שינויים
/* תרגיל */
'''הגדרה:'''
*יחס <math>R</math> מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> נקרא '''על''' אם <math>\forall b\in B \exists a\in A:(a,b)\in R</math> כלומר <math>\mathrm{im}(R)=B</math>.*יחס <math>R</math> מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> נקרא '''מלאשלם''' אם <math>\forall a\in A \exists b\in B:(a,b)\in R</math> כלומר <math>\mathrm{dom}(R)=A</math>
*יחס <math>R</math> נקרא '''חד ערכי''' אם <math>[(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b)</math> כלומר אין איבר מ-<math>A</math> שמתאים לשני איברים שונים מ-<math>B</math>.
'''הגדרה:'''
יחס חד ערכי ומלא ושלם נקרא '''פונקציה'''; נסמן במקרה זה <math>(a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a)</math>.
ובאופן כללי <math>f:A\to B \;\; , a \mapsto f(a)</math>.
(<math>A</math> נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה ו-<math>B</math> נקרא הטווח של הפונקציה.)
<math>f</math> חח"ע אמ"מ <math>f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2</math> אמ"מ <math>x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)</math>.
פונקציה נקראת '''על''' אם <math>Im(f)=B</math>.
'''הגדרה:'''
===תרגיל===
===תרגיל===
====פתרון====
למעשה אפשר לעשות אינדוקציה על המשפט מן ההרצאה. עבור שתי פונקציות זה בהרצאה. נניח נכונות ל<math>k-1</math> ונוכיח ל<math>k</math>.
חח"ע: נניח <math>(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> אזי מחח"ע של <math>f_k</math>
נקבל כי <math>(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> באופן דומה נמשיך (או באינדוקציה) ונקבל מהנחת האינדוקציה עבור <math>k-1</math> פונקציות נקבל שההרכבה חח"ע ולכן <math>x_1=x_2</math>.
על: יהא <math>y\in A</math> כיוון ש-<math>f_k</math> על, קיים <math>a_ka\in A</math> כך ש-<math>f_k(a_ka)= y</math> .באותו אופן בנוסף, מהנחת האינדוקציה קיים <math>a_{k-1}b\in A</math> כך ש <math>f_{k-1}\circ \dots \circ f_1(a_{k-1}b)=a_ka</math> נמשיך באופן דומה (או באינקודציה) ולכן נקבלונקבל <math>(f_k \circ \dots \circ f_1)(a_1b)=(f_k \circ \dots \circ f_2)(a_2)=\\ \dots =f_k\circ f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(a_{k-1}b) = f_k(a_ka)=y</math>. מש"ל.
הפיכות: נובע מחח"ע יחד עם על.
ראינו (שקל לראות) שזהו יחס שקילות. ושמבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה היא אוסף המעגלים עם רדיוס חיובי והראשית.
נגדיר פונקציה <math>f:\mathbb{R}\times \mathbb{R}:\rightarrow \mathbb{R}</math> ע"י: <math>f((a,b))=a\cdot b</math>. האם היא מוגדרת היטב על קבוצת המנה? לא! למשל <math>f((\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}))=\frac{1}{2}\neq 0=f((1,0))</math>, אך הם שקולים לפי היחס.
תנו דוגמא לפונקציה שכן מוגדרת היטב. למשל המרחק מהראשית (או כל פונקציה של זה).
