*היחס 'מוכל-שווה' על הקבוצות
*היחס 'מחלק את ' על הטבעיים
נוכיח ש"מחלק את" על הטבעיים הינו יחס סדר חלקי:
רפלקסיבי: כל מספר מחלק את עצמו.
טרנזיטיבי: אם <math>a|b\land b|c</math> זאת אומרת ש-<math>b=ak\land c=bm</math> ולכן <math>c=a(km)</math> מה שאומר ש-<math>a|c</math>.
אנטי סימטרי: אם <math>a|b\land b|a</math> זאת אומרת ש- <math>a=bk\land b=am</math> ולכן <math>a=a(mk)</math>, כיון ש-<math>m,k\in \mathbb{N}</math> נקבל <math>m=k=1</math> מה שאומר ש-<math>a=b</math>.
'''הערה:''' היחס "מחלק את" על השלמים איננו יחס סדר חלקי, כיון שמתקיים, למשל, ש- <math>-2|2\land 2|-2\land 2\neq -2</math>.
'''הגדרה.''' דיאגרמת הסה Hesse הינה דיאגרמה של יחס סדר חלקי על קבוצה. כל איבר המקושר לאיבר מתחתיו 'גדול' ממנו ביחס. נצייר את דיאגרמת הסה ליחס הכלה על קבוצת החזקה של הקבוצה <math>A=\{1,2,3\}</math>.
הערה: <math>\left\{ 1\right\}</math> הוא גם מקסימלי יחיד שאינו גדול ביותר.
===דוגמא===
נביט בקבוצה <math>A=\{1,2,3,4,5\}</math> ונגדיר עליה יחס סדר חלקי:
<math>R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(2,4),(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)\}</math>
(הזוגיים 'גדולים' מכל אי הזוגיים ומהזוגיים הקטנים מהם)
*5,3,1 הינם איברים מינימליים שכן אין איבר שקטן מאף אחד מהם. הם אינם מינימום כי אף אחד מהם לא קטן מכל האיברים האחרים.
*4 הינו מקסימום של הקבוצה, הוא בוודאי מקסימלי
*2 קטן מחלק מהאיברים וגדול מאחרים לכן הוא כלום.
=== דוגמאות ===
'''דוגמא.'''
נשוב לדוגמא הקודמת. נביט בתת הקבוצה המכילה את המספרים האי זוגיים בלבד <math>B=\{1,3,5\}</math>. קבוצת חסמי המלעיל של B הינה <math>\{2,4\}</math>. המינימום של קבוצה זו הוא 2 ולכן הוא החסם העליון של B. אין חסם מלרע ל-B ולכן בוודאי אין לה חסם תחתון.
'''דוגמא.'''
למשל <math>sup\{12,33,10\}=lcm(12,33,10)=3\cdot 4 \cdot 11 \cdot 5, inf\{12,33,10\}=gcd(12,33,10)=1</math>
'''הערה:''' היחס "מחלק את" על השלמים איננו יחס סדר חלקי, כיון שמתקיים, למשל, ש- <math>-2|2\land 2|-2\land 2\neq -2</math>.
===תרגיל===
הוכיחו: אם <math>x</math> חסם מלרע של <math>B</math> וגם <math>x\in B</math> אזי <math>inf(B)=x</math> (וגם ב B יש איבר קטן ביותר
שהוא x).
====פתרון====
==== דוגמא ====
נסתכל על <math>\mathbb{N}\times \mathbb{N}</math> אם עם הסדר המילוני.
נגדיר <math>B = \{(1,x) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>sup(B)=(2,1),inf(B)=(1,1)</math>
נגדיר <math>B = \{(x,1) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>inf(B)=(1,1)</math> ו sup לא קייםובכלל אין חסמי מלעיל.
*שימו לב ש <math>(1,1)</math> הוא איבר קטן ביותר
הוכחה:
1. רפקלסיביות: לכל <math>a,b</math> מתקיים כי $<math>a\leq a, b\preceq b$ </math> ולכן <math>(a,b)R(a,b)</math>
2. אנטי סימטריות: אם <math>(a,b)R(a1,b1)</math> וגם <math>(a1,b1)R(a,b) </math> אז <math>a\leq a1, b\preceq b1</math> וגם <math>a1\leq a, b1 \preceq b</math>, כיוון שאלו יחס סדר נקבל כי <math>a=a1,b=b1</math>
=== תרגיל (מבוחן תשעג)===
יהא תהא <math>A</math> קבוצה ו <math>R\subseteq A\times A</math> יחס סדר מלא עליה. נגדיר <math>O</math>
להיות קבוצת כל יחסי הסדר החלקיים על <math>A</math>, סדורה ע"י הכלה. (כלומר הזוג <math>(O,\subseteq)</math> - במילים אחרות, חושבים על <math>O</math> עם יחס הסדר החלקי "הכלה")
נניח ש- <math>|A|\geq 2</math>. האם ב <math>O</math> יש מקסימום (איבר גדול ביותר)?
תשובה: לא. נניח שקיים איבר מקס' <math>S</math>. כיוון שגם <math>R^{-1}\in O</math> יחס אזי <math>R\cup R^{-1} \subseteq S</math>. בפרט אם <math>(a,b)\in R</math> שונים (נניח שב כי ב <math>A</math> יש 2 איברים לפחות) אזי <math>(b,a)\in R^{-1}</math> ולכן <math>(a,b),(b,a)\in S</math> בניגוד לכך ש <math>S</math> אנטי סימטרי