נסמן <math>A=\{ 1,2,3\} ,B=\{ \{ 1\} ,\{ 2\} ,\{ 3\} \} ,C=\{1 \} ,D=\{ \{1\} \}</math>. השלימו ע"י הכלה או שייכות:
א. <math>B</math>__<math>A</math> ב. <math>AC</math>__<math>CA</math>
ג. <math>B</math>__<math>C</math>
ד. <math>A</math>__<math>D</math>
ה. <math>B</math>__<math>D</math>
ו. <math>D</math>__<math>C</math>
===איחוד, חיתוך, הפרש והפרש סימטרי===
*A '''הפרש''' B הינה הקבוצה המכילה את כל האיברים בA שאינם בB (מסומן A\B). מתקיים ש <math>x\in A\setminus B \iff (x\in A) \and (x\notin B)</math>.
*'''ההפרש הסימטרי''' בין שתי קבוצות A וB הוא אוסף האיברים הנמצאים באחת הקבוצות אך לא בחיתוך (מסומן <math>A\Delta triangle B</math>). מתקיים כי<math>x\in A\Delta triangle B \iff ((x\in A)\and (x\notin B)) \or ((x\in B)\and (x\notin A))</math>
<math>\iff x\in (A\cup B) / (A\cap B)</math>
<math>C \setminus A =\{\{1,2\}\}</math>
<math> B \Delta triangle C = B \cup C</math>
<math> A \Delta triangle C = \{1,\{1\},\{1,2\}\}</math>
תכונות האיחוד והחיתוך (דומה לכפל וחיבור)*אסוציאטיביות: <math>(A\cap B)\cap C = A\cap (B\cap C)</math> (וכנ"ל לגבי איחוד)*חילוף: <math>A\cap B = B\cap A</math> (וכנ"ל לגבי איחוד)*דיסטריביוטיביות: <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C)</math>, וגם <math>A\cup (B\cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C)</math> ===תרגיל===הוכח כי <math>(A\cap B)\cup C = (A\cup C)\cap (B\cup C)</math>. במילים: האיברים שהם (גם בA וגם בB) או בC הם בדיוק האיברים ב(A או C) וגם ב(B או C) ====פתרון====נראה שקילות בין התנאים של איבר להיות באחת הקבוצות. <math>x\in (A\cap B)\cup C \iff [x\in (A\cap B)] \or [x\in C] \iff [x\in A \and x\in B] \or [x\in C]</math> כעת, מתוך הטאוטולוגיה <math>(p\and q)\or r \iff (p\or r)\and(q\or r)</math> קל להשיג את השקילות למה שצריך.(הערה: ניתן להשתכנע בקלות בטאוטולוגיה באופן הבא: אם r=1 אזי נשאר עם הטאוטולוגיה<math>1\iff 1</math> אם r=0 אזי נשאר עם הטאוטולוגיה<math>(p\land q)\iff (p)\land (q)</math>) ===תרגיל===
הוכח כי:
א. הקבוצה הריקה <math>\varnothing=\{\}</math> מוכלת בכל קבוצה A
ג. <math>\varnothing \cup A = A </math>
=====פתרון=====
א. יש להוכיח את הפסוק הבא: <math>\forall a\in\varnothing : a\in A</math>. אבל מכיוון שאין איברים בקבוצה הריקה, המשפט הזה נכון '''באופן ריק'''. זכרו ששקר גורר כל דבר, לכן האטום "איבר a שייך לקבוצה הריקה" גורר כל דבר.
הערה: שימו לב שעל מנת להוכיח שקבוצה A אינה מוכלת בקבוצה B, יש להראות כי '''קיים''' איבר בA שאינו שייך לB. אם היינו משתמשים בפסוק "כל האיברים בA אינם בB" היינו מקבלים שהקבוצה הריקה לא מוכלת בכל קבוצה, וגם אינה מוכלת בכל קבוצה.
ג. <math>x\in \varnothing \cup A \iff x\in \varnothing \or x\in A\ \iff F \lor x\in A \iff x\in A </math>
====תרגיל====
הוכיחו או הפריכו:
א. <math>A\cap (B\smallsetminus C)=(A\cap B) \smallsetminus (A\cap C)</math>
ב. <math>A\triangle (B\cap C)=(A\triangle B) \cap (A\triangle C)</math>
=====פתרון=====
א. הוכחה אפשרית - טבלת שייכות (קצת תלוי מרצה)
פתרון נוסף: דרך גרירות לוגיות:
<math>x\in A\cap (B\setminus C) \iff</math>
<math>(x\in A) \and [(x\in B) \and (x\notin C)] \iff</math>
<math>[(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin C)] \or [(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin A)] </math>
בשורה האחרונה הוספנו סתירה בעזרת הקשר "או" ולכן נשארנו עם ביטוי שקול. כעת נשתמש בחוק הפילוג של הלוגיקה:
<math>\iff [(x\in A) \and (x\in B)]\and [(x\notin C)\or(x\notin A)]\iff</math>
<math>[(x\in A) \and (x\in B)]\and \neg [(x\in C)\and(x\in A)]</math>
וזה בדיוק מה שרצינו.
הוכחה נוספת בעזרת הכלה דו כיוונית:
בכיוון (<math>\subseteq</math>) נניח <math>x\in A\cap(B\backslash C)</math>, ולכן
<math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Rightarrow</math>
<math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Rightarrow</math>
<math>x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)</math>
בכיוון (<math>\supseteq</math>) נניח <math>x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)</math>. לכן
<math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Rightarrow</math>
<math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Rightarrow</math>
(כי אם <math>x\in C</math> אז <math>x\in A\cap C</math> סתירה)
<math>x\in A\cap(B\backslash C)</math>
ב. הפרכה אפשרית: רואים ע"י טבלת שייכות ואז מוצאים את הדוגמא המתאימה. או פשוט מנסים. למשל: <math>A=\{1,2\},B=\{1\},C=\{2\}</math>.
===הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם===
דוגמא:
נגדיר <math>\forall n\in \mathbb{N}\cup \{0\} \; A_n:=[(n,n+1]) \cup (-n-1,-n)</math> אזי א. <math>\bigcup _{n\in \mathbb{N}} A_n = \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Z} </math> ב. <math>\bigcap _{n\in \mathbb{N}} A_n = \varnothing </math> ג. נגדיר <math>B_n=\mathbb{R}\smallsetminus A_n</math>. חשבו את <math>\bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n</math> הוכחה: א. ע"י הכלה דו כיוונית.
ב. מספיק להראות <math>A_1\bigcup _{i\in \mathbb{N}} A_i cap A_2= [ 1,\infty ) phi</math>.
ג. נתייחס ל-<math>\bigcap _mathbb{iR}</math> כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:<math>\bigcap_{n\in \mathbb{N}} A_i B_n= \varnothing bigcap_{n\in \mathbb{N}} A_n^c=(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n)^c=(\mathbb{Z}^c)^c=\mathbb{Z}</math>.