הוכחה:
1. רפלקסיביות - יהי <math>X\in P(A)</math> אזי <math>X\cap B=X\cap B</math> ולכן <math>XRX</math>.
2. סימטריות - נניח <math>XRY</math> אזי <math>X\cap B=Y\cap B\Rightarrow Y\cap B=X\cap B</math> ולכן <math>YRX</math>.
3. טרנזיטיביות - כנ"ל, מטרנזיטיביות השיוויון (מה שנקרא בפי העם כלל המעבר).
הגדרה: תהא A קבוצה. '''חלוקה''' של A היא חלוקה של A לקבוצות זרות. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>
===המשך התרגיל לעיל===
ב. לכל <math>X\subseteq A</math> קיימת <math>C\subseteq B</math> כך ש <math>[X]_R=[C]_R</math>.
ג. אם <math>C,D\subseteq B</math> שונות, אז <math>[C]\neq [D]</math>.
====פיתרון====
ב. יהי <math>X\subseteq A</math> נשים לב שמתקיים <math>(X\cap B)\cap B=X\cap B</math> ולכן <math>[X]_R=[X\cap B]_R</math>, ובנוסף מתקיים <math>X\cap B\subseteq B</math> ולכן נוכל לבחור <math>C=X\cap B</math>.
ג. תהיינה <math>C,D\subseteq B</math> שונות. לכן קיים (בה"כ) <math>x\in C\smallsetminus D</math> וכמובן <math>x\in B</math>, ולכן נקבל <math>x\in C\cap B\land x\notin D\cap B</math> כלומר <math>C\cap B\neq D\cap B</math> ולכן <math>[C]\neq [D]</math>.
===דוגמא חשובה - הגדרת הרציונאליים===
מסקנה: הרציונאלים הם קבוצת המנה של <<math>\mathbb{Z}\times \mathbb{N} </math> והיחס שהגדרנו לעיל. למעשה, מאחורי כל שבר עומדת הקבוצה האינסופית של כל השברים השקולים לו, ופשוט אנחנו בוחרים לייצג קבוצה זו על ידי אחד השברים שבה באופן שרירותי (או באופן מסוים - בחירת השבר המצומצם).
===שאלה ממבחן===