<math>q\lor r\equiv \lnot \lnot (q\lor r) \equiv \lnot (q*r)\equiv (q*r)*(q*r)</math>
===פרדיקטים וכמתים===
בניגוד לאטומים שהם ללא משתנים ה'''פרדיקטים''' הינם פונקציות התלויות במשתנים. לדוגמא ניתן להגדיר את הפרדיקט <math>S(x)</math> להיות x הינו סטודנט באוניברסיטה.
כיוון שאטומים הם ללא משתנים הם יכולים להיות T או F אבל לא שניהם. לעומתם פרדיקטים הם תלויים במשתנים ולכן ערך האמת שלהם יקבע לפי ההצבה במשתנים. למשל הפרדיקט <math>S(x,y)=x<y</math> יהיה נכון במקרה ש <math>S(2,3)</math> ולא נכון במקרה ש <math>S(3,2)</math>. כלומר לכל הצבה במשתני הפרדיקטים נקבל פסוק. הערה: משמשים בקשרים גם בפרדיקטים למשל <math>S(x,y)</math> הפרדיקט המוגדר <math>x>0 \land x<y</math>
בנוסף, ניתן להוסיף כמתים.
הכמת "לכל" <math>\forall</math> והכמת "קיים" <math>\exist</math>
תפקיד מרכזי של הכמת הוא להבהיר את כוונת הטענה. למשל הטענה ש "סטונדט הוא יצור חרוץ" יכולה לקבל 2 משמעויות בעזרת הכמתים. או "כל סטודנט הוא יצור חרוץ" או "קיים סטודנט שהוא יצור חרוץ".
הטענה הראשונה טוענת לגבי כלל הסטודנטים (אם רוצים להוכיח כי הטענה נכונה צריך לעבור בין כל הסטודנטים ולוודא שהם חרוצים ואם רוצים להוכיח כי הטענה לא נכונה מספיק למצוא סטודנט אחד שאינו חרוץ).
לעומתה הטענה השניה טוענת שניתן למצוא סטודנט אחד (לפחות) שהוא חרוץ (אם רוצים להוכיח את הטענה צריך למצוא סטודנט שהוא חרוץ ואם רוצים להוכיח כי הטענה לא נכונה צריך לעבור בין כל הסטודנטים ולוודא שהם אינם חרוצים
הצרן: לכל מספר p גדול מ-1: (p ראשוני) אמ"מ (אם הוא מחלק מכפלת מספרים אז הוא מחלק את אחד המספרים).
פתרון:
ההצרנה <math>\forall p >1 : (P(p)\iff Q(p))</math> כאשר
* <math>P(x)</math> הוא הפרדיקט "x" הוא ראשוני.
* <math>Q(x)</math> הוא הפרדיקט <math>\forall a,b : p|ab \Rightarrow (p|a \lor p|b)</math>
הערה: אחרי שמכמתים על כל משתני הפרדיקט מקבלים פסוק ללא משתנים.
הערה: שמות המשתנים אינם חשובים למשל עבור הפרדיק <math>S(x,y)</math> המוגדר <math>x\leq y</math> הפסוק <math>\forall x\forall y S(x,y)</math> הוא זהה לפסוק
<math>\forall t\forall s S(t,s)</math>
הערה: סדר הכמתים כן משתנה (לפעמים) למשל <math>\exist x\forall y S(x,y)</math> לא שקול לפסוק <math>\forall y \exist x S(x,y)</math>
נשים לב כי בשביל לקבוע אם הפסוק <math>\forall x P(x)</math> אנחנו צריכים לדעת איזה x ים "חוקיים" (בהנחה שאנחנו יודעים את P) ומכאן שנעבור להגדרות הבאות.
===הגדרות הקשורות לקבוצות===
ההגדרה האינטואיטיבית לקבוצה הינה "אוסף של איברים".
בקבוצה אין משמעות לסדר האיברים, ואיבר אינו יכול להופיע פעמיים. דוגמאות ל3 קבוצות (קבוצות נוהגים לסמן בין 2 סוגריים מסולסלות):
<math>\{1,\mathrm{horse},3\}</math>, <math>\{1,2,3\}</math> ו<math>\{1,\{2,3\},\{\}\}</math>
איבר ה'''שייך''' לקבוצה אנו מסמנים בסימן <math>\in</math>. למשל <math>1\in\{1,2,3\}</math>, ואילו <math>4\notin\{1,2,3\}</math>. שימו לב שגם <math>1\notin\{\{1,2,3\}\}</math> שכן האיבר היחיד בקבוצה זו הינה הקבוצה <math>\{1,2,3\}</math>.
*אומרים שקבוצה A '''מוכלת''' בקבוצה B (מסומן <math>A \subseteq B</math>) אם כל האיברים בA הם גם איברים בB.
*'''חיתוך''' של שתי קבוצות A ו B הינו אוסף האיברים השייכים גם לA וגם לB (מסומן <math>A\cap B</math>).
*'''איחוד''' של שתי קבוצות A ו B הינו אוסף האיברים השייכים לA או לB (מסומן <math>A\cup B</math>).
*A '''הפרש''' B הינה הקבוצה המכילה את כל האיברים בA שאינם בB (מסומן A\B).
*'''ההפרש הסימטרי''' בין שתי קבוצות A וB הוא אוסף האיברים הנמצאים באחת הקבוצות אך לא בחיתוך (מסומן <math>A\Delta B</math>).
'''תרגיל:'''
*הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לאיחוד של הקבוצות A וB
פתרון <math>a\in A \or a\in B</math>
*הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לאיחוד של הקבוצות A וB
*הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לחיתוך של הקבוצות A וB
*הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לחיתוך של הקבוצות A וB
הגדרה: קבוצה A מוכלת בקבוצה B אם בB נמצאים כל האיברים מA (למשל הטבעיים מוכלים בשלמים <math>\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}</math>, והשלמים מוכלים בממשיים <math>\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{R}</math>).
*הצרן תנאי השקול לכך ש-C מוכלת בחיתוך של A וB
פתרון: <math>\forall c [c\in C \rightarrow (c\in A \and c \in B)]</math>
*הצרן תנאי השקול לכך ש-C אינה מוכלת באיחוד של A וB
דוגמאות מילוליות:
*"כלב נובח אינו נושך" אם"ם "כלב נושך אינו נובח"
הסבר: נסמן ב- D את קבוצת כל הכלבים ב -A את הנובחים וב- B את הנושכים אז הדוגמא היא בעצם <math>\forall x\in D :((x\in A\to x\notin B)\iff (x\in B \to x\notin A)) </math>
שזה בעצם מהצורה (לכל כלב) * <math>\ (p \rightarrow q) \iff ((\neg q) \rightarrow (\neg p))</math>.
* מי שלא לומד בסמסטר נכשל במבחן אמ"מ מי שלא נכשל במבחן למד בסמסטר
==שלילת פסוקים==
מהי השלילה של הפסוק "לכל סיר יש מכסה המתאים לו", או "לכל מאכל, יש מישהו שמכין אותו טעים"?
בעת שלילה של פסוק לוגי, הכמתים 'לכל' ו'קיים' מתחלפים זה עם זה, והשלילה עוברת הלאה. את השלילה על הקשרים ניתן לבצע באמצעות טאוטולוגיות וטבלאות אמת.
לדוגמא:
*"לכל אדם בעולם קיים דג עם מספר קשקשים כגיל האדם או שאורכו עשירית מאורך האדם"
השלילה היא:
*"'''קיים''' אדם כך ש'''לא''' קיים דג עם מספר קשקשים כגיל האדם או שאורכו עשירית מאורך האדם"
נמשיך:
*"קיים אדם ש'''לכל''' דג בעולם '''לא נכון''' ש(יש לו מספר קשקשים כגיל האדם או שאורכו עשירית מאורך האדם)"
כלומר
*"קיים אדם שלכל דג בעולם יש מספר קשקשים שונה מגיל האדם וגם אורכו של הדג שונה מעשירית אורך האדם"
הערה: סדר הכמתים הוא חשוב (כמו בעברית) - לדוגמא: יש הבדל בין "לכל סיר קיים מכסה" לבין "קיים מכסה שמתאים לכל סיר".דוגמא: הצרן את המשפט "לכל מספר טבעי יש מספר טבעי הגדול ממנו" פתרון: <math>\forall n\in\mathbb{N}\,\exists m\in\mathbb{N}:n<m</math> לעומת זאת <math>\exists m\in\mathbb{N}\,\forall n\in\mathbb{N}:n<m</math> פירושו שקיים מספר טבעי שגדול מכל המספרים הטבעיים.
*תרגיל: הצרן את המשפט "כל מספר ממשי ניתן לקרב ע"י מספרים רציונאליים בקירוב טוב כרצוננו"
פתרון: <math>\forall x\in\mathbb{R}\,\exists A\subset\mathbb{Q}:\forall\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\exists q\in A\,:|x-q|<\epsilon</math> .
מה היא שלילתו של המשפט?
פתרון: נכתוב את הרמות השונות
* <math>\neg(\forall x\in\mathbb{R}\,\exists A\subset\mathbb{Q}:\forall\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\exists q\in A\,:|x-q|<\epsilon )</math>
* <math>\exists x\in\mathbb{R}\,\neg( \exists A\subset\mathbb{Q}:\forall\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\exists q\in A\,:|x-q|<\epsilon )</math>
* <math>\exists x\in\mathbb{R}\, \forall A\subset\mathbb{Q}:\neg(\forall\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\exists q\in A\,:|x-q|<\epsilon )</math>
* <math>\exists x\in\mathbb{R}\, \forall A\subset\mathbb{Q}:\exists\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\neg(\exists q\in A\,:|x-q|<\epsilon )</math>
* <math>\exists x\in\mathbb{R}\, \forall A\subset\mathbb{Q}:\exists\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\forall q\in A\,\neg(:|x-q|<\epsilon )</math>
*<math>\exists x\in\mathbb{R}\,\forall A\subset\mathbb{Q}:\exists\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\forall q\in A\,:|x-q|\geq\epsilon</math>
תרגילים:
דוגמאות של הצרנת ושלילת המושגים 'תלות לינארית', 'גבול סדרה', 'חח"ע', וכדומה