שינויים

*יחס <math>R</math> מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> נקרא '''על''' אם <math>\forall b\in B \exists a\in A:(a,b)\in R</math> כלומר <math>\mathrm{im}(R)=B</math>.*יחס <math>R</math> מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> נקרא '''מלאשלם''' אם <math>\forall a\in A \exists b\in B:(a,b)\in R</math> כלומר <math>\mathrm{dom}(R)=A</math>

יחס חד ערכי ומלא ושלם נקרא '''פונקציה'''; נסמן במקרה זה <math>(a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a)</math>.

יהיו תהיינה <math>A</math> ו-<math>B</math> קבוצות סופיות בעלות עוצמה זההלא ריקות. הוכיחו שכל פונקציה מ-: <math>|A|\geq |B|</math> ל-אם ורק אם קיימת <math>f:A\to B</math> הינה על אם"ם היא חח"ע.

'''====הוכחה:'''====נסמן <math>f:A\to B, A=\{a_1,\dots, a_n\},B=\{b_1,\dots, b_nb_m\} </math> . כאשר כל האיברים ב-<math>A</math> שונים זה מזה וכנ"ל ב-<math>B</math>. נניח <math>f</math> חח"ע אזי <math>|\{f(a_1),\dots, f(a_n)\}|=n</math> כיוון ש-<math>\{f(a_1),\dots, f(a_n)\}\subseteq B </math> ובשניהם יש אותו מספר איברים, מתקיים שיוון ולכן <math>f </math> על. נניח <math>f </math> על. נניח בשלילה ש-<math>f</math> אינה חח"ע אזי <math>|\{f(a_1),\dots, f(a_n)\}|<n</math> (כי יש שני איברים שנשלחים לאותו מקום) ואז <math>f</math> אינה על, שזו סתירה.  הערה: הדבר אינו נכון אם <math>A</math> ו-<math>B</math> קבוצות אינסופיות. נסו למצוא דוגמה.

למעשה אפשר לעשות אינדוקציה על המשפט מן ההרצאה. עבור שתי פונקציות זה בהרצאה. נניח נכונות ל<math>k-1</math> ונוכיח ל<math>k</math>.

נקבל כי <math>(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> באופן דומה נמשיך (או באינדוקציה) ונקבל מהנחת האינדוקציה עבור <math>k-1</math> פונקציות נקבל שההרכבה חח"ע ולכן <math>x_1=x_2</math>.

על: יהא <math>y\in A</math> כיוון ש-<math>f_k</math> על, קיים <math>a_ka\in A</math> כך ש-<math>f_k(a_ka)= y</math> .באותו אופן בנוסף, מהנחת האינדוקציה קיים <math>a_{k-1}b\in A</math> כך ש <math>f_{k-1}\circ \dots \circ f_1(a_{k-1}b)=a_ka</math> נמשיך באופן דומה (או באינקודציה) ולכן נקבלונקבל <math>(f_k \circ \dots \circ f_1)(a_1b)=(f_k \circ \dots \circ f_2)(a_2)=\\ \dots =f_k\circ f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(a_{k-1}b) = f_k(a_ka)=y</math>. מש"ל.

'''הגדרה.''' תהי <math>f:A\rightarrow B</math> פונקציה, ויהי <math>R </math> יחס שקילות על <math>A</math>. אומרים כי '''<math>f </math> מוגדרת היטב על <math>A/R</math>''' אם <math>\forall a,b\in A:(a,b)\in R\Rightarrow f(a)=f(b)</math>

כלומר אם <math>a </math> שקול ל <math>b </math> אזי <math>f(a)=f(b)</math>.

טענה: <math>g </math> אכן פונקציה

1. <math>g </math> שלמה - "לפי העיניים". כלל ההתאמה מנוסח כך שהיחס הוא שלם.

2. <math>g </math> חד ערכית- נניח <math>[a]=[b]</math>, צ"ל <math>g([a])=g([b])</math>. מהנתון ש <math>[a]=[b]</math> נובע ש <math>(a,b)\in R</math>, ולכן, לפי הגדרת <math>f </math> כמוגדרת היטב על קבוצת המנה, מתקיים <math>f(a)=f(b)</math>, ולפי הגדרת <math>g </math> מתקיים <math>g([a])=f(a)=f(b)=g([b])</math>.

ראינו מעל <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>: <math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>. ראינו (שקל לראות) שזהו יחס שקילות. ושמבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה היא אוסף המעגלים עם רדיוס חיובי והראשית. נגדיר פונקציה <math>f:\mathbb{ZR}\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{ZR}</math> ע"י: <math>f((a,b))=a^\cdot b</math>. האם היא מוגדרת היטב על קבוצת המנה? לא! למשל <math>f((\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}))=\frac{1}{2}\neq 0=f((1,0))</math>, אך הם שקולים לפי היחס. לאילו  תנו דוגמא לפונקציה שכן מוגדרת היטב. למשל המרחק מהראשית (או כל פונקציה של זה). ==תמונות חלקיות== '''הגדרה.''' תהי <math>nf:X\rightarrow Y</math>פונקציה, ויהיו תת קבוצות <math>A\subseteq X,B\subseteq Y</math>. אזי '''התמונה החלקית של A תחת f''' היא התת-ים קבוצה <math>f[A]=\{f(a)|a\in A\}</math> מוגדרת היטב על , ו'''התמונה החלקית ההפוכה של B תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f^{-1}[B]=\{a\in X|f(a)\in B\}</math>. שימו לב להבדל בין התמונה ההפוכה <math>f^{-1}[B]</math> לבין הפונקציה ההופכית <math>f^{-1}(y)</math>. התמונה ההפוכה איננה מניחה כי הפונקציה f הפיכה. הדרך להבחין בין פונקציה הפיכה לתמונה ההפוכה היא לבדוק האם בין הסוגריים נמצא ''איבר'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זהו <math>y \in Y</math>) או שנמצאת ''תת-קבוצה'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זו <math>B\subseteq Y</math>). ==== דוגמאות ====תהא <math>D:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> פונקצית דריכלה. אזי <math>D[\mathbb{Q}]=\{1\},D^{-1}[\{1\}]=\mathbb{Q}=D^{-1}[(0.5, 18)]</math> תהא <math>f:X\to Y</math> פונקצית . אזי <math>f^{-1}[Y]=X</math> תהא <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{Z}_n</math>?פונקצית הערך השלם התחתון. אזי <math>f[(-0.5,3/4)]=\{-1,0\},f^{-1}[\{1\}]=[1,2)</math>  ===תרגיל===תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הוכח <math>A \subseteq f^{-1}[f[A]]</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> חח"ע ====פתרון==== יהא <math>a\in A</math> אזי <math>f(a)\in f[A]</math> ולכן <math>a\in f^{-1}[f[A]]</math>.  נראה את ההכלה בכיוון השני אם <math>f</math> חח"ע:  יהא <math>x\in f^{-1}[f[A]]</math> לכן <math>f(x) \in f[A]</math> לכן <math>\exists a\in A : f(x)=f(a)</math>. כיוון ש <math>f</math> חח"ע נובע כי <math>x=a\in A</math> דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1,2\}\to \{1\}</math> (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר <math>A=\{2\}</math> ומתקיים <math> f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A</math> ===תרגיל=== תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, ותהיינה <math>A,B\subseteq X</math>. הוכיחו: <math>f[A\triangle B]=f[A]\triangle f[B]</math> <math>\iff</math> <math>f</math> חח"ע