1\}]=\mathbb{Q}=D^{-1}[(0.5, 18)]</math>
תהא <math>f:X\to Y</math> פונקצית . אזי <math>f^{-1}[Y]=X</math>
תהא <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{Z}</math> פונקצית הערך השלם התחתון. אזי <math>f[(-0.5,3/4)]=\{-1,0\},f^{-1}[\{1\}]=[1,2)</math>
===תרגיל===
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הוכח <math>A \subseteq f^{-1}[f[A]]</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> חח"ע
====פתרון====
יהא <math>a\in A</math> אזי <math>f(a)\in f[A]</math> ולכן <math>a\in f^{-1}[f[A]]</math>.
נראה את ההכלה בכיוון השני אם <math>f</math> חח"ע:
יהא <math>x\in f^{-1}[f[A]]</math> לכן <math>f(x) \in f[A]</math> לכן <math>\exists a\in A : f(x)=f(a)</math>. כיוון ש <math>f</math> חח"ע נובע כי <math>x=a\in A</math>
דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1,2\}\to \{1\}</math> (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר <math>A=\{2\}</math> ומתקיים <math> f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A</math>
===תרגיל===
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, ותהיינה <math>A,B\subseteq X</math>. הוכיחו: <math>f[A\triangle B]=f[A]\triangle f[B]</math> <math>\iff</math> <math>f</math> חח"ע