שינויים

*יחס <math>R</math> מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> נקרא '''על''' אם <math>\forall b\in B \exists a\in A:(a,b)\in R</math> כלומר <math>\mathrm{im}(R)=B</math>.*יחס <math>R</math> מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> נקרא '''מלאשלם''' אם <math>\forall a\in A \exists b\in B:(a,b)\in R</math> כלומר <math>\mathrm{dom}(R)=A</math>

יחס חד ערכי ומלא ושלם נקרא '''פונקציה'''; נסמן במקרה זה <math>(a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a)</math>.

למעשה אפשר לעשות אינדוקציה על המשפט מן ההרצאה. עבור שתי פונקציות זה בהרצאה. נניח נכונות ל<math>k-1</math> ונוכיח ל<math>k</math>.

נקבל כי <math>(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> באופן דומה נמשיך (או באינדוקציה) ונקבל מהנחת האינדוקציה עבור <math>k-1</math> פונקציות נקבל שההרכבה חח"ע ולכן <math>x_1=x_2</math>.

על: יהא <math>y\in A</math> כיוון ש-<math>f_k</math> על, קיים <math>a_ka\in A</math> כך ש-<math>f_k(a_ka)= y</math> .באותו אופן בנוסף, מהנחת האינדוקציה קיים <math>a_{k-1}b\in A</math> כך ש <math>f_{k-1}\circ \dots \circ f_1(a_{k-1}b)=a_ka</math> נמשיך באופן דומה (או באינקודציה) ולכן נקבלונקבל <math>(f_k \circ \dots \circ f_1)(a_1b)=(f_k \circ \dots \circ f_2)(a_2)=\\ \dots =f_k\circ f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(a_{k-1}b) = f_k(a_ka)=y</math>. מש"ל.

===תרגיל=פונקציות המכבדות יחס שקילות ==תהיינה '''הגדרה.''' תהי <math>f,g:\mathbb{N}A\rightarrow \mathbb{N}B</math> פונקציות כך ש-פונקציה, ויהי <math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math>. אומרים כי '''<math>f</math> מוגדרת היטב על <math>A/R</math>''' אם <math>\forall a,b\in A:(na,b)\in R\Rightarrow f(a)=gf(3n-1b)</math>.

הוכיחו שאם כלומר אם <math>a</math> שקול ל <math>b</math> אזי <math>f(a)=f(b)</math> . למה זה טוב?כדי שנוכל להגדיר פונקציה עלקבוצת המנה <math>g:A/R \to B </math> ע"י <math>[a]_R \mapsto f(a) </math> טענה: <math>g</math> אכן פונקציה הוכחה: 1. <math>g</math> שלמה - "לפי העיניים". כלל ההתאמה מנוסח כך שהיחס הוא שלם. 2. <math>g</math> חד ערכית- נניח <math>[a]=[b]</math>, אז צ"ל <math>g([a])=g([b])</math> . מהנתון ש <math>[a]=[b]</math> נובע ש <math>(a,b)\in R</math>, ולכן, לפי הגדרת <math>f</math> כמוגדרת היטב על קבוצת המנה, מתקיים <math>f(a)=f(b)</math>, ולפי הגדרת <math>g</math> מתקיים <math>g([a])=f(a)=f(b)=g([b])</math>.  '''דוגמא לחידוד''' ראינו מעל <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>: <math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>. ראינו (שקל לראות) שזהו יחס שקילות. ושמבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה היא אוסף המעגלים עם רדיוס חיובי והראשית. נגדיר פונקציה <math>f:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}</math> ע"י: <math>f((a,b))=a\cdot b</math>. האם היא מוגדרת היטב על קבוצת המנה? לא ! למשל <math>f((\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}))=\frac{1}{2}\neq 0=f((1,0))</math>, אך הם שקולים לפי היחס. תנו דוגמא לפונקציה שכן מוגדרת היטב. למשל המרחק מהראשית (או כל פונקציה של זה). ==תמונות חלקיות== '''הגדרה.''' תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, ויהיו תת קבוצות <math>A\subseteq X,B\subseteq Y</math>. אזי '''התמונה החלקית של A תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f[A]=\{f(a)|a\in A\}</math>, ו'''התמונה החלקית ההפוכה של B תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f^{-1}[B]=\{a\in X|f(a)\in B\}</math>. שימו לב להבדל בין התמונה ההפוכה <math>f^{-1}[B]</math> לבין הפונקציה ההופכית <math>f^{-1}(y)</math>. התמונה ההפוכה איננה מניחה כי הפונקציה f הפיכה. הדרך להבחין בין פונקציה הפיכה לתמונה ההפוכה היא לבדוק האם בין הסוגריים נמצא ''איבר'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זהו <math>y \in Y</math>) או שנמצאת ''תת-קבוצה'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זו <math>B\subseteq Y</math>). ==== דוגמאות ====תהא <math>D:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> פונקצית דריכלה. אזי <math>D[\mathbb{Q}]=\{1\},D^{-1}[\{1\}]=\mathbb{Q}=D^{-1}[(0.5, 18)]</math> תהא <math>f:X\to Y</math> פונקצית . אזי <math>f^{-1}[Y]=X</math> תהא <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{Z}</math> פונקצית הערך השלם התחתון. אזי <math>f[(-0.5,3/4)]=\{-1,0\},f^{-1}[\{1\}]=[1,2)</math>  ===תרגיל===תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הוכח <math>A \subseteq f^{-1}[f[A]]</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> חח"ע.

נסמן יהא <math>ga\in A</math> אזי <math>f(1a)=k\in f[A]</math> כיון שולכן <math>a\in f^{-1}[f[A]]</math>.  נראה את ההכלה בכיוון השני אם <math>f</math> על אזי קיים חח"ע:  יהא <math>nx\in \mathbbf^{N-1}[f[A]]</math> כך שלכן <math>f(nx)=k\in f[A]</math>. מהנתון נקבל ש-לכן <math>g\exists a\in A : f(3n-1x)=kf(a)</math>. כעת, כיון כיוון ש- <math>nf</math> חח"ע נובע כי <math>x=a\in A</math> דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\mathbb{N1,2\}\to \{1\}</math> (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי ברור ש-נגדיר <math>1A=\neq 3n{2\}</math> ומתקיים <math> f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A</math> ===תרגיל=== תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, ולכן אילו שני איברים שונים שנשלחים לאותו איברותהיינה <math>A,B\subseteq X</math>. לכן הוכיחו: <math>gf[A\triangle B]=f[A]\triangle f[B]</math> <math>\iff</math> <math>f</math> לא חח"ע.