הוכחה:
1. רפלקסיביות - יהי <math>X\in P(A)</math> אזי <math>X\cap B=X\capBcap B</math> ולכן <math>XRX</math>.
2. סימטריות - נניח <math>XRY</math> אזי <math>X\cap B=Y\cap B\Rightarrow Y\cap B=X\cap B</math> ולכן <math>YRX</math>.
===המשך התרגיל לעיל===
ב. לכל <math>X\subseteq A</math> קיימת <math>C\subseteq B</math> כך ש <math>[X]_R=[C]_R</math>.
ג. אם <math>C,D\subseteq B</math> שונות, אז <math>[C]\neq [D]</math>.
====פיתרון====
ב. יהי <math>X\subseteq A</math> נשים לב שמתקיים <math>(X\cap B)\cap B=X\cap B</math> ולכן <math>[X]_R=[X\cap B]_R</math>, ובנוסף מתקיים <math>X\cap B\subseteq B</math> ולכן נוכל לבחור <math>C=X\cap B</math>.
ג. תהיינה <math>C,D\subseteq B</math> שונות. לכן קיים (בה"כ) <math>x\in C\smallsetminus D</math> וכמובן <math>x\in B</math>, ולכן נקבל <math>x\in C\cap B\land x\notin D\cap B</math> כלומר <math>C\cap B\neq D\cap B</math> ולכן <math>[C]\neq [D]</math>.
===דוגמא חשובה - הגדרת הרציונאליים===
מסקנה: הרציונאלים הם קבוצת המנה של <<math>\mathbb{Z}\times \mathbb{N} </math> והיחס שהגדרנו לעיל. למעשה, מאחורי כל שבר עומדת הקבוצה האינסופית של כל השברים השקולים לו, ופשוט אנחנו בוחרים לייצג קבוצה זו על ידי אחד השברים שבה באופן שרירותי (או באופן מסוים - בחירת השבר המצומצם).
===שאלה ממבחן===