<math> A \triangle C = \{1,\{1\},\{1,2\}\}</math>
תכונות האיחוד והחיתוך (דומה לכפל וחיבור)*אסוציאטיביות: <math>(A\cap B)\cap C = A\cap (B\cap C)</math> (וכנ"ל לגבי איחוד)*חילוף: <math>A\cap B = B\cap A</math> (וכנ"ל לגבי איחוד)*דיסטריביוטיביות: <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C)</math>, וגם <math>A\cup (B\cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C)</math> ===תרגיל===הוכח כי <math>(A\cap B)\cup C = (A\cup C)\cap (B\cup C)</math>. במילים: האיברים שהם (גם בA וגם בB) או בC הם בדיוק האיברים ב(A או C) וגם ב(B או C) ====פתרון====נראה שקילות בין התנאים של איבר להיות באחת הקבוצות. <math>x\in (A\cap B)\cup C \iff [x\in (A\cap B)] \or [x\in C] \iff [x\in A \and x\in B] \or [x\in C]</math> כעת, מתוך הטאוטולוגיה <math>(p\and q)\or r \iff (p\or r)\and(q\or r)</math> קל להשיג את השקילות למה שצריך.(הערה: ניתן להשתכנע בקלות בטאוטולוגיה באופן הבא: אם <math>r=1</math> אזי נשאר עם הטאוטולוגיה<math>1\iff 1</math> אם <math>r=0</math> אזי נשאר עם הטאוטולוגיה<math>(p\land q)\iff (p)\land (q)</math>) ===תרגיל===
הוכח כי:
א. הקבוצה הריקה <math>\varnothing=\{\}</math> מוכלת בכל קבוצה A
ג. <math>\varnothing \cup A = A </math>
=====פתרון=====
א. יש להוכיח את הפסוק הבא: <math>\forall a\in\varnothing : a\in A</math>. אבל מכיוון שאין איברים בקבוצה הריקה, המשפט הזה נכון '''באופן ריק'''. זכרו ששקר גורר כל דבר, לכן האטום "איבר a שייך לקבוצה הריקה" גורר כל דבר.
הערה: שימו לב שעל מנת להוכיח שקבוצה A אינה מוכלת בקבוצה B, יש להראות כי '''קיים''' איבר בA שאינו שייך לB. אם היינו משתמשים בפסוק "כל האיברים בA אינם בB" היינו מקבלים שהקבוצה הריקה לא מוכלת בכל קבוצה, וגם אינה מוכלת בכל קבוצה.
ג. <math>x\in \varnothing \cup A \iff x\in \varnothing \or x\in A\ \iff F \lor x\in A \iff x\in A </math>
====תרגיל====
הוכיחו או הפריכו:
א. <math>A\cap (B\smallsetminus C)=(A\cap B) \smallsetminus (A\cap C)</math>
ב. <math>A\triangle (B\cap C)=(A\triangle B) \cap (A\triangle C)</math>
=====פתרון=====
א. הוכחה, טבלת שייכות.
ב. הפרכה, רואים ע"י טבלת שייכות ואז מוצאים את הדוגמא המתאימה.
===הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם===
דוגמא:
נגדיר <math>\forall n\in \mathbb{N} \; A_n:=[(n,n+1]) \cup (-n-1,-n)</math> אזי
<math>\bigcup _{i\in \mathbb{N}} A_i = [ 1,\infty ) mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Z} </math>
<math>\bigcap _{i\in \mathbb{N}} A_i = \varnothing </math>
הוכחה:
א. ע"י הכלה דו כיוונית.
ב. מספיק להראות <math>A_1\cap A_2=\phi</math>.